高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx

1、高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编高中数学题库之排列组合二项式定部分（百题尖子生高考数学分类汇编） 一、选择题（共30小题；共150分）1. 若从 ， 这 个整数中同时取 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 A. B. C. D. 3. 若 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则直线 与曲线 围成的封闭区域的面积为 A. B. C. D. 4. 某班有 名学生，其中正、副班长各 人，现要选派 人参加一项社区活动，要求正、副班长至少 人参加，问共有多少种选派方法?下面是学生

2、提供的四个计算式，其中错误的是 A. B. C. D. 5. 在 的展开式中，含 项的系数为 A. B. C. D. 6. 使 展开式中含有常数项的 的最小值是 A. B. C. D. 7. 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中常数项为 A. B. C. D. 8. 将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9. 三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是 A. B. C. D. 10. 若 ，且 ，则 等于 A. B. C. D. 11. 若 的展开式中所

3、有项系数的绝对值之和为 ，则该展开式中的常数项是 A. B. C. D. 12. 从 位男数学教师和 位女语文教师中选出 位教师派到 个班担任班主任（每班 位班主任），要求这 位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 13. 将 A，B，C，D 这 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C之间恰好有 名同学”的概率是 A. B. C. D. 14. 将 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 所大学就读，每所大学至少保送 人，则不同的保送方法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 15. 学校计划利用周五下午

4、第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 16. 某学校派出 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 17. 已知 的展开式中各项系数的和为 ，则展开式中系数最大的项为 A. B. C. D. 18. 在某种信息传输过程中，用 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 和 ，则与信息 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.

5、B. C. D. 19. 已知 ，若 ，则 的值为 A. B. C. D. 20. 的展开式的常数项是 A. B. C. D. 21. 设 ，其中 ，则 A. B. C. D. 22. 的展开式中，含 项的系数为 A. B. C. D. 23. 设 ，则 展开式的常数项为 A. B. C. D. 24. 的展开式中 的系数为 A. B. C. D. 25. 二项式 展开式的常数项为 A. B. C. D. 26. 在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、己 名成员随机抽取 个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情

6、况有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 27. 汉中最美油菜花节期间， 名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有 种 A. B. C. D. 28. 若 ，则在 的展开式中， 的幂指数不是整数的项共有 A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 29. 的展开式中， 的系数为 A. B. C. D. 30. 将 名志愿者分配到 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. B. C. D. 二、填空题（共30小题；共150分）31. 若 展开式的各项系数之和为 ，则其展开式中的常数项为 （用数字作答） 32. 用数字 ， 组成没有重复数

7、字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个（用数字作答） 33. 已知 ，则二项式 的展开式中含 项的系数是 34. 从 名男生， 名女生中选派 人参加学科竞赛，一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人参加化学竞赛，若 人中既有男生又有女生，则不同的选派方法有 种 35. 的展开式中 的系数等于 的系数的 倍，则 等于 36. 若二项式 的展开式中 的系数是 ，则实数 37. 已知 ，在二项式 的展开式中，含 的项的系数为 38. 已知 ，则二项式 展开式中 的系数为 39. 展开式中的常数项为 40. 在 的展开式中， 的系数是 . 41. 已知 的展开式中 项的系数是 ，则

8、实数 的值为 42. 已知二项式 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，则展开式中 的系数等于 43. 已知 的展开式的二项式系数之和为 ，则其展开式中常数等于 44. 的展开式中， 的系数是 45. 已知 ，则 的展开式中常数项为 46. 若 的二项展开式中含 项的系数为 ，则实数 47. 已知 ，则 48. 若 的二项展开式中的常数项是 ，则实数 49. 现有 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张，从中任取 张，要求这 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 张，不同取法的种数为 50. 已知 在区间 上的最小值为 ，则二项式 展开式中 的系数为 51. 已

9、知 ，在 的展开式中， 的系数是 （用数字填写答案） 52. 的展开式中整理后的常数项为 53. 二项式 展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于 54. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种 55. 在 的展开式中，各项系数的和为 ，其二项式系数之和为 ，若 是 与 的等比中项，则 56. 若 的展开式中 的系数为 ，则 57. 若 ，则 58. 的展开式中， 的系数是 （用数字作

10、答） 59. 在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答） 60. 定义域为 的函数 满足 ，且 ， 成等比数列，若 ，则满足条件的不同函数的个数为 三、解答题（共40小题；共520分）61. 年 月 日，作为贵阳市打造“千园之城” 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了 名男生和 名女生共 人进行调查，统计出 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表： 参考公式与数据： （1）根据条件完成下列 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 的情况下愿意接受挑战与性别有关?（2）现

