常微分方程考研复试真题及答案Word文档格式.docx
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dxax
7•试证明；
凡具有通解为尹=申（和+呎竹对/求导得
字=恥）+肖®
8.若已知方程的两个特舛尹15）J2（力试证明它的通娠就可以由一次可积而得
2837
1.写出下列曲线的软方程
⑵=£
（u>
0）.
（3）u=2p2+1.
芒0*）2
2.求解方程「士二=1・
a2b2
3.求方程M十孵=1的通解。
4-求方程0*尸=y的通解。
5-求方程兔二0*）2+1的通琳。
6.0-尸=0
7-〃（1十护）=1。
2.*-2）=1。
9-”2_2妙二尹20一1）.
10.y=ln（1十#2）
3844
自测题
1.什么是方程的奇解。
2.叙述去-判别曲线的概念。
3.叙述单参数曲线族的包络。
4.简述徴分方程的&
-判别曲线。
5-求方程^-y=-（y）2-^=W3
q27
（1）目一判别曲线
（2）求方程的通解
（3）求方程的奇解
6.求方程（y'
）2=y的通解尿-判別曲线
7.求下列方程的奇解
（1）9册2+4=0；
⑵8^*3=27y3
⑶厂列一屮；
（4）y=xy-smy
（5）讨论”=——5奇解
y
（6）求y=xy*+y2,当x=29y=-1的解。
1.一阶线性齐次方程积分曲线的特点是什么？
2.一阶齐次方程几何特征6
3.
（1）什么是等角轨线？
（2）什么是正交轨线？
4•试证xy=-y=上相互正交。
，试找出相互正交的曲线族。
（1）^=a/x2；
（2）尹=/兀+4；
（3）»
=2兀+方；
（4妙=CX2-（5）72=E；
（6）x24-^2+cy=0
5056
自澳區
1.叙述微分方罰的几何意义与微分方程几何特征的关系。
2.方程不可积，求积分曲线在这（和沟）址-切线的斜率。
3.求方程过点（帀,儿）的积分曲线切线方程。
4.求下列方程过已矢嗚积分曲线的切线方程。
（1）字=宀只（0,-1）
（b0）
（1,1）
二
y+x
22
=x+y
X
=入+—，
5・什么叫等倾线。
6.手工作近似线素场的步骤。
7.作
dy
十，的近似线耒场。
5762
自测題
1.常微分方程离散化根据的思想。
2.简述欧拉折线法的意义。
3.简单叙欧拉折线的作法。
4.在一个小区间内估计过点P/心,沁的斜率。
绘草图说明。
5.设X>
）是初值问题
字=1+3_护灿起
自豳2
1.判断方程空=「城在因域；
df：
（1）0<
・
xx
（2）应才一1W/W1,—一WpW-
24尸4
上是否满足定理的条件。
2.判断下列方程在什么区域上解存在性_?
