定积分(北师大版选修2-2).ppt

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定积分的背景面积与路程问题,高二数学选修2-1第四章定积分,以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？

探究点2估计曲边梯形的面积,我们曾经用正多边形逼近圆的方法（即“以直代曲”的思想）计算出了圆的面积，能否也用直边形（如矩形）逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？

割圆术,一、定积分问题举例,曲边梯形设函数yf（x）在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf（x）所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.,1.曲边梯形的面积,问题1图中阴影部分由抛物线，直线及x轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S。

将区间0，1平均分成5份，如图所示。

图

（1）中，所有小矩形面积之和显然大于所求曲边梯形的面积，我们称为S的过剩估计值，则有,图

（2）中，所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积，我们称为S的不足估计值，则有,我们可以用或近似表示S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图（3）所示。

不足估计值为,二者的差值为，此时，无论用还是来表示S，误差都不超过0.1。

区间分的越细，误差越小。

当所分隔的区间长度趋于0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：

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学习目标：

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,学习目标：

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当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积,概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：

分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求面积,所分区间长度0,估计值所求值,练一练：

求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，15等分来估计）,解析把区间0，15等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值和过剩估计值，如下：

估计误差不会超过-=0.2,探究点3估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？

问题2想象这样一个场景：

一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度v（单位：

m/s）是时间t的函数：

请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.,分析：

由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v（0）=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：

s=255=125（m）但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v（0）,v

（1）,v

（2）,v（3）,v（4）近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：

由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值.用v

（1）,v

（2）,v（3）,v（4）,v（5）分别近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值：

不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s，误差都不超过：

要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？

为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：

结论滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,汽车在5s内滑行距离的不足估计值：

无论用s2还是表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,变式练习,汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=-t2+2,（单位：

km/h）,那么它在0t1（单位：

h）这段时间内行驶的路程s是多少？

（将行驶的时间1h平均分成10份）,解析分别用v（0），v（0.1），v（0.2），v（0.9）近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值,=v（0）+v（0.1）+v（0.2）+v（0.9）0.1=1.715（km）.,分别用v（0.1），v（0.2），v（0.3），v

（1）近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值,=v（0.1）+v（0.2）+v（0.3）+v

（1）0.1=1.615（km）,无论用还是估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）,1.曲边梯形的定义：

分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求值,2.求面积和路程问题的步骤：

我们把由直线x=a，x=b（ab），y=0和曲线y=f（x）所围成的图形叫作曲边梯形.,回顾本节课你有什么收获？

第四章定积分的定义,求由连续曲线y=f（x）对应的曲边梯形面积的方法,

（2）取近似求和:

任取xixi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f（xi）而宽为Dx的小矩形面积f（xi）Dx近似之。

（3）取极限:

，所求曲边梯形的面积S为,xi,xi+1,xi,

（1）分割:

在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:

其中，叫作积分号，叫作积分的下限，叫作积分,的上限，叫作被积函数，叫作积分变量，,叫作积分区间.,一、基本概念,二、概念说明,

（2）.用定义求积分的一般方法是：

分割近似代替求和取极限,（3）.,曲边梯形面积：

变速运动路程：

定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,三、定积分的几何意义：

x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。

当f（x）0时，由yf（x）、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。

定积分的几何意义：

=-S,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,即：

例：

说明下列定积分所表示的几何意义，并根据,其意义求出定积分的值.,

（1）,

（2）,（3）,;,;,.,;,o,1,解

（1）：

中所示长方形的面积，,表示的是图,由于这个长方形的面,积为2.,所以,2,o,1,解

（2）：

中所示梯形的面积，,表示的是图,由于这个梯形的面,所以,1,2,2,积为.,o,解（3）：

半径为1的半圆的面,表示的是图中所示,由于这个半圆,所以,o,1,-1,1,的面积为.,积，,例2：

解：

x,y,f（x）=sinx,1,-1,四、定积分的基本性质,性质1.,性质2.,性质3.,三:

定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质4.,思考：

从定积分的几何意义解释性质,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f（x）=x2,f（x）=x2,-1,2,f（x）=1,a,b,-1,2,f（x）=（x-1）2-1,利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。

利用定积分的几何意义，说明下列各式。

成立：

1）,2）.,1）,2）.,练习：

试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。

0,y,x,y=x2,1,2,0,x,y=f（x）,y=g（x）,a,b,y,