高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx
《高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编.docx（51页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学题库之排列组合二项式定部分百题尖子生高考数学分类汇编
高中数学题库之排列组合二项式定部分（百题尖子生高考数学分类汇编）
一、选择题（共30小题；共150分）
1.若从，，，，这个整数中同时取个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.种B.种C.种D.种
2.已知的展开式中含的项的系数为，则
A.B.C.D.
3.若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域的面积为
A.B.C.D.
4.某班有名学生，其中正、副班长各人，现要选派人参加一项社区活动，要求正、副班长至少人参加，问共有多少种选派方法?
下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是
A.B.C.D.
5.在的展开式中，含项的系数为
A.B.C.D.
6.使展开式中含有常数项的的最小值是
A.B.C.D.
7.的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为
A.B.C.D.
8.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A.种B.种C.种D.种
9.三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是
A.B.C.D.
10.若，且，则等于
A.B.C.D.
11.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为，则该展开式中的常数项是
A.B.C.D.
12.从位男数学教师和位女语文教师中选出位教师派到个班担任班主任（每班位班主任），要求这位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有
A.种B.种C.种D.种
13.将A，B，C，D这名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有名同学”的概率是
A.B.C.D.
14.将位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，每所大学至少保送人，则不同的保送方法共有
A.种B.种C.种D.种
15.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有
A.种B.种C.种D.种
16.某学校派出名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有
A.种B.种C.种D.种
17.已知的展开式中各项系数的和为，则展开式中系数最大的项为
A.B.C.D.
18.在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有和，则与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.B.C.D.
19.已知，若，则的值为
A.B.C.D.
20.的展开式的常数项是
A.B.C.D.
21.设，其中，．则
A.B.C.D.
22.的展开式中，含项的系数为
A.B.C.D.
23.设，则展开式的常数项为
A.B.C.D.
24.的展开式中的系数为
A.B.C.D.
25.二项式展开式的常数项为
A.B.C.D.
26.在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、己名成员随机抽取个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有
A.种B.种C.种D.种
27.汉中最美油菜花节期间，名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有种．
A.B.C.D.
28.若，则在的展开式中，的幂指数不是整数的项共有
A.项B.项C.项D.项
29.的展开式中，的系数为
A.B.C.D.
30.将名志愿者分配到个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.B.C.D.
二、填空题（共30小题；共150分）
31.若展开式的各项系数之和为，则其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
32.用数字，，，，，，，，组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个（用数字作答）．
33.已知，则二项式的展开式中含项的系数是 ．
34.从名男生，名女生中选派人参加学科竞赛，一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人参加化学竞赛，若人中既有男生又有女生，则不同的选派方法有 种．
35.的展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 ．
36.若二项式的展开式中的系数是，则实数 ．
37.已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为 ．
38.已知，则二项式展开式中的系数为 ．
39.展开式中的常数项为 ．
40.在的展开式中，的系数是 .
41.已知的展开式中项的系数是，则实数的值为 ．
42.已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则展开式中的系数等于 ．
43.已知的展开式的二项式系数之和为，则其展开式中常数等于 ．
44.的展开式中，的系数是 ．
45.已知，则的展开式中常数项为 ．
46.若的二项展开式中含项的系数为，则实数 ．
47.已知，则 ．
48.若的二项展开式中的常数项是，则实数 ．
49.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同取法的种数为 ．
50.已知在区间上的最小值为，则二项式展开式中的系数为 ．
51.已知，在的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）．
52.的展开式中整理后的常数项为 ．
53.二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于 ．
54.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种．
55.在的展开式中，各项系数的和为，其二项式系数之和为，若是与的等比中项，则 ．
56.若的展开式中的系数为，则 ．
57.若，则 ．
58.的展开式中，的系数是 （用数字作答）．
59.在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
60.定义域为的函数满足，且，，成等比数列，若，，则满足条件的不同函数的个数为 ．
三、解答题（共40小题；共520分）
61.年月日，作为贵阳市打造“千园之城”个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了名男生和名女生共人进行调查，统计出名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
参考公式与数据：
．
（1）根据条件完成下列列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过的情况下愿意接受挑战与性别有关?
（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取名挑战者，再从中抽取人参加挑战，求抽取的人中至少有一名男生的概率．
62.为了对2016年某校中考成绩进行分析，在分以上的全体同学中随机抽取位，他们的数学分数（已折算成百分制）从小到大排是，，，，，，，，物理分数从小到大排是，，，，，，，．
参考数据：
，，，，，，，，，，．
（1）若规定分（包括分）以上为优秀，求这位同学中恰有位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
①用变量与，与的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求与，与的线性回归方程（系数精确到），当某位同学的数学成绩为分时，估计其物理、化学两科的成绩．
63.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析．
附：
线性回归方程为，，，
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?
（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩（单位：
分）对应如下表：
（i）若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
（ii）根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到）；若班上某位同学的数学成绩为分，预测该同学的物理成绩为多少分?
64.现有（，）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
设是第行中的最大数，其中，．记的概率为．
（1）求的值；
（2）证明：
．
65.甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
（1）若比赛前随机从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（2）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）求两队得分之和大于的概率．
66.某地有个著名景点，其中个为日游景点，个为夜游景点．某旅行团要从这个景点中选个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．
（1）甲、乙两个日游景点至少选个的不同排法有多少种?
（2）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?
（3）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法?
67.已知二项展开式中第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
68.已知的展开式中第项的系数与第项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项．
69.男运动员名，女运动员名，其中男女队长各名，选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?
（1）男运动员名，女运动员名；
（2）至少有名女运动员；
（3）队长中至少有人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
70.如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色图染．
（1）若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；
（2）若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数．
71.某旅游爱好者计划从个亚洲国家，，和个欧洲国家，，中选择个国家去旅游．
（1）若从这个国家中任选个，求这个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选个，求这个国家包括但不包括的概率；
72.某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人?