（1〕字―"
⑵字=x+siny：
⑶叟=戏22
3.证明/D=|^|在（0,0）处不可微。
4.讨论函数/0,为=厲二宁是否满足L农-条件。
5.讨论了（儿刃二:
11y=0是否满足Lip_条件。
6.给出积分方程及解的定义。
6971
自测题：
1・证明序列11T.2）；
｛卩”仗）｝/=0,1,2,…一致收飲等价干级数
70+（希-九J（竹）一致收敛。
»
=1
2.求下列初值间题一、二次近似。
旳-.2
（1）（
（2）<
〔3「
k-y
卜
（1）=1・
W）=0-
J（T）=Q・
3.对初值间题彳dx儿
W）=i・
（1）求第刃次近似序列；
（2）左任何有限区间［~M,M］上一致收敛;
（3）求初值问题的解。
7281
（18.6）
给初值问题
1.证明〔18.6）等价于积分方程卩㈤=1十必一y（s）&
；
2.求毕卡近似序列；
3.验证儿⑴在|时幺+上有定义；
4.证明九致收敛；
5・证明该初值问题解存在星
6・证明该初值问题解唯一星
7.求初值问题字=1十戸,y（l）=l的儿（讹2（力，并绘出九,}W2的图。
悴2）
8.将3题中灯九卩2绘在一张图上比较。
沢将务山哄1中）wg绘往-张图匕
10・估计第2题中毕卡序列与精确辭之间的误差。
8287
1•试用逐次逼近法求初值间题
仏
WQ）=o
的近似解00何妙1（◎®
2（力和卩3何•
2试证明定理2.1中的H次近似函数儿（乳泻猜确解©
（R有如下的误差估计式；
-呻）卜一勺严.（19-6）
3.设f（xry）在整个平面上连续有界，对卩有酸偏导数，证明方程豊=JXZ的任意解丁二©
CO在一3<
X<
03上有定义。
4•讨论方程字=疋二分别过（0,。
）和（曲,-3）的解的存在区间。
ax2
5*.证明：
对于任意的九及满足0<
yo<
l的儿，初值问题
妙二丸yT）
v必_1"
*2
丿（心）=凡
的琳丿=卩（无）在（-CO,4OT）上存在。
6.求下列初值间题解的存在区间
（1）[务诚2）|*2,|『|畝
坎0）二0
访-
、—=sinxcQsy冃斗人十士
（2）0，刃是整个平面。
.巩0）二0
（3）懐F+”-sin（x*）|%1,|划丸
[xo）=o
8892
自测电
1.给出任意绘狄里赫勒公式
2.用数学归纳法证明C20.5）
2•设F是齐次函数，则方程F（兀只”,"
'
）=0,可降阶
4.将（y^-y11?
4^o降阶；
5.将方程”乜少）仃6=0降阶。
9394
自测範
1•讨论下列函数组在其定丈区间内是线性相关还是线性无关：
（1）smx,l;
（2）f+5/-5;
（3）丄，\；
（4）x,ln
（j）訂,0;
（6）sin2cos2/.
2.求第1题中各函数对的朗斯行列式。
9597
1.试证①下列函数组是线性无关的；
②并迭而求出这些函数组基本琳组的二阶线性齐次方程#
（1）"
+x+3,汽
（2）G为不等于零的常数h
□v力3V
（3）X,X0；
（4）lnx^lnxj^—;
（5）r-l,re；
lnJx
2.设微分方程7，，+-y*-^Wy=0有两个特解门⑵和72W，且丹卩2=1，
（1）求
r
此方程中的
（2）并求方程的通解。
3.7?
yl-yyl^y=0,已知一个解^i=r.
98-100
目测題：
1.试证①下列函数组是线性无关；
②求出这些函数组为基本解组的二阶线性齐次方程。
（2）
〔4）
1&
2
1
X2
Qx3
（1）x,e3-x[ye3
1（处十3户
（3）-（%为常数）;
£
£
（"
r^cos^r^sin^.
2.已知二阶齐次线性微分方程
（卫（或談力为连续函数）
怜一个非寻:
特解©
（力试利用变换汁如3求出该方程的通解表达式。
3.h十砂乜二0,.己知-解”W，求出该方程的通解表达式。
101105
1-己知=Tfcosx是；
/十歹=-2stn入的解，72=^-^ya^y=2cosa的解,
验证A=+勺升是才+丁=2©
cosa-巧sinX）的解°
2・茨解方程=sinx-cos2^.
3.求方程Z+y=6^+l通解。
4.求方程yn+y=a^^b的通解，仆常数。
5.求方程yn-y=^^b的通解。
6.茨下列方程特解：
⑴心"
-（2x+1"
+（x+l）y=（Fi-1）严;
（2）k-5y（+4j=x2;
⑶x2y,*+4Tyr+2y=o”,4）x（1-x）2^*=2）/;
（5）y'
vsm2x+血xcosx=y°
106113
1.农方程0的通解。
2.对上题的解，当兀T+O3时，求极限。
3.茨下列方程的通解
f-2尸0.
а.y*+j7=0.
5.”十6”十13y=0.
б.”-2y'
A-y=0.
7・求解才一4”十。
二0.
8.证明本单元所列出常系数线性齐次方程的性质。
114122
1-求解ax+by.
