线性代数练习题附答案.docx

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线性代数练习题附答案

《线性代数与解析几何》练习题

行列式部分

一•填空题：

1若排列1274i56k9是偶排列，则i8,k3

j）则

2•已知a1ia25a3ja41a5k是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（i

i2,j4,k3

3•设A,B是n阶可逆阵，且A5，贝U（ATA）356,2A2n5

B1AkB5k（k为常数）

4.已知

312

D231

014

用Aj表示D的元素aj的代数余子式，贝U2A213A22A23D37

则f（4）160

7.设

1111

1111

1111

1123

2125

1248

11415

11415

02512

.23

.23

.23

1xxx

1xxx

1xxx

1,2,

3

上述方程的解x

3.设A是n阶方阵,

2•计算行列式

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

4

1

3

0

2

5

1

0

2

5

1

0

2

5

1

0

0

9

1

0

0

9

1

140

0

4

4

12

0

0

14

14

0

0

0

9

3

1

9

7

解：

D

且A

I

0

A

I。

求

aat

解：

AlAAAA（lAt）A]（AI）TAAI

A0AI0

4.设A是n阶实对称矩阵，A22a0，若r（A）k（0kn），求A3I

2是k重的特征值。

Xnan

矩阵部分

填空题:

1.设三

阶方

阵A,

B

满足A1BA6ABA

且A

0

10

0

07

3

00

B

6（A1

I）1

0

20。

0

01

a1b1

a1b2

ab

a2b|

a2b2

a2bn

0（i1,2,3,

n）

2•设A

，其中q0,bi

，则矩阵

and

anb2

anbn

A的

秩=1

，则

100,B可逆，r（AB）r（A）2）

5•设矩阵

7.设四阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为―0

&设

A,B均为n阶矩阵,

2,B

3，则

2A

9•设

A的伴随矩阵，

1

11*

（—A）110A

A

—，则

2

3

A是三阶方阵，A*是

1131

|3A5A|

（2）

16）。

10•设A,C分别为r阶和s阶的可逆矩阵，

则分块矩阵X

C1BA1C1A1

11•设

n阶方阵A满足方程A23A2i

A（A

3I）

2I）

12.设

13.设

A2

2A

，而

An

B是n阶矩阵，且

（ABABI

的逆矩阵

的逆矩阵A

1

尹3I）

n2为正整数，则

2An1）

AB=A+B，则（A

A（BI）（BI）

An

I）1

2An1

（BI）（AI）

二•选择题：

1•设n阶矩阵A,

（A）ACB=E

C满足关系式ABC=E,

（B）

CBA=E

其中

（C）BAC=E

E是n阶单位矩阵,

（D）

则必有（D）

BCA=E

2•设A是n阶方阵

（n

3）,

A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k0,1，则必有

（kA）=（B）

（A）kA

（B）kn

1A

（C）knA

1

（D）kA

3•设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则有（A

（A）A

（B）A

（C）A

（D）A

4•设

a11

a12

a13

a21

a22a23

A

a21

a22

a23,

B

a11

a12a13,

a31

a32

a33

a

31a11

a32a12a33a13

0

1

0

1

0

0

P

1

0

0

P2

0

1

0

0

0

1

1

0

1

则必

有（

C

;）

（A）

ARP?

B

（B）

AP2

P1

B

（C）P1P2AB（D）P2PAB

5•设A,B均为n阶方阵，则必有（

D）

（A）

AB

A

B

（B）

AB

BA

（C）

（AB）

1

A

1

B

1

（D）

AB

BA

6.设n维向量

（-,0,

0,丄）

矩阵A

I

T

7

B

2T,其中1为n阶

2

2

单位矩阵，则AB

（C）

（A）0

（B）

—

I

（C）I

（D）

I

T

7.设A是n阶可逆矩阵（n2）,A是A的伴随矩阵，则（C）

（A）（A*）*

A

n1

A

（B）

n2

（C）（A*）*

A

A

（D）

n1

（A*）*AA

n2

（A*）*AA

a

a

a,若矩阵A的秩为n1,则a必为（B）

（A）1（B）

9.设A,B,AB,A

aaa

1

1（C）

-1

（D）

1

1n

n1

B1均为n阶可逆矩阵，则（A

B1）1等于（C）

（A）AB1（B）AB（C）B（AB）1A（D）（AB）

三•计算题：

110

（n是自然数）

1•已知A011，求An

001

解:

由归纳法，

An

1

0

n

1

n（n

2n

1）

0

0

1

2.