（3）从该车间名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率．
73.
（1）求的展开式中的系数及展开式中各项系数之和；
（2）从，，，，，这个数中任取个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数．
74.男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以连胜的不败战绩赢得第届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），如表是易建联在这场比赛中投篮的统计数据．注：
（）表中表示出售次命中次；（）（真实得分率）是横梁球员进攻的效率，其计算公式为：
；
（1）从上述场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过的概率；
（2）从上述场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中至少有一场超过的概率；
（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系?
结合实际简单说明理由．
75.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．空气质量分分级与AQI大小关系如表所示：
某环保人士从年月甲地的AQI记录数据轴，随机抽取了天的AQI数据，用茎叶图记录如下：
（1）若甲地每年同期的空气质量状况变化不大，请根据统计数据估计年月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；
（2）从甲地的这个数据中任意抽取个，求AQI均超过的概率．
76.某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
从某企业生产的这种产品中抽取件，检测后得到如下的频率分布直方图：
（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的的规定”?
（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取件，再从这件产品中随机抽取件，求抽取的件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
77.设，，有序数组经次变换后得到数组，其中，，，．例如：
有序数组经次变换后得到数组，即；经第次变换后得到数组．
（注时，，，则）
（1）若，求的值；
（2）求证：
，其中．
78.在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共场，并以最佳的场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前场比赛结束后，排名前名的选手积分如表：
（1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；
（2）从前场平均分低于的运动员中，随机抽取个运动员进行兴奋剂检查，求至少个运动员平均分不低于分的概率；
（3）请依据前场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．
79.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
（1）用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取人，其中岁以下人，岁以上人，再从这个人中随机抽取出人，此人的年龄为岁以上的概率为，求，的值．
80.一个袋中有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，至少得到一个白球的概率是．
（1）求白球的个数；
（2）求从袋中任意摸出个球，至多有一个白球的概率．
81.年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过元的群众中抽取了人作调查，所得频率分布直方图如图所示：
记年龄在，，对应的小矩形的面积分别是，，，且．
（1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过元的有人，试估计该地区在双十一活动中消费超过元且年龄在的人数；
（2）若按照分层抽样，从年龄在，的人群中共抽取人，再从这人中随机抽取人作深入调查，求至少有人的年龄在内的概率．
82.男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以连胜的不败战绩赢得第届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP最有价值球员），如表是易建联这场比赛中投篮的统计数据．
注：
（）表中表示出手次命中次；
（）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
（1）从上述场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中过的概率；
（2）从上述场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中至少有一场超过的概率；
（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，
请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系?
结合实际简单说明理由．
83.设为奇函数，且，数列与满足如下关系：
，，．
（1）求的解析表达式；
（2）证明：
当时，有．
84.已知在的展开式中二项式系数和为，
（1）求展开式中常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
85.
（1）求的值；
（2）设，，，求证：
．
86.设是由个实数组成的有序数组，满足下列条件：
①，；②；③，．
（1）当时，写出满足题设条件的全部；
（2）设，其中，求的取值集合；
（3）给定正整数，求的个数．
87.如图，由若干个小正方形组成的层三角形图阵，第一层有个小正方形，第二层有个小正方形，依此类推，第层有个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，，，，其中，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为.
（1）当时，若要求为的倍数，则有多少种不同的标注方法?
（2）当时，若要求为的倍数，则有多少种不同的标注方法?
88.已知函数，设数列满足：
，．
（1）求证：
，都有；
（2）求证：
．
89.已知直角的三边长，，，满足．
（1）在，之间插入个数，使这个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求斜边的最小值；
（2）已知，，均为正整数，且，，成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，，，，，且，求满足不等式的所有的值；
（3）已知，，成等比数列，若数列满足，证明：
数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数．
90.如图所示，某城市有南北街道和东西街道各条，一邮递员从该城市西北角的邮局出发，送信到东南角地，要求所走路程最短.
（1）求该邮递员途径地的概率；
（2）求证：
，
91.个正数排成一个行列的数阵，其中表示该数阵中位于第行第列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为的等比数列，且，．
（1）求和．
（2）设．
（1）求；
（2）证明：
当是的倍数时，能被整除．
92.已知集合是集合的子集，且中恰有个元素，同时这个元素的和是的倍数．记符合上述条件的集合的个数为．
（1）求，；
（2）求（用含的式子表示）．
93.当，时，对于集合，集合的所有含3个元素的子集分别表示为，，，，，，其中表示集合的含3个元素的子集的个数．设为集合中的最大元素，为集合中的最小元素，，记，．
（1）当时，分别求，，．
（2）求证：
．
94.设，均为非空集合，且，．记，中的元素的个数分别为，，所有满足"，且"的集合对的个数为．
（1）求，的值；
（2）求．
95.已知数列中，前项和为，点在直线上，其中．
（1）设，且，求证：
数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．
96.设是数，，，，，，，，，的任意一个全排列，定义，其中．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值；
（3）求使达到最大值的所有排列的个数．
97.已知集合，规定：
若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：
，，，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为．例如：
当，时，集合的所有分拆为：
，，，即．
（1）求；
（2）试用，表示；
（3）证明：
与同为奇数或者同为偶数（当时，规定）．
98.设且，集合的所有含个元素的子集记为．
（1）求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．
99.设，是的反函数．
（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；
（2）当（为自然对数的底数）时，证明：
；
（3）当时，试比较与的大小，并说明理由．
100.设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个子集的元素之和不相等；而对于集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等．
（1）当时，试写出一个三元子集．
（2）当时，求证：
，并求集合的元素之和的最大值．
答案
第一部分
1.D【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
升级会员 