常微分方程考研复试真题及答案Word文档格式.docx

1、dx ax7试证明；凡具有通解为尹=申（和+呎竹对/求导得字=恥）+肖8.若已知方程的两个特舛尹15） J2（力试证明它的通娠就可以由一次可积而得28 371.写出下列曲线的软方程 = （u 0）.（3） u= 2p2 +1.芒 0*）22.求解方程士二=1a2 b23.求方程M十孵=1的通解。4-求方程0*尸=y的通解。5-求方程兔二0*）2+1的通琳。6. 0-尸=07- （1十护）=1。2.*-2）=1。9- ”2_2妙二尹20 一 1）.10. y = ln（ 1 十#2）38 44自测题1.什么是方程的奇解。2.叙述去-判别曲线的概念。3.叙述单参数曲线族的包络。4.简述徴分方程的&

2、-判别曲线。5-求方程 -y = -（y）2-=W3q 27（1） 目一判别曲线（2） 求方程的通解（3） 求方程的奇解6.求方程（y）2 = y的通解尿-判別曲线7.求下列方程的奇解（1）9 册 2+4 = 0； 8*3= 27y3厂列一屮；（4） y = xy-sm y（5） 讨论”= 5奇解y（6） 求 y = xy*+y2,当 x=29 y = -1 的解。1.一阶线性齐次方程积分曲线的特点是什么？2.一阶齐次方程几何特征63.（1）什么是等角轨线？ （2）什么是正交轨线？4试证xy = -y =上相互正交。，试找出相互正交的曲线族。（1） = a/ x2； （2）尹=/兀+4； （3

3、）=2兀+方；（4妙=CX2 - （5）72 = E ； （6）x2 4-2 +cy= 050 56自澳區1.叙述微分方罰的几何意义与微分方程几何特征的关系。2.方程不可积，求积分曲线在这（和沟）址-切线的斜率。3.求方程过点（帀,儿）的积分曲线切线方程。4.求下列方程过已矢嗚积分曲线的切线方程。（1）字=宀只 （0, -1）（b 0）（1, 1）二y+x2 2=x + yX=入+，5什么叫等倾线。6.手工作近似线素场的步骤。7.作dy十，的近似线耒场。57 62自测題1.常微分方程离散化根据的思想。2.简述欧拉折线法的意义。3.简单叙欧拉折线的作法。4.在一个小区间内估计过点P/心,沁的斜率

4、。绘草图说明。5.设X）是初值问题字=1+3_护灿起自豳21.判断方程空=城在因域；df：（1） 0 xx（2）应才一 1W/W1, 一WpW -2 4尸4上是否满足定理的条件。2.判断下列方程在什么区域上解存在性_?（1字 字=x+siny： 叟=戏2 23.证明/D =|在（0, 0）处不可微。4.讨论函数/0,为=厲二宁是否满足L农-条件。5.讨论了（儿刃二:11 y = 0是否满足Lip _条件。6.给出积分方程及解的定义。69 71自测题：1证明序列1 1T.2 ） ； 卩”仗）/= 0,1,2,一致收飲等价干级数70+ （希-九J（竹）一致收敛。=12.求下列初值间题一、二次近似。

5、旳-.2（1）（2） 3k -y卜（1） = 1W）= 0-J（T）=Q3.对初值间题彳dx儿W）= i（1） 求第刃次近似序列；（2） 左任何有限区间M,M上一致收敛;（3） 求初值问题的解。72 81（18. 6）给初值问题1.证明18.6）等价于积分方程卩=1十必一 y（s）& ；2.求毕卡近似序列；3.验证儿在|时幺+上有定义；4.证明九致收敛；5证明该初值问题解存在星6证明该初值问题解唯一星7.求初值问题字=1十戸,y（l）=l的儿（讹2（力，并绘出九,W2的图。悴2）8.将3题中灯九卩2绘在一张图上比较。沢将务山哄1中）wg绘往-张图匕10估计第2题中毕卡序列与精确辭之间的误差。8

6、2 871 试用逐次逼近法求初值间题仏WQ） = o的近似解00何妙1（ 2（力和卩3何2试证明定理2.1中的H次近似函数 儿（乳泻猜确解（R有如下的误差估计式；-呻）卜 一勺严. （19- 6）3.设f（xry）在整个平面上连续有界，对卩有酸偏导数，证明方程 豊=JXZ 的任 意解丁二CO在一 3 X 03上有定义。4讨论方程字=疋二分别过（0,。）和（曲,-3）的解的存在区间。ax 25*.证明：对于任意的九及满足0 yol的儿，初值问题妙二丸yT）v 必_ 1*2丿（心）=凡的琳丿=卩（无）在（-CO,4OT）上存在。6.求下列初值间题解的存在区间（1） 务诚2） |*2, |畝坎0）二