已知AP=PB，

其中

10

0

1

0

0

B

00

0

P

2

1

0

00

1

2

1

1

求:

A及A5。

1

0

0

1

0

0

解:

P12

1

0

APBP

1

2

0

0

4

1

1

6

1

1

A5

15

（PBP）

5

PB1

P1

1

PBP

A

3.

已知n阶方阵

2

2

2

2

0

1

1

1

A

0

0

1

1

0

0

0

1

求A中所有元素的代数余子式之和。

解：

A2A可逆

2100

0110

A1

0

0

0

1

0

0

0

1

*

1

n1

A2A

Aj2（n1）（n1）1

i,j1

4

2

3

3•已知矩阵A,B满足：

ABA2B，其中A

1

1

0，求矩阵B。

12

3

解：

AB2BAB（A2I）1A

386

B296

2129

5•设矩阵A,B，满足A*BA2BA8I,其中

A*是A的伴随矩阵，求矩阵

解：

1*1

—ABA—（2BA8I）

AA

11

B4A（A1I）4（I

11

6•已知A01

00

1

解：

BAA

12

A02

00

B。

A1BA4I

2

A）10

0

1

2

1，且AAB

1

BA（A1I）BA

46

48

02

1

1

1

1

12

0

1

1

0

11

0

0

1

0

01

a

1

1

1

1

a

1

1

1

1

a

1

，求r（A）。

7•设n阶方阵A

I，其中I为三阶单位矩阵，求矩阵B。

021

000

000

an

a（n解：

Aa（n

a（n

111a

1111

1）a11

1）1a1

1）11a

故a1时，r（A）

四.证明题:

1；a1n时，r（A）=n-1;

1

0

0

a1

当1且1-n时，r（A）=n

1设A是n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A是A的转置矩阵，当A*A时，证

证明：

A

A*aj/

\lA

aijAij

2

aij

0

另证（反证法）

:

若A

0

r（A）

n

1

T*

*

*

T

*

AA

r（A）r（A）

1

r（A）

0

A

A0

与题设矛盾。

2•设A是n阶方阵，若

A

0，证明

:

A*

0

（其中

A*是A的伴随矩阵）

证明:

3•设A（aij）44,Aj为

的代数余子式，且

Aij

aij（i,j1,2,3,4）,a110，

求证:

证明:

A（厲）（

aQ

at

AAAI

（1）4

4

2a1jj1

4•用矩阵秩和向量组秩的关系证明

r（AB）

min{r（A）,r（B）}

证明：

设AMm,k,BMk,n

证明r（A）r（B）

5•设A为mn矩阵，B为nk矩阵，若AB0,

0）

证明：

ABA（B1B2...Bk）（AB1AB2…ABk）（00

所以AB10AB20...ABk0，即B1,B2,...,Bk为齐次线性方程组Ax0的

解，因此可由Ax0的基础解系线性表示，所以r（B1,B2,...,Bk）nr，即

r（A）r（B）n。

6•设

A是n阶方阵，

A*是A的伴随矩

巨阵,

证明：

n

R（A）

n

秩（A*）1

R（A）

n1

0

R（A）

n1

证明：

（1）

R（A）

nA可逆，而

*

A

1

|A|A

从而A*可逆，

R（A*）n

（

2

）

R（A）n1

|A|0

*

AA

|A|I

0

R（A）R（A*）

n

*

R（A）

1

又A至少有一个n-1阶子式不为零，R（A*）1，从而R（A*）1

（3）R（A）n1A的所有n-1阶子式全为零。

故A*0,从而

R（A*）0。

空间向量与线性方程组部分

一.填空题：

1.设（ab）c2,则[（a

b）

（b

c）]

