高中数学学案北师大版必修2 圆的一般方程 教案Word文档下载推荐.docx

1、当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式，这是因为它可避免解三元二次方程组圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，它有利于研究圆的有关性质和作图而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中，应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径要画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性三维目标1在掌

2、握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径2掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件，通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力3能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力重点难点教学重点：圆的一般方程的代数特征一般方程与标准方程间的互化根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用课时安排1课时导入新

3、课思路1.写出圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程（xa）2（yb）2r2.将圆的标准方程展开并整理得x2y22ax2bya2b2r20.如果D2a，E2b，Fa2b2r2，得到方程x2y2DxEyF0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式能不能说方程x2y2DxEyF0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容思路2.问题：求过三点A（0,0），B（1,1），C（4,2）的圆的方程利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式推进新课前一章我们研究直线方程用的什

4、么顺序和方法？这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？给出式子x2y2DxEyF0，请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.把式子（xa）2（yb）2r2与x2y2DxEyF0配方后的式子比较，得出x2y2DxEyF0表示圆的条件.对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式（点斜式、两点式、）展开整理而得到的我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方

5、程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般把式子x2y2DxEyF0配方得.（xa）2（yb）2r2中，r0时表示圆，r0时表示点（a，b），r0时不表示任何图形因此式子，（）当D2E24F0时，表示以（）当D2E24F0时，方程只有实数解x（）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x2y2DxEyF0的形式，但方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆，只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆因此x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0.我们把形如x2y2DxEyF0表示圆的

6、方程称为圆的一般方程圆的一般方程形式上的特点：x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项圆的一般方程中有三个待定的系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显思路1例1 求过点M（1,1），并与已知圆C：x2y24x6y30同心的圆的方程图1解：将已知圆的方程化为标准方程（x2）2（y3）216，圆心C的坐标为（2，3），半径为4，故所求圆的半径为r|CM|5.所求圆的方程为（x2）2（y3）225（如图1）例2 求过三点O（0,0），M1（1,1），M2

7、（4,2）的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标方法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圆上，则有解得D8，E6，F0.故所求圆的方程为x2y28x6y0，即（x4）2（y3）252.所以圆心坐标为（4，3），半径为5.方法二：先求出OM1的中点E，M1M2的中点F再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y，AB的垂直平分线PF的直线方程y3，联立得解得则点P的坐标为（4，3），即为圆心OP5为半径方法三：设所求圆的圆心坐标为P（a，b），根据圆的性质可得|OP|AP|BP|，即x2y2（x1）2（y1）2（x4）2（y2）2，解之，得P（4，3），OP5为半径方法四：设所

8、求圆的方程为（xa）2（yb）2r2，因为O（0,0），A（1,1），B（4,2）在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a，b，r的方程组，即解此方程组得所以所求圆的方程为（x4）2（y3）252，圆心坐标为（4，3），半径为5.点评：请同学们比较，关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程例3 已知点P（10,0），Q为圆x2y216上一动点当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程活动：学生回想

9、求曲线方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识，过中点作中线，利用中线定长可得方程，再就是利用求曲线方程的办法来求解法一：如图2，作MNOQ交x轴于N，图2则N为OP的中点，即N（5,0）因为|MN|OQ|2（定长）所以所求点M的轨迹方程为（x5）2y24.用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件，然后再将条件代数化但在许多问题中，动点满足的几何条件较为隐蔽复杂，将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法转移法就是一种很重要的方法用转移法求轨迹方程时，首先分析轨迹上的动点M的运动情况，探求它是由什么样的点控制的解法二：设M（

10、x，y）为所求轨迹上任意一点Q（x0，y0）因为M是PQ的中点，所以即（*）又因为Q（x0，y0）在圆x2y216上，所以xy16.将（*）代入得（2x10）2（2y）216.故所求的轨迹方程为（x5）2y24.相关点法步骤：设被动点M（x，y），主动点Q（x0，y0）求出点M与点Q坐标间的关系（）从（）中解出（）将（）代入主动点Q的轨迹方程（已知曲线的方程），化简得被动点的轨迹方程这种求轨迹方程的方法也叫相关点法，以后要注意运用.变式训练已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆（x1）2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0）由

11、于点B的坐标是（4,3）且M是线段AB的中点，所以x，y.于是有x02x4，y02y3.因为点A在圆（x1）2y24上运动，所以点A的坐标满足方程（x1）2y24，即（x01）2y4.把代入，得（2x41）2（2y3）24，整理，得21.所以点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.思路2例1 求圆心在直线l：xy0上，且过两圆C1：x2y22x10y240和C2：x2y22x2y80的交点的圆的方程学生审题，教师引导，强调应注意的问题，根据题目特点分析解题思路，确定解题方法由于两圆的交点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程解方程组得两圆交点为（0,2），（4,0）设所求圆的方程为