7、 0访 -,、 =sin xcQsy 冃斗人十士（2） 0，刃是整个平面。.巩 0）二 0（3） 懐F+”-sin（x*） |%1, |划丸xo）= o88 92自测电1.给出任意绘狄里赫勒公式2.用数学归纳法证明C20.5）2设F是齐次函数，则方程F（兀只”,）=0,可降阶4.将（y-y11?4 o降阶；5.将方程”乜少）仃6 = 0降阶。93 94自测範1 讨论下列函数组在其定丈区间内是线性相关还是线性无关：（1） sm x,l; （2） f + 5/-5; （3）丄，； （4） x,ln（j）訂,0; （6）sin2cos2 /.2.求第1题中各函数对的朗斯行列式。95 971.试证下列

8、函数组是线性无关的；并迭而求出这些函数组基本琳组的二阶线性齐次 方程#（1） + x+3, 汽 （2）G为不等于零的常数h v 力 3 V（3） X,X0 ； （4） lnxlnxj; （5） r- l,r e ；lnJx2.设微分方程7，+-y*-Wy = 0有两个特解门和72 W，且丹卩2 = 1，（1）求r此方程中的（2）并求方程的通解。3.7?yl-yyly = 0,已知一个解i= r.98- 100目测題：1.试证下列函数组是线性无关；求出这些函数组为基本解组的二阶线性齐次方程。（2）4）1 & 21X2Q x3（1）x,e 3 - x ye 31 （处十3户（3）- （%为常数）;

9、 （rcosr sin.2.已知二阶齐次线性微分方程（卫（或談力为连续函数）怜一个非寻:特解（力 试利用变换汁如3求出该方程的通解表达式。3.h十砂乜二0,.己知-解”W，求出该方程的通解表达式。101 1051-己知 = Tfcosx 是；/十歹=-2stn 入的解，72 = -yay = 2 cos a 的解,验证A = +勺升是才+丁 = 2 cosa-巧sin X）的解2茨解方程 = sin x- cos2.3.求方程Z+y = 6+l通解。4.求方程yn+y = ab的通解，仆常数。5.求方程yn-y = b的通解。6.茨下列方程特解：心-（2x+ 1 + （x + l）y = （F

10、 i-1）严;（2）k- 5y（ + 4j=x2;x2y,* + 4Tyr+ 2y= o”,4）x（1- x）2*= 2）/;（5）yvsm2 x+ 血 xcosx = y106 1131.农方程0的通解。2.对上题的解，当兀T+O3时，求极限。3.茨下列方程的通解f-2尸 0. y*+j7 = 0.5.”十6”十 13y=0. ”-2yA-y = 0.7求解才一4”十。二0.8.证明本单元所列出常系数线性齐次方程的性质。114 1221-求解ax+by.2卩14y+4y = x2.3.y-2y = M1 孝 0）.4.2”+”-y=20.5.解yll+y-6y = .6.解y+ 0）7.解

11、yl-2yy = -&K.8 y -7y-6y - sin x.9.y-y= sin2x;2（1）未知因数u的导数最高阶为2, u ,u ,u均为一次，所以它是二阶裁11方桿。（2）为y最高阶导数力1,而y 2力二次，故它是一阶非线性常微分方桿。（3）果y是未知因数，它是一阶找性方程；如果稱x看着未知因数，它是一阶菲线 11方程。3探示：所满足的方程为y -2y +y=04.宜接代人方程，并计算Jacobi fi列式。5.方程变形为 dy=2xdx=d（x2 ）,il y=x2+C6.甜分方桿求解时，都与一定的枳分运算曲JR系。因此，把求解一个微分方程的过椁 林为一个倫分方杈。撤分方杈的解Q称

12、为（一个）枳分。7.把甜分方样的通解用初等函数或通过它m的枳分来表达的方法。注意如果通解能IH 结为初等函数的枳分表a, isi2f枳分如果不能用初等因数表示岀来，我hi也从为求解 了迪个微分方椁，因为这个it子里没有未知函数的导数或槪分。8.y =f（x,y）主要特征是f（x,y）能分解力两彳、因貳的桌枳，具中一个因衣仅含有x,另一因式仅含y,而方程p（x,y）dx+q（x,y）dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f（x,y）样, P.qft别那能分解成两个因氏和乘枳。9（1 ）枳分得 x=-cosx+c（2）將方程变初灯d*1血或盲哼，当心沖卵卅+ y+ln|y1 | + =c（3）方

