线性代数练习题附答案.docx

1、线性代数练习题附答案线性代数与解析几何练习题行列式部分一填空题：1若排列1274i56k9是偶排列，则i 8 , k 3j)则2已知a1ia25a3ja41a5k是五阶行列式中的一项，且带正号，其中(ii 2 , j 4 ,k 33设 A, B 是 n 阶可逆阵，且 A 5，贝U (AT A)3 56 , 2A 2n 5B 1AkB 5k (k为常数)4.已知3 1 2D 2 3 10 1 4用Aj表示D的元素aj的代数余子式，贝U 2A21 3A22 A23 D 37则 f (4) 1607.设111111111111112 32 12 512 4 81 1 4 151 1 4 150 2

2、5 12. 2 3. 2 3. 2 31 x x x1 x x x1 x x x1, 2,3上述方程的解x3.设A是n阶方阵,2 计算行列式1111111111110413025102510251009100911400441200141400093197解：D且AI0AI 。求aat解：Al A AA A(l At) A (A I)T A A IA 0 A I 04.设A是n阶实对称矩阵，A2 2a 0，若r(A) k (0 k n)，求A 3I2是k重的特征值。Xn an矩阵部分填空题:1.设三阶方阵A ,B满足 A 1BA 6A BA,且A01 000 730 0B6( A 1I)102

3、 0 。00 1a1b1a1b2aba2b|a2b2a2bn0(i 1,2,3,n)2设A，其中q 0 , bi，则矩阵andanb2anbnA的秩=1，则10 0, B可逆，r(AB) r(A) 2)5 设矩阵7.设四阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵 A的秩为 0&设A, B均为n阶矩阵,2, B3，则2A9设A的伴随矩阵，11 1 *(A)1 10AA，则23A是三阶方阵，A*是1 1 3 1|3A 5A | ( 2)16 )。10 设A , C分别为r阶和s阶的可逆矩阵，则分块矩阵XC 1BA 1 C 1 A111设n阶方阵A满足方程A2 3A 2iA(A3I)2I )12.设13.设A2

4、2A，而AnB是n阶矩阵，且(AB A B I的逆矩阵的逆矩阵A1尹3I)n 2为正整数，则2An1)AB=A+B，则(AA(B I) (B I)AnI) 12An1(B I)(A I)二选择题：1 设n阶矩阵A ,(A) ACB=EC满足关系式ABC=E ,(B)CBA=E其中(C) BAC=EE是n阶单位矩阵,(D)则必有(D )BCA=E2设A是n阶方阵(n3),A*是A的伴随矩阵，又 k为常数，且k 0, 1，则必有(kA) = ( B )(A) kA(B) kn1A(C) knA1(D) k A3 设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则有(A(A) A(B) A(C) A(D)

5、A4设a11a12a13a21a22 a23Aa21a22a23 ,Ba11a12 a13 ,a31a32a33a31 a11a32 a12 a33 a13010100P100,P2010001101则必有（C;)(A)ARP?B(B)AP2P1B(C) P1P2A B (D)P2PA B5设A , B均为n阶方阵，则必有（D )(A)A BAB(B)ABBA(C)(A B)1A1B1(D)ABBA6.设n维向量(-,0,0,丄),矩阵AIT7B2 T ,其中1为n阶22单位矩阵，则AB(C )(A) 0(B)I(C) I(D)IT7.设A是n阶可逆矩阵（n 2） , A是A的伴随矩阵，则（C

6、 ）(A) (A*)*An 1A(B)n 2(C) (A*)*AA(D)n 1(A*)* A An 2(A*)* A Aaaa ,若矩阵A的秩为n 1,则a必为(B )(A) 1 (B)9.设 A,B, A B, Aa a a11 (C)-1(D)11 nn 1B 1均为n阶可逆矩阵，则（AB 1) 1 等于(C )(A) A B 1 (B) A B (C) B(A B) 1A (D) (A B)三计算题：1 1 0（n是自然数）1 已知A 0 1 1 ，求An0 0 1解:由归纳法，An10n1n(n2 n1)0012.已知AP=PB，其中1 00100B0 00P2100 01211求:A

7、 及 A5。100100解:P 1 210A PBP1200411611A51 5(PBP )5PB 1P 11PBPA3.已知n阶方阵22220111A00110001求A中所有元素的代数余子式之和。解：A 2 A可逆2 1 0 00 11 0A100010001*1n 1A 2AAj 2 (n 1) (n 1) 1i,j 14233已知矩阵A,B满足：AB A 2B，其中A110，求矩阵B。1 23解：AB 2B A B (A 2I) 1A3 8 6B 2 9 62 12 95设矩阵A, B，满足A* BA 2BA 8I ,其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵解：1 * 1 A BA (2BA