12、（xa）2（yb）2r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上，所以得方程组故所求圆的方程为（x3）2（y3）210.由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程例2 已知圆在x轴上的截距分别为1和3，在y轴上的截距为1，求该圆的方程利用圆的一般方程设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，由已知，该圆经过点（1,0），（3,0）和（0，1），则有解之，得故所求圆的方程为x2y24x4y30.利用圆的标准方程由题意该圆经过P（1,0），Q（3,0），R（1,0），设圆的方程为（xa）2（yb）2r2，则圆心C（a，b）在PQ的垂直平分线上，故a2.因为|

13、PC|RC|，所以将a2代入，得b2，所以C（2，2）而r|PC|，故所求圆的方程为（x2）2（y2）25.例3 试求圆C：x2y2x2y0关于直线l：xy10对称的曲线C的方程学生先思考，然后解答，教师引导学生抓住本质的东西，即圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求设P（x，y）为所求曲线C上任意一点，P关于l的对称点为P（x0，y0），则P（x0，y0）在圆C上由题意可得因为P（x0，y0）在圆C上，所以xx02y00.将（*）代入得（y1）2（x1）2（y1）2（x1）0，化简得x2y24x3y50，即为C的方程（特殊对称）圆C关于直线l的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需

14、求圆心C，即求关于直线l：xy10的对称点C，因此所求圆C的方程为（x2）2比较解法一与解法二看出，利用几何性质解题往往较简单1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程如果是，请求出圆的圆心坐标及半径（1）4x24y24x12y90；（2）4x24y24x12y110.2求下列圆的半径和圆心坐标：（1）x2y28x6y0；（2）x2y22by0.解答：1.（1）由4x24y24x12y90，得D1，E3，F，而D2E24F19910.所以方程4x24y24x12y90表示圆的方程，其圆心为，半径为（2）由4x24y24x12y110，得D1，E3，F，D2E24F191110，所以方程4x24y2

15、4x12y110不表示圆的方程对于形如Ax2By2DxEyF0的方程判断其是否表示圆，先化为x2y2DxEyF0的形式，再利用条件D2E24F与0的大小判断，不能直接套用另外，直接配方也可以判断2（1）把x2y28x6y0配方得（x4）2（y3）252，所以圆心为（4，3），半径为5.（2）x2y22by0配方得x2（yb）2b2，所以圆心为（0，b），半径为|b|.由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握已知圆x2y2x8ym0与直线x2y60相交于P，Q两点，定点R（1,1），若PRQR，求实数m的值设P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得5x24m600.由题意

16、，方程有两个不等的实数根，所以604m0，即m15.由韦达定理因为PRQR，所以kPRkQR1.所以1，即（x11）（x21）（y11）（y21）0，即x1x2（x1x2）y1y2（y1y2）20.因为y13，y23所以y1y29（x1x2）9，y1y26.代入，得x1x250，即50.所以m10，适合m15.所以实数m的值为10.1任何一个圆的方程都可以写成x2y2DxEyF0的形式，但方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆，只有D2E24F0时，方程表示圆心为，半径为r的圆2求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点

17、的坐标，则宜用一般方程3要画出圆的图像，必须要知道圆心坐标和半径，因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法习题22A组第2,3题这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重，知识、能力、思想方法并重”在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，引导学生探索，重视探索过程一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾、类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法同时，通过类比进行条件的探求“D2E24F”与“”（判别式）类比在整个探求过程中充分利用了“旧

18、知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程备用习题1若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是（）Aa2或aBa0C2a0D2a分析：由二元二次方程表示圆的条件，有D2E24Fa2（2a）24（2a2a1）0.解之，可得2a答案：D2过原点且在x，y轴上的截距分别为p，q（p，q均不为0）的圆的方程是（）Ax2y2pxqy0 Bx2y2pxqy0Cx2y2pxqy0 Dx2y2pxqy0由题意知圆过原点，且在x，y轴上的截距分别为p，q，则圆的圆心坐标为且常数项为0.A3已知圆C的方程为f（x，y）0，点A（x0，y0）是圆外的一点，那么方程f（x，y）f（x0，y0）0表示的曲线是（）A与圆C重合的圆B过点A（x0，y0）与圆C相交的圆C过点A（x0，y0）与圆C同心的圆D可能不是圆设f（x，y）x2y2DxEyF0，则f（x0，y0）xDx0Ey0F0，从而f（x，y）f（x0，y0）x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0，过点A（x0，y0）与圆C同心C（设计者：高建勇）