（ca）2（a

b）c

4

2.点（1,2,4）在平面2x

3y

z

4

0上的投影点是

（丄,

224、

7

77

x12t

£）

（设y23t将其代入

2x

3y

z

40可得t

z4t

4•过原点及点（6,3,2）且与平面4xy2z0垂直的平面方程是2x2y3z0

5.xoz平面上的直线z

3x绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程为

.z2y23x

6.曲线

2222

xyzr

222

xy（zr）

2在xoy平面上的投影曲线为

r

32

xyr

4

z0

7.已知向量组1（1,2,3,4）,2（2,3,4,5）,3

Q，4,5,6）,4（4,5,6,7）,

则该向量组的秩

7•设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为

n1，则线性方程组AX0的通

解为Xk（1,1,,1）T（kR）

8.已知向量组1（1,2,1,1）,

2（2,0,t,0）,

3（0,4,5,2）的秩为2,则

9.若线性方程组

X2

X3

a

X3

X4

a3

X4

X1

a4

有解，则常数

a

1,a

2,a3

a4应、

满足条

件

a1a2a3

a40

1

1

0

0

a1

1

1

00

a1

（~0

1

1

0

a2

0

1

10

a2

1

0

0

1

1

a3

0

0

11

a3

1

0

0

1

a4

0

0

00a1

a?

10.若向量组

（

）

可由

向量组

（）

线性

生表示，则秩（

:

）

ai

Xi

X2

a4

o

秩（）。

.选择题

1.设直线L:

3y

2z1

2x

0

，平面

10z30

:

4x2yz

20,则（B）

（A）L与平行

（B）L与垂直

（C）L在

（D）L与斜交

2.已知

2是非齐次线性方程AXb的两个不同的解,

2是对应的齐次线性方

程组AX

0的基础解系,

k1,k2为任意常数，则方程组

AX

b的通解必是（B）

（A）kii

k2（12）

（B）kii

k2（

（C）k11

k2（12）

（D）k11

k2（

12）

0

1都是线性方程组AX0的解，只要系数A为（A）

4．已知向量组

1,2,3,

4线性无关，则向量组（

C

）线性无关

（A）12,

23,3

4,

41（B）1

2,

23,3

4,4

1

（C）12,

23,3

4,

41（D）1

2,

23,3

4,4

1

5．设A是m

n矩阵，AX

0是非齐次线性方程组

AX

b所对应的齐次线性方程组

则下列结论正确的是（D

）

（A）若AX

0仅有零解，则

AX

b有唯一解

（B）若AX

0有非零解，则

AX

b有无穷多个解

（C）若AX

b有无穷多个解，

则

AX0仅有零解

（D）若AX

b有无穷多个解，

则

AX0有非零解

6．设有向量组

11,1,2,

4，

20,3,1,2，

3

3,0,7,14，

41,

2,2,

52,1,5,10则该向量组的极大线性无关组是（

B）

（A）1,2,

3（B）1,

2,

4（C）1,2

5

（D）1,

2,4,

5

b中未知量个数为n，

方程个数为m，

0，

（A）rm时，

方程组AX

b有解（B）rn时，方程组AX

b有唯一解

（C）mn时,

方程组AX

b有唯一解（D）rn时，方程组AXb有无穷多解

8．若向量组

线性无关；

线性相关，则（C

（A）必可由

,线性表示

（B）必不可由,,线性表示

（C）必可由

线性表示

（D）必不可由

线性表示

9•设向量可由向量组

m线性表示，但不能由向量组（）:

线性表示，记向量组（n）:

，则（B）

（A）

m不能由（）线性表示，也不能由

（n）线性表示

（B）

m不能由（）线性表示，但可由

n）线性表示

（C）

m可由

（）线性表示，也可由（

）线性表示

（D）

m可由

（）线性表示，但不能由

（n）线性表示

计算题

1.求点（2,

3,1）向直线

解：

设所求直线为

x2

~T~

1所作的垂线方程。

求出I

2I

6t

2•求异面直线

2t

9

的距离。

解：

d

V1,V2,RP2

3.已知方程组

解：

A

r（A）

V1

X1

X1

（c

2x2

X2

cx2

1）2

X3

CX3

2x4

cx4

X4

的解空间的维数为2，求方程组的通解。

12c

22c

（1

X1X3

X2X3

通解为X

X4

k1

1

1

1

0

k2

c

c）2

c

（1c）2

12

1

20

解：

AX0的基础解系为1,0

B

1

0

0

01

0

1

0

5•设三元非齐次方程组AX

b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量

足i2（3,1,1）T

3（2,0,2）T,求AXb的通解。

6.取何值时，线性方程组

%

X2

X3

3

X

X3

2

X2

X3

2

有唯一解，无解或有无穷多解？

当方程组有无穷多解时求其通解。

解：

1

1311

1

2

A

1

12011

1

!

:

i

0

11

200（

2）（

1）

3（

1）

当

1且

2时，方程组有唯一解

当

2时

，方程组无解

2

1

1

当

1时，

方程组有无穷多解X0

k1

1

k2

0

0

0

1

7.

已知1

（1,0,2,3）,2（1,1,3,5）,3

（1,

1,a

2,

1）,4（1,2,4,a8）及

（1,1,b3,5），问:

（1）a,b为何值时,

不能由1,2,3,4线性表示。

（2）a,b为何值时,

有1,2,3,4的唯一线性表示？

并写出该表示式。

解:

不能线性表示

21

I

4b3

85

1

I

b

10

2b

1

四•证明题

1•已知abb

0，证明：

向量

a,b,c共面。

证明：

等式两边点乘向量

得到（ab）c

0，所以向量

c共面。

2.证明：

三个平面x

cy

bz,yazcx,

bxay经过同一条直线的充要条件是

222

abc2abc

xcybz

证明：

三平面经过同一条直线

cxyazbxayz

0有非零解

1abc

abcb2a2

22

0，即ab

2

c2abc1

3.已知1

（a1,a2,a3）,

（b1,b2,b3）T,

3（c1,c2,c3）

，其中

2

aj

三条直线

LjajXqy

ci

0,i1,2,3，证明三条直线相交与一点的充要条件为

2线性无关,

3线性相关。

a1x

证明：

三条直线交于一点

a2x

a1x

dyb2y

b3y

q

q有唯一解r（A）r（A）2

C3

其中A（1,2）,A

3）

2线性无关，

3线性相关。

4.已知向量组（I）1

（n）1,2，3，4;（川）

1,2,3,5如果各

向量组的秩分别为R（I）

R（n）=3,R（川）=4。

证明：

向量组

4的秩为4。

设k

1k：

22

k33k4（5

4）

0代入

刁曰・

4得.

（k1

水4）

1

（k22k4）2

（k3

3k4）3

k440

由于

1,2,

3,

5线性无关，得

k1

1k4

0

k2

2k4

0

k1k2k3

k4

0,所以

r（III）=4

k3

3k4

0

k40

组AX

0的解，即A

0。

试证明：

向量组

1,

2，,t线性无

关。

证明：

设k

K

（1）

kt（t）0

两边左乘A

，利用Ai0

t

（kki）A0

i1

A0

t

kki0

i1

t

从而有1

i1

kii0,1,

2,,t线性无关

Kk2

kt0

k0

相似矩阵及二次型部分

一.填空题

1

（1）22

1）A为3阶矩阵，若A有特征值1,1,2，贝UA

3）为n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是n,0,0,……，0。

222

4）二次型£（羽山2必）2x1x2x32x1x2tx2x3是正定的，则t的取值范围是

血t7：

2。

5）n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的充要条件。

6）n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

7）设A为3阶矩阵，已知IA,3IA,I3A均不可逆，则A一定相似于矩阵

8）已知A

相似，则

A~B

•选择题

1•设

2•若

3•设

trA

trB

2y

1y

2是非奇异矩阵

是矩阵

定矩阵的（

（A）充分

要

三•计算题

1.

已知

征值。

A的对应

解:

A的一个特征值，则矩阵

Qa2）1有一特征值等于（B

0