8、8I)A A1 1B 4 A(A 1 I) 4( I1 16已知A 0 10 01解：B A A1 2A 0 20 0B。A 1BA 4I2A) 1 00121 ，且 A AB1BA (A 1 I) BA4 64 80 211111 201101 100100 1a1111a1111a1，求 r(A)。7设n阶方阵AI，其中I为三阶单位矩阵，求矩阵 B。0 2 10 0 00 0 0a na (n 解：A a (na (n1 1 1 a1 1 1 11) a 1 11) 1 a 11) 1 1 a故 a 1 时，r( A)四.证明题:1 ； a 1 n 时，r(A)=n-1;100a 1当 1

9、 且 1-n 时，r(A)=n1设A是n阶非零方阵， A*是A的伴随矩阵， A是A的转置矩阵，当 A* A时，证证明： AA* aj / lAaij Aij2aij0另证（反证法）:若A0r(A)n1T *T*A Ar(A) r(A )1r(A )0AA 0与题设矛盾。2设A是n阶方阵，若A0，证明:A*0（其中A*是A的伴随矩阵）证明:3设 A (aij )4 4 , Aj 为的代数余子式，且Aijaij (i , j 1,2,3,4) , a11 0 ，求证:证明:A （厲）（aQatA A AI(1)442 a1 j j 14 用矩阵秩和向量组秩的关系证明r(AB)min r(A),r(

10、B)证明：设 A Mm,k , B Mk,n证明 r(A) r(B)5设A为m n矩阵，B为n k矩阵，若AB 0,0)证明：AB A(B1 B2 . Bk) (AB1 AB2 ABk) (0 0所以AB1 0 AB2 0 . ABk 0，即B1,B2,.,Bk为齐次线性方程组 Ax 0的解，因此可由Ax 0的基础解系线性表示，所以r(B1, B2,., Bk) nr，即r(A) r(B) n。6设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩巨阵,证明：nR(A)n秩(A*) 1R(A)n 10R(A)n 1证明：(1)R(A)n A可逆，而*A1|A| A,从而A*可逆，R(A*) n(2)R(A) n

11、1|A| 0*AA|A|I0R(A) R(A*)n*R(A )1又A至少有一个n-1阶子式不为零， R(A*) 1，从而R(A*) 1(3) R(A) n 1 A的所有n-1阶子式全为零。故A* 0,从而R(A*) 0。空间向量与线性方程组部分一.填空题：1.设(a b) c 2 ,则(ab)(bc)(c a) 2(ab) c42.点(1, 2, 4)在平面2x3yz40上的投影点是(丄,2 24、77 7x 1 2t )(设y 2 3t将其代入2x3yz4 0可得tz 4 t4过原点及点(6, 3, 2)且与平面4x y 2z 0垂直的平面方程是 2x 2y 3z 05. xoz平面上的直线

12、 z3x绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程为.z2 y2 3x6.曲线2 2 2 2x y z r2 2 2x y (z r)2在xoy平面上的投影曲线为r32x y r4z 07.已知向量组 1 (1,2,3,4) , 2 (2,3,4,5) , 3Q，4,5,6), 4 (4,5,6,7),则该向量组的秩7 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且 A的秩为n 1，则线性方程组 AX 0的通解为 X k(1,1, ,1)T (k R)8.已知向量组1 (1,2, 1,1),2 (2,0,t,0),3 (0, 4,5, 2)的秩为2,则9.若线性方程组X2X3aX3X4a3X4X1a4有解，则常数a

13、1 ,a2, a3,a4应、满足条件a1 a2 a3a4 01100a1110 0a1( 0110a2011 0a210011a3001 1a31001a4000 0 a1a?10.若向量组()可由向量组( )线性生表示，则秩(:)aiXiX2a4o秩()。.选择题1.设直线L :3y2z 12x0，平面10z 3 0:4x 2y z2 0 ,则(B )(A) L与平行(B) L与垂直(C) L 在(D) L与斜交2 .已知2是非齐次线性方程 AX b的两个不同的解,2是对应的齐次线性方程组AX0的基础解系,k1 ,k2为任意常数，则方程组AXb的通解必是(B )(A)ki ik2( 1 2

14、)(B)ki ik2(C)k1 1k2( 1 2 )(D)k1 1k2(1 2)01 都是线性方程组 AX 0 的解，只要系数 A 为( A )4已知向量组1, 2 , 3,4 线性无关，则向量组(C)线性无关(A) 1 2 ,2 3 , 34,4 1 (B) 12,2 3 , 34 , 41(C) 1 2 ,2 3 , 34,4 1 (D) 12,2 3 , 34 , 415设 A 是 mn 矩阵， AX0是非齐次线性方程组AXb 所对应的齐次线性方程组则下列结论正确的是( D)(A) 若 AX0 仅有零解，则AXb 有唯一解(B) 若 AX0 有非零解，则AXb 有无穷多个解(C) 若 A