11、用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 名挑战者，再从中抽取 人参加挑战，求抽取的 人中至少有一名男生的概率 62. 为了对2016年某校中考成绩进行分析，在 分以上的全体同学中随机抽取 位，他们的数学分数（已折算成百分制）从小到大排是 ，物理分数从小到大排是 ， 参考数据：，（1）若规定 分（包括 分）以上为优秀，求这 位同学中恰有 位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（2）若这 位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：用变量 与 ， 与 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； 求 与 ， 与 的线性回归方程（系数精确到 ），当某位同学的数学成绩为 分时，估计其物理、化

12、学两科的成绩 63. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 名女同学， 名男同学中随机抽取一个容量为 的样本进行分析 附：线性回归方程为 ，（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的 名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：（i）若规定 分以上（包括 分）为优秀，从这 名同学中抽取 名同学，记 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ，求 的分布列和数学期望； （ii）根据上表数据，求物理成绩 关于数学成绩 的线性回归方程（系数精确到 ）；若班上某位同学的数学成绩为 分，预测该同学的物理成绩为多少分? 64

13、. 现有 （，）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设 是第 行中的最大数，其中 ，记 的概率为 （1）求 的值；（2）证明： 65. 甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队 人随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 人答对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响（1）若比赛前随机从两队的 个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（2）用 表示甲队的总得分，求随机变量 的分布列和数学期望；（3）求两队得分之和大于 的概率 66. 某地有 个著名景点，其中 个为日游

14、景点， 个为夜游景点某旅行团要从这 个景点中选 个作为二日游的旅游地行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点（1）甲、乙两个日游景点至少选 个的不同排法有多少种?（2）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?（3）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法? 67. 已知 二项展开式中第三项的系数为 ，求：（1）含 的项；（2）二项式系数最大的项 68. 已知 的展开式中第 项的系数与第 项的系数之比为 （1）求 的值；（2）求展开式中的常数项 69. 男运动员 名，女运动员 名，其中男女队长各 名，选派 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法

15、?（1）男运动员 名，女运动员 名；（2）至少有 名女运动员；（3）队长中至少有 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员 70. 如图，四边形 的两条对角线 ， 相交于 ，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形 ， 进行染色，且每个三角形用一种颜色图染 （1）若必须使用红色，求四个三角形 ， 中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形 ， 中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数 71. 某旅游爱好者计划从 个亚洲国家 ， 和 个欧洲国家 ， 中选择 个国家去旅游（1）若从这 个国家中任选 个，求这 个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧

16、洲国家中各任选 个，求这 个国家包括 但不包括 的概率； 72. 某车间共有 名工人，随机抽取 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人?（3）从该车间 名工人中，任取 人，求恰有 名优秀工人的概率 73. （1）求 的展开式中 的系数及展开式中各项系数之和；（2）从 ， 这 个数中任取 个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数 74. 男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以 连胜的不败战绩赢得第 届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一 张直通里

17、约奥运会的入场券赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛 （最有价值球员），如表是易建联在这 场比赛中投篮的统计数据注：（）表中 表示出售 次命中 次；（）（真实得分率）是横梁球员进攻的效率，其计算公式为：； （1）从上述 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 超过 的概率；（2）从上述 场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中 至少有一场超过 的概率；（3）用 来表示易建联某场的得分，用 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断 与 之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由 75. 空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空

18、气质量状况的指数空气质量分分级与 AQI 大小关系如表所示：某环保人士从 年 月甲地的 AQI 记录数据轴，随机抽取了 天的 AQI 数据，用茎叶图记录如下： （1）若甲地每年同期的空气质量状况变化不大，请根据统计数据估计 年 月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；（2）从甲地的这 个数据中任意抽取 个，求 AQI 均超过 的概率 76. 某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：从某企业生产的这种产品中抽取 件，检测后得到如下的频率分布直方图： （1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的 的规定”?（2）在样本中，按产

19、品等级用分层抽样的方法抽取 件，再从这 件产品中随机抽取 件，求抽取的 件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值 近似满足 ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少? 77. 设 ，有序数组 经 次变换后得到数组 ，其中 ，例如：有序数组 经 次变换后得到数组 ，即 ；经第 次变换后得到数组 （注 时，则 ）（1）若 ，求 的值；（2）求证：，其中 78. 在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共 场，并以最佳的 场成绩计算最终的名次在一次国际风帆比赛中，前 场比赛结束后，排名前 名的

20、选手积分如表： （1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；（2）从前 场平均分低于 的运动员中，随机抽取 个运动员进行兴奋剂检查，求至少 个运动员平均分不低于 分的概率；（3）请依据前 场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由 79. 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：（1）用分层抽样的方法在 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 人，求至少有 人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 人，其中 岁以下 人， 岁以上 人，再从这 个