13、桿变形为 =dx,当yH1,sinxH 0时枳分得 1 + y sinxy=Csinx-1（4）方程变形为exp（y）dy=exp（2x）dx,枳分得exp（y） = - exp（2x） + C2（5）当y工1时，求得通ffilnl |=x+c卜+11 1 （6）方杈化为 x2ydx=（1-y2）（1+x2）dx 或rdx=一 dy,枳分得1 + jr yx-arctgx-In y | + -y2 =C（7）当x（八一 1）工0时，方f?变形得+1 ydy c dx+ -t =0x y2 -1两址枳分并化简得 y2 =1 + Sexp（-x） 10二元因数f（x,y）足f（rx,ry）二严f（

14、x,y）0,J| ft f（x,y）为m次齐次函数m=0剧称它为0次齐 次函数。11如果f（xy）是0次齐次因数,I y = f（x,y） 8 Ji齐次方椁。如果P（x,y）和q（x,y）同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。=竺丄2三f（x.y）,由p,q为m次齐次函数推ill f（x,y）为0次齐次函数故 （lx q仇 y）y = f （x,y）为齐次方程。12.求解齐次方椁经常用变换y=zx.用因数乘枳导数的公氏得dy dz,=x +zdx dx13.迪是齐次方程。令y=zx,罕二x+z,将方棺化为Z+X =丄r，并即X =二1分离变量得（1必=_竺枳分得 dx 1 一旷 d

15、x 1-Z z（zr +1） xln|n|+ln（z +2）-ln|z|=ln|C|,或=C ffl z=yx 代人得原来的变量。x2 +y2 =Cy.z注意y=o方程的解。14.（1 ） 当 xhO 时，方 g ft ft=1+2-令 y=ux,则原方程化为 x=1+u,当 1+uhO dx x dx时，可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx2 +x（2） 作变换y=uxjl|方程化为2udu=T gu2=ln|x|+C,代回原变量，得通枳分:y2 =x2 （ln|x|+C）15. IS是齐次方程。令戶zx原方程化为上二dx竺两边枳分得 丄 ln|z|=ln|cx|Z? X 1Z2用z=

16、t代人得2v 一 u2u 一 v,就为齐次方程,令战，经简单讪話芒晋,讪占存C原方样通枳分为 y=x+c（x+y+1） +3-1918-9.方程变形为字=鱼二仝 它的分子、分母两条直线交点为（1, 2）ax x +，- 2x = m +1 dv - 2 + 4v作变换4 、干是得到= ,它己经是齐次方程。y = y+2 dll U +V10.令z =入十歹十1，则竺=1 + ?干是=1 + /（Z）?dx dx dx只妾1 + 了丸，可分离变童得x二L巳+C1十了（2）答案:1.分离变量，得竺朋二竺里伽.COS& cos（p两边积分，彳早-ln cos& 二-In cos +J sin& co

17、s&7& =“.1 . 2 1 . 2 _-sin w+ - sin 0=Cn nsin 9+ sin 8 = 2cj= c.（3）变量分离方程，设x + = u,对乳求导数有1+”=豉，所以yw-l,把上面两式代入所给的方程，得 1=1?.空41.（A耳 _ x dx.对它分离变童，得 丄亍迦=少如1 + u2 两边积分弓得 ln（l + w2） =lnsinx+ln：，所以 1+u2 =t sinx?通积分为 a2 + y2 = C7? sin x.z十丄得贝努里方程x2此方程为黎卡梶方程，=丄是它的一解，令=z+ （A2 + ）z 十 Z2 = 0令得线性方程u*-（x2 +-）u =

18、lu =ed7.Jr= r2eT“4严矗从而原方程的通积分为2此方程为贝播里方程,4此方程为黎卡提方程,再令仅=，得线性方程xeT（xy-l）c 4-J-e_T*c/A - 1.L dz 2 A令z = y得线性方程 -z=-从而原方程的解为ax x 厶y= X4（c + |h|x|）2.y= 为一解,令y = z-x,得贝努里方程n牛2&=z夕-2価5由得通解y = a2 + c 由=2、即du-2xw= -1 （x2 +c）dx= 2 得 =亍,从而定解问题的蚪为2 5y“ +亍6 此方程为线性方程,从而方程的通解为丸一炉（力 + #（律）-諮刃=十少一 1.7.证明；由y=cx）十如知。

