高中数学竞赛(07-10)试题之三角函数教师版Word文档格式.doc

1、2.（08全国）中，边成等比数列，则的取值范围是（ C ）A. B. C. D. 解 设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是3（08江苏）如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么 答：BA. 与都是锐角三角形B. 是锐角三角形，是钝角三角形C. 是钝角三角形，是锐角三角形D. 与都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设cos=sin=cos， cos=sin=cos，cos=sin=cos.则 ，即

2、，矛盾. 选B.4.（08河北）已知，则的取值范围是（ ）A B C D 答案：D设，易得，即由于，所以，解得 5.（08湖南）设，,则的大小关系是（）因为，所以，；又，故故选B.6.（08江西）若对所有实数，均有，则（ ）. 、；、；、；、记 ，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意二、填空题1.（08江西） .，所以2.（08湖北）设集合，则E的真子集的个数为 15 3.（08湖北）若，则使函数为奇函数的的个数为 3 4（08湖北）在中，已知的平分线交AC于K若BC=2，CK=1，则的面积为5（08湖北）已知，过作直线的垂线，垂足为若，则

3、 -2 6（07全国）在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，若，则与的夹角的余弦值等于_因为，所以，即。因为，所以，即。设与的夹角为，则有，即3cos=2，所以。7.（07全国）已知函数，则f（x）的最小值为_实际上，设，则g（x）0，g（x）在上是增函数，在上是减函数，且y=g（x）的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g（x2）=g（x1）。于是，而f（x）在上是减函数，所以，即f（x）在上的最小值是。8.（08全国）设的最小值为，则解 ，（1） 时，当时取最小值；（2） 时，当时取最小值1；（3） 时，当时取最小值又或时，的最小值不能为，故，解得，（舍去）9.（1

4、0全国）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 .令，则原函数化为，即.由 ， ， 及 知 即 （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 .10.（08江苏）在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 . 解 切割化弦，已知等式即， 亦即，即=1，即. 所以，故.11.（08河北）是平面上不共线三点，向量，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量若，则的值是 _ _答案:8ABOPQ如图,是线段AB的垂直平分线，12（08浙江）已知，直线与的交点在直线上，则 。由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程的两个根，即为方程的两个根。因此即0。13（08浙江）在边长为1

5、的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为 。设，作ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在DGB中，当时，即。14.（09湖北）设，则的值域为15.（09湖北）已知O是锐角ABC的外心，若，且，则16.（09江苏）已知sincos1，则cos（） 由于|sin|1，|cos|1，现sincos1，故sin1，cos1或sin1，cos1， 2k，2l或2k，2l2（kl）（k，lZ） cos（）017.（09江苏）设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 设|R则（）R2cos（2C）R2cos2B

6、R2（2sin2C2sin2B）（2RsinB）2（2RsinC）2（122132）18.（09江苏）12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BCACDABCABCACDBCE CEBE12AEABBE16 cosA BC2AC2AB22ACABcosA14228221428729BC21附加：（07全国）设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2）=f（x），求证：存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+）=fi（x）；（2）对任意的实数x，有

7、f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x证明：记，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的xR，g（x+2）=g（x），h（x+2）=h（x）。令，其中k为任意整数。容易验证fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的xR，fi（x+）=fi（x），i=1，2，3，4。下证对任意的xR，有f1（x）+f2（x）cosx=g（x）。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的xR，f1（x）+f2（x）cosx=g（x）。下证对任意的xR，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）。当x=k时，h（x）=h（k）=h（k2k）=h（k）=h（k），所以h（x）=h（k）=0，而此时f3（x）sinx+f4（x）sin2x=0，故h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x；当时，故，又f4（x）sin2x=0，从而有h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x。于是，对任意的xR，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）。综上所述，结论得证。7第7 页 共 7 页