21、人中随机抽取出 人，此人的年龄为 岁以上的概率为 ，求 ， 的值 80. 一个袋中有 个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出 个球，至少得到一个白球的概率是 （1）求白球的个数；（2）求从袋中任意摸出 个球，至多有一个白球的概率 81. 年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过 元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过 元的群众中抽取了 人作调查，所得频率分布直方图如图所示： 记年龄在 ， 对应的小矩形的面积分别是 ，且 （1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过 元的有 人，试估计该地区在双十一活动中消费超过 元且年龄在 的人数；（2）若按照分层抽样，

22、从年龄在 ， 的人群中共抽取 人，再从这 人中随机抽取 人作深入调查，求至少有 人的年龄在 内的概率 82. 男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以 连胜的不败战绩赢得第 届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一 张直通里约奥运会的入场券赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP最有价值球员），如表是易建联这 场比赛中投篮的统计数据 注：（）表中 表示出手 次命中 次； （）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：（1）从上述 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 过 的概率；（2）从上述 场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中 至少有一场超过 的概率；（3）用 来表示易建联某场的得分，

23、用 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示， 请根据散点图判断 与 之间是否具有线性相关关系?结合实际简单说明理由 83. 设 为奇函数，且 ，数列 与 满足如下关系：，（1）求 的解析表达式；（2）证明：当 时，有 84. 已知在 的展开式中二项式系数和为 ，（1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项 85. （1）求 的值；（2）设 ，求证： 86. 设 是由 个实数组成的有序数组，满足下列条件： ，； ； ，（1）当 时，写出满足题设条件的全部 ；（2）设 ，其中 ，求 的取值集合；（3）给定正整数 ，求 的个数 87. 如图，由若干个小正方形组成的 层三角形图阵，第

24、一层有 个小正方形，第二层有 个小正方形，依此类推，第 层有 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为 ，其中 ，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为 . （1）当 时，若要求 为 的倍数，则有多少种不同的标注方法?（2）当 时，若要求 为 的倍数，则有多少种不同的标注方法? 88. 已知函数 ，设数列 满足：，（1）求证： ， 都有 ；（2）求证： 89. 已知直角 的三边长 ，满足 （1）在 ， 之间插入 个数，使这 个数构成以 为首项

25、的等差数列 ，且它们的和为 ，求斜边的最小值；（2）已知 ， 均为正整数，且 ， 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列 ，且 ，求满足不等式 的所有 的值；（3）已知 ， 成等比数列，若数列 满足 ，证明：数列 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且 是正整数 90. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各 条，一邮递员从该城市西北角的邮局 出发，送信到东南角 地，要求所走路程最短. （1）求该邮递员途径 地的概率 ；（2）求证：， 91. 个正数排成一个 行 列的数阵， 其中 表示该数阵中位于第 行第 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为 的等比

26、数列，且 ，（1）求 和 （2）设 （1）求 ； （2） 证明：当 是 的倍数时， 能被 整除 92. 已知集合 是集合 的子集，且 中恰有 个元素，同时这 个元素的和是 的倍数记符合上述条件的集合 的个数为 （1）求 ，；（2）求 （用含 的式子表示） 93. 当 ， 时，对于集合 ，集合 的所有含3个元素的子集分别表示为 ，其中 表示集合 的含3个元素的子集的个数设 为集合 中的最大元素， 为集合 中的最小元素，记 ，（1）当 时，分别求 ，（2）求证： 94. 设 ， 均为非空集合，且 ， 记 ， 中的元素的个数分别为 ，所有满足 ，且 的集合对 的个数为 （1）求 ， 的值；（2）求

27、95. 已知数列 中，前 项和为 ，点 在直线 上，其中 （1）设 ，且 ，求证：数列 是等比数列；（2）令 ，求函数 在点 处的导数 ，并比较 与 的大小 96. 设 是数 ， 的任意一个全排列，定义 ，其中 （1）若 ，求 的值；（2）求 的最大值；（3）求使 达到最大值的所有排列 的个数 97. 已知集合 ，规定：若集合 ，则称 为集合 的一个分拆，当且仅当：， 时， 与 为同一分拆，所有不同的分拆种数记为 例如：当 ， 时，集合 的所有分拆为：，即 （1）求 ；（2）试用 ， 表示 ；（3）证明： 与 同为奇数或者同为偶数（当 时，规定 ） 98. 设 且 ，集合 的所有含 个元素的子

28、集记为 （1）求集合 中所有元素之和 ；（2）记 为 中最小元素与最大元素之和，求 的值 99. 设 ， 是 的反函数（1）设关于 的方程 在区间 上有实数解，求 的取值范围；（2）当 （ 为自然对数的底数）时，证明：；（3）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由 100. 设 是集合 的一个 元子集（即由 个元素组成的集合），且 的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合 的包含集合 的任意 元子集 ，则存在 的两个子集，使这两个子集的元素之和相等（1）当 时，试写出一个三元子集 （2）当 时，求证：，并求集合 的元素之和 的最大值答案第一部分1. D 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，