高中数学学案北师大版必修2 圆的一般方程 教案Word文档下载推荐.docx
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当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.
圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.
三维目标
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.
2.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件,通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.
3.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
重点难点
教学重点:
①圆的一般方程的代数特征.
②一般方程与标准方程间的互化.
③根据已知条件确定方程中的系数D,E,F.
教学难点:
对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.写出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
将圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.
能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?
这就是我们本堂课的内容.
思路2.问题:
求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢?
带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.
推进新课
①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?
②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?
③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.
④把式子(x-a)2+(y-b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?
讨论结果:
①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.
②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试!
我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.
③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得
.
④(x-a)2+(y-b)2=r2中,r>0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r<0时不表示任何图形.因此式子
,
(ⅰ)当D2+E2-4F>0时,表示以
(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-
(ⅲ)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F>0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
⑤圆的一般方程形式上的特点:
x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D,E,F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
思路1
例1求过点M(-1,1),并与已知圆C:
x2+y2-4x+6y-3=0同心的圆的方程.
图1
解:
将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16,
圆心C的坐标为(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为r=|CM|=
=5.
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25(如图1).
例2求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.
方法一:
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O,M1,M2在圆上,则有
解得D=-8,E=6,F=0.
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=52.
所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.
方法二:
先求出OM1的中点E
,M1M2的中点F
再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-
=-
,①
AB的垂直平分线PF的直线方程y-
=-3
,②
联立①②得
解得
则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.
方法三:
设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,
解之,得P(4,-3),OP=5为半径.
方法四:
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a,b,r的方程组,即
解此方程组得
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.
点评:
请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;
如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.
例3已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.
活动:
学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,过中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
解法一:
如图2,作MN∥OQ交x轴于N,
图2
则N为OP的中点,即N(5,0).因为|MN|=
|OQ|=2(定长).
所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.
解法二:
设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).
因为M是PQ的中点,所以
即
(*)
又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x
+y
=16.
将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
相关点法步骤:
①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).
②求出点M与点Q坐标间的关系
(Ⅰ)
③从(Ⅰ)中解出
(Ⅱ)
④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.
这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.
变式训练
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).
由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=
,y=
.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y
=4.②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
整理,得
2=1.
所以点M的轨迹是以
为圆心,半径长为1的圆.
思路2
例1求圆心在直线l:
x+y=0上,且过两圆C1:
x2+y2-2x+10y-24=0和C2:
x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.
解方程组
得两圆交点为(0,2),(-4,0).
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组
故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.
例2已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.
利用圆的一般方程.
设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有
解之,得
故所求圆的方程为x2+y2-4x+4y+3=0.
利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.
因为|PC|=|RC|,所以
=
将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).
而r=|PC|=
,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.
例3试求圆C:
x2+y2-x+2y=0关于直线l:
x-y+1=0对称的曲线C′的方程.
学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.
设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.
由题意可得
因为P(x0,y0)在圆C上,所以x
-x0+2y0=0.
将(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,
化简得x2+y2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.
(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求
关于直线l:
x-y+1=0的对称点C′
,因此所求圆C′的方程为(x+2)2+
比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.
1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程.如果是,请求出圆的圆心坐标及半径.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
2.求下列圆的半径和圆心坐标:
(1)x2+y2-8x+6y=0;
(2)x2+y2+2by=0.
解答:
1.
(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=
,而D2+E2-4F=1+9-9=1>0.
所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心为
,半径为
(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=
,D2+E2-4F=1+9-11=-1<0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其是否表示圆,先化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.
2.
(1)把x2+y2-8x+6y=0配方得(x-4)2+(y+3)2=52,所以圆心为(4,-3),半径为5.
(2)x2+y2+2by=0配方得x2+(y+b)2=b2,所以圆心为(0,-b),半径为|b|.
由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握.
已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P,Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
消去y得5x2+4m-60=0.①
由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m>0,即m<15.
由韦达定理
因为PR⊥QR,所以kPR·
kQR=-1.
所以
·
=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.②
因为y1=3-
,y2=3-
所以y1y2=
=9-
(x1+x2)+
=9+
,y1+y2=6.
代入②,得
x1x2+5=0,即
+5=0.
所以m=10,适合m<15.所以实数m的值为10.
1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F>0时,方程表示圆心为
,半径为r=
的圆.
2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:
若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;
若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.
3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.
习题2—2 A组第2,3题.
这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重,知识、能力、思想方法并重”.
在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法;
另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D2+E2-4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.
备用习题
1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )
A.a<-2或a>
B.-
<a<0
C.-2<a<0
D.-2<a<
分析:
由二元二次方程表示圆的条件,有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0.
解之,可得-2<a<
答案:
D
2.过原点且在x,y轴上的截距分别为p,q(p,q均不为0)的圆的方程是( )
A.x2+y2-px-qy=0B.x2+y2+px-qy=0
C.x2+y2-px+qy=0D.x2+y2+px+qy=0
由题意知圆过原点,且在x,y轴上的截距分别为p,q,则圆的圆心坐标为
且常数项为0.
A
3.已知圆C的方程为f(x,y)=0,点A(x0,y0)是圆外的一点,那么方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是( )
A.与圆C重合的圆
B.过点A(x0,y0)与圆C相交的圆
C.过点A(x0,y0)与圆C同心的圆
D.可能不是圆
设f(x,y)=x2+y2+Dx+Ey+F=0,则f(x0,y0)=x
+Dx0+Ey0+F>0,从而f(x,y)-f(x0,y0)=x2+y2+Dx+Ey+F-x
-y
-Dx0-Ey0-F=0,过点A(x0,y0)与圆C同心.
C
(设计者:
高建勇)