高中数学竞赛(07-10)试题之三角函数教师版Word文档格式.doc
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2.（08全国）中，边成等比数列，则的取值范围是（C）
A.B.
C.D.
[解]设的公比为，则，而
．
因此，只需求的取值范围．
因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组
即
解得
从而，因此所求的取值范围是．
3．（08江苏）如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么答：
[B]
A.与都是锐角三角形
B.是锐角三角形，是钝角三角形
C.是钝角三角形，是锐角三角形
D.与都是钝角三角形
解两个三角形的内角不能有直角；
的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；
若是锐角三角形，则不妨设
cos=sin=cos，cos=sin=cos，
cos=sin=cos.
则
，，，
即，矛盾.选B.
4.（08河北）已知，则的取值范围是（）．
ABCD
答案：
D．
设，易得，即．由于，所以，解得．
5.（08湖南）设，，，,则的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
因为，所以，
；
．
又，故故选B.
6.（08江西）若对所有实数，均有，则（）.
、；
、；
、；
、．
记，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意．
二、填空题
1.（08江西）.
，
所以．
2.（08湖北）设集合，则E的真子集的个数为15
3.（08湖北）若，则使函数为奇函数的的个数为3．
4．（08湖北）在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为．
5．（08湖北）已知，，过作直线的垂线，垂足为．若，，，则-2．
6．（07全国）在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若，则与的夹角的余弦值等于________
因为，所以，即。
因为，
，，所以，即。
设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以。
7.（07全国）已知函数，则f（x）的最小值为_____
实际上，设，则g（x）≥0，g（x）在上是增函数，在上是减函数，且y=g（x）的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g（x2）=g（x1）。
于是
，而f（x）在上是减函数，所以，即f（x）在上的最小值是。
8.（08全国）设的最小值为，则．
[解]
，
（1）时，当时取最小值；
（2）时，当时取最小值1；
（3）时，当时取最小值．
又或时，的最小值不能为，
故，解得，（舍去）．
9.（10全国）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.
令，则原函数化为，即
.
由，
，
及知
即
（1）
当时
（1）总成立；
对；
对.
从而可知.
10.（08江苏）在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则=3.
解切割化弦，已知等式即，
亦即，即=1，即.
所以，，故.
11.（08河北）是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是________．
答案:
8．
A
B
O
P
Q
如图,是线段AB的垂直平分线，，
，，
12．（08浙江）已知，直线与
的交点在直线上，则。
由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程
的两个根，即为方程
的两个根。
因此
即0。
13．（08浙江）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。
AD的长度的最小值为。
设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。
在△DGB中，
当时，即。
14.（09湖北）设，，则的值域为
15.（09湖北）已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则．
16.（09江苏）已知sinαcosβ＝1，则cos（α＋β）＝
由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πÞ
α＋β＝2（k＋l）π＋（k，l∈Z）．
∴cos（α＋β）＝0．
17.（09江苏）设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·
＝
设||＝||＝||＝R．则
·
＝（＋）·
＝·
＋·
＝R2cos（π－2C）＋R2cos2B
＝R2（2sin2C－2sin2B）＝（2RsinB）2－（2RsinC）2＝（122－132）＝－．
18.（09江苏）12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
＝Þ
△ACD∽△ABCÞ
∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴cosA＝＝＝＝．
∴BC2＝AC2＋AB2－2AC·
ABcosA＝142＋282－2·
14·
28·
＝72·
9Þ
BC＝21．
附加：
（07全国）设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：
存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）=fi（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x
证明：
记，，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）。
令，，，，其中k为任意整数。
容易验证fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi（x+π）=fi（x），i=1，2，3，4。
下证对任意的x∈R，有f1（x）+f2（x）cosx=g（x）。
当时，显然成立；
当时，因为，而
，故对任意的x∈R，f1（x）+f2（x）cosx=g（x）。
下证对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）。
当x=kπ时，h（x）=h（kπ）=h（kπ−2kπ）=h（−kπ）=−h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此时f3（x）sinx+f4（x）sin2x=0，故h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x；
当时，
，故，又f4（x）sin2x=0，从而有h（x）=f3（x）sinx+f4（x）sin2x。
于是，对任意的x∈R，有f3（x）sinx+f4（x）sin2x=h（x）。
综上所述，结论得证。
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