15、Xb 有无穷多个解，则AX 0 仅有零解(D) 若 AXb 有无穷多个解，则AX 0 有非零解6设有向量组1 1, 1,2,4，2 0,3,1,2 ，33,0,7,14 ，4 1,2,2,5 2,1,5,10 则该向量组的极大线性无关组是(B )(A) 1 , 2 ,3 (B) 1 ,2,4 (C) 1 , 2,5(D) 1 ,2 , 4 ,5b 中未知量个数为 n ，方程个数为 m ，0，(A) r m 时，方程组 AXb 有解 (B) r n 时，方程组 AXb 有唯一解(C)m n 时,方程组 AXb有唯一解(D) r n时，方程组 AX b有无穷多解8若向量组, 线性无关；, 线性相关

16、，则( C(A) 必可由, , 线性表示(B) 必不可由 , , 线性表示(C) 必可由, 线性表示(D) 必不可由线性表示9 设向量 可由向量组m线性表示，但不能由向量组 （）:线性表示，记向量组（n ）:，则（B ）(A)m不能由（）线性表示，也不能由（n）线性表示(B)m不能由（）线性表示，但可由n）线性表示(C)m可由（）线性表示，也可由（）线性表示(D)m可由（）线性表示，但不能由（n）线性表示计算题1.求点（2,3, 1）向直线解：设所求直线为x 2T1所作的垂线方程。求出I2I6t2 求异面直线2t9的距离。解：dV1, V2, RP23.已知方程组解：Ar(A)V1X1X1(c

17、2x2X2cx21)2X3CX32x4cx4X4的解空间的维数为 2，求方程组的通解。1 2c2 2c(1X1 X3X2 X3通解为XX4k11110k2cc)2c(1 c)21 212 0解：AX 0的基础解系为 1 , 0B1000 10105 设三元非齐次方程组 AXb的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量足 i 2 (3,1, 1)T3 (2,0, 2 )T ,求 AX b 的通解。6. 取何值时，线性方程组%X2X33XX32X2X32有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 解：11 3 1 112A112 0 1 11!:i01 12 0 0 (2)(1)3(1

18、)当1且2时，方程组有唯一解当2时，方程组无解211当1时，方程组有无穷多解 X 0k11k200017.已知1(1,0,2,3) , 2 (1,1,3,5), 3(1,1, a2,1) , 4 (1,2,4,a 8)及(1,1,b 3,5)，问:(1) a ,b为何值时,不能由1 , 2 , 3, 4线性表示。(2) a ,b为何值时,有1 , 2, 3, 4的唯一线性表示？并写出该表示式。解:不能线性表示2 1I4 b 38 51Ib1 02b1四证明题1 已知abb0，证明：向量a , b , c共面。证明：等式两边点乘向量得到(a b) c0，所以向量c共面。2.证明：三个平面xcyb

19、z , y az cx ,bx ay经过同一条直线的充要条件是2 2 2abc 2abcx cy bz证明：三平面经过同一条直线cx y az bx ay z0有非零解1 abcabc b2 a22 20，即 a b2c 2abc 13.已知1(a1 , a2 , a3 ),(b1,b2,b3)T ,3 ( c1 ,c2 , c3 )，其中2aj三条直线Lj ajX qyci0 , i 1,2,3，证明三条直线相交与一点的充要条件为2线性无关,3线性相关。a1x证明：三条直线交于一点a2xa1xdy b2yb3yqq 有唯一解 r(A) r(A) 2C3其中 A ( 1 , 2), A3）2线

20、性无关，3线性相关。4.已知向量组（I） 1（n） 1 , 2， 3， 4;（川）1 , 2 , 3 , 5如果各向量组的秩分别为 R （I）R (n) =3, R (川)=4。证明：向量组4的秩为4。设k1 k：2 2k3 3 k4( 54)0代入刁曰4得.(k1水4 )1(k2 2 k4) 2(k33k4)3k4 4 0由于1, 2 ,3,5线性无关，得k11k40k22k40k1 k2 k3k40 ,所以r (III) = 4k33k40k4 0组AX0的解，即A0。试证明：向量组, 1 ,2， , t线性无关。证明：设kK( 1)kt( t) 0两边左乘A，利用A i 0t(k ki)

21、A 0i 1A 0tk ki 0i 1t从而有 1i 1ki i 0 , 1,2, , t线性无关K k2kt 0k 0相似矩阵及二次型部分一.填空题1 ( 1) 2 21)A为3阶矩阵，若A有特征值1, 1, 2 ，贝U A3)为n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是n , 0,0 , ，0。2 2 24) 二次型(羽山2必)2x1 x2 x3 2x1x2 tx2x3是正定的，则t的取值范围是血 t 7：2 。5)n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是 A与对角阵相似的 充要 条件。6)n阶矩阵A具有n个不同的特征值是 A与对角阵相似的 充分 条件。7)设A为3阶矩阵，已知I A,3I A,I 3A均不可逆，则A 一定相似于矩阵8)已知A相似，则A B选择题1设2若3 设trAtrB2y1 y2是非奇异矩阵是矩阵定矩阵的(A)充分要三计算题1.已知征值。A的对应解:A的一个特征值，则矩阵Qa2)1有一特征值等于(B0