19、=口也，将此代入上方程， 吩）得尹二。炭劝十讥兀）所满足的微分方程空七叫3十心）dx 於）它是线性方程戈由线性非齐次方程的表达式可见，线性方程的通解形如尹=吶）琢小 证毕。8 证明：对Riccaii方程”+月（和+今（Mb = /（R作变换龙=1,得线性非齐次方程y-yiM字- 2g（R儿0） + p（x）u = -处）.而 一 是上面方程的一个解，由线性非齐次方程的通解等干其一特娠与对应齐次主程通解旳0）1（劝之和知，对黎卡提方程的通解，此时只须由一次求积得出线性齐次方程一 2$（力儿（兀）+ p（u = 0d.x的通解或通积分即可。证毕。 O 十 ErI寸 宅号=啥紂-I HKSn JMx

20、jq令 二=、 丫負丄蒼计“勺剖品剖二2 &FSQO述 H f O+ J UH 3目q 71HS0 H 心医-. 拦 JinsHXJSOW H 亠令z（JI 二 WCT.SS 电 H 令梏二耳Um奄理二日总HXYSOWH疋令A 丄十Mn寸龙 YSOO 电=為0）1 u+E 7&寸IE6.由施得y=y,这是两个线性齐次帯寻 齢之严.7.由方程得当为H 18分离超禾只分彳寻 = x +C,即 y2 +（x+c）2 = 1.显然尹=1也是原方程的解。8.a =十In尹1 ,x 二4-In p.P丄_丄空+丄空 p p2 dy p dy dy=（-丄）如方程变形为令尹二p,则两端对7求导y = /?

21、-In p 十Ux = +ln p,4 Py = t - In t + C.参数形式通解为9.方程变形为T）2=/，即y=y（l土巧. 通解为y = （也习必=c- ezp（x10.令y=pp 则 y =ln（l+2） 对x求导2 =上务笔或- = .1+ p2 dx 1+2积分得 2 arctgp= x + 7参数形式通解为F警中yU =ln（l + p ）1.方程去（兀=0的1个特解上每1点处解的惟1性被破坏，该特解就昱奇解。2.如果丁二哄对，xsZ是方程的奇解，它必须满足如下方程组：*（兀尹,y） = o殆（“*）= 0 由该方程组决定的曲线，謊是所谓0今|别曲线。3.单参数曲线族（心啓

22、）=0的包络是这样一条曲线，它本身不包舍在这曲线族中， 但过该曲线上每一点，都有曲线族中一条曲线和它在此点处相切。a 方程尸（心必”）=o的通积分（兀jQ = 0 （即积分曲线族的包络由JG（xjc） = 0消去0而决定。称为C-判别曲线。5.4 消去去得两条去一判别曲线y= x； y=兀一齐我们有（y-）2 =（3）将卩一判别曲尹二X代入原方程z4 8左=Q,右=? 所以丿=兀不是方程的解，更不是奇解孑另一条 去别别曲线4 4 o ,y= A-=代入原方程，知它是解令又y=z-上每一点，均与通解3- 7尸=仗-， 27 274的一支相切，即解的惟一性被破坏，故y = A-是奇解。276从通解

23、易求得，丁二.V 42（x-c） = 0消去c得j/ = 0就是所求亡-判别曲线。它是通解的包络，即它是奇解。7.解法一、去一判别曲线9 奸 +4=0iyp = 0此方程组无解，从而方程无奇解解法二*令y= p为参数，有关干乳求导,8 dp从而方程師通解为A 4-C =y一一得方程隐式通琳十（兀十c）2 = 0 ,方程的判别曲线为y3十（兀十u） = o2（z+ c） = 0得y = 0,但y = （J不是原方程的解，从而不是原方程的奇解。（2）卩一判别曲线Zap3 = 21 y2Aap = 0得p=o,从而有尸=0。显见它是原方程的解，又由解 2ay3 = 27y,即y*= -avys,得p

24、 =么一亠占,即方程的通琳为ay2 = （x+通解ay1 = （x + c）3与卩=0的交点由= （x+ c）3y = o决定，为（弋,0）,在一0）处，曲线今2 = （“ 刃的切线斜率恰为s所以尸=0是 微分方程的奇解。（3）尹一判别曲线y= 5驴-护25x_2p = 0 25 三 25 o消去参数0得y=而y = 2不是方程的解，从而方程无奇解。4 4（少方程为克菜洛方程，奇解由方程写成”=于仗,刃时，fs=：y 从而变=一 ，可见 当y = 9 y 时，刍无界。歹二0不是方程的解，从而不可能是奇解芋丁 =立是方程的解，需进一步判断是否是奇解。求_卩的通解，由分离变量、积分得通解対 y显见，其与= 士7相切。从而尹=立昱奇解。（