2・卩1」4y'
+4y=x2.
3.y"
-^2y=M1@孝0）.
4.2”+”-y=20.
5.解yll+y'
-6y=^.
6.解y'
+<
^2y=/W->
0）
7.解y'
l-2y^y=-&
K.
8•y'
'
-7y'
-^6y-sinx.
9.y'
-y'
=^sin2x;
2
（1）未知因数u的导数最高阶为2,u,u,u均为一次，所以它是二阶裁11方桿。
（2）为y最高阶导数力1,而y2力二次，故它是一阶非线性常微分方桿。
（3）果y是未知因数，它是一阶找性方程；
如果稱x看着未知因数，它是一阶菲线11方程。
3•探示：
所满足的方程为y-2y+y=0
4.宜接代人方程，并计算Jacobifi列式。
5.方程变形为dy=2xdx=d（x2）,ily=x2+C
6.甜分方桿求解时，都与一定的枳分运算曲JR系。
因此，把求解一个微分方程的过椁林为一个倫分方杈。
撤分方杈的解Q称为（一个）枳分。
7.把甜分方样的通解用初等函数或通过它m的枳分来表达的方法。
注意如果通解能IH结为初等函数的枳分表a,isi2f枳分如果不能用初等因数表示岀来，我hi也从为求解了迪个微分方椁，因为这个it子里没有未知函数的导数或槪分。
8.y=f（x,y）主要特征是f（x,y）能分解力两彳、因貳的桌枳，具中一个因衣仅含有x,另一
因式仅含y,而方程p（x,y）dx+q（x,y）dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f（x,y）—样,P.qft别那能分解成两个因氏和乘枳。
9
（1）枳分得x=-cosx+c
（2）將方程变初灯d*1血或盲哼，当心沖卵卅
—+y+ln|y—1|+—=c
（3）方桿变形为—=—dx,当yH・1,sinxH0时枳分得1+ysinx
y=Csinx-1
（4）方程变形为exp（y）dy=exp（2x）dx,枳分得
exp（y）=-exp（2x）+C
2
（5）当y工±
1时，求得通ffi^lnl—|=x+c
卜+11
1—
（6）方杈化为x2ydx=（1-y2）（1+x2）dx或—^―rdx=一dy,枳分得
1+jry
x-arctgx-Iny|+-y2=C
（7）当x（八一1）工0时，方f?
变形得
+1ydycdx+-t—=0
xy2-1
两址枳分并化简得y2=1+Sexp（-x'
）10•二元因数f（x,y）®
足f（rx,ry）二严f（x,y）』・>
0,J|ftf（x,y）为m次齐次函数°
m=0剧称它为0次齐次函数。
11・如果f（xy）是0次齐次因数,Iy=f（x,y）8Ji齐次方椁。
如果P（x,y）和q（x,y）同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。
=・竺丄2三f（x.y）,由p,q为m次齐次函数推illf（x,y）为0次齐次函数故（lxq仇y）
y=f（x,y）为齐次方程。
12.求解齐次方椁经常用变换y=zx.用因数乘枳导数的公氏得
dydz,
—=x—+z
dxdx
13.迪是齐次方程。
令y=zx,罕二x^+z,将方棺化为
Z+X—=丄r，并即X—=二1分离变量得（―1必=_竺枳分得dx1一旷dx1-Z"
z（zr+1）x
ln|n|+ln（z+2）-ln|z|=ln|C|,或=Cfflz=y\x代人得原来的变量。
x2+y2=Cy.
z
注意y=o方程的解。
14.
（1）当xhO时，方gftft—=1+2-令y=ux,则原方程化为x—=1+u,当1+uhOdxxdx
时，可分离变量得u+1=cx:
;
通解为y=cx2+x
（2）作变换y=uxjl|®
方程化为2udu=^Tgu2=ln|x|+C,代回原变量，得通枳分:
y2=x2（ln|x|+C）
15.IS是齐次方程。
令戶zx原方程化为
・上二dx竺两边枳分得丄・ln|z|=ln|cx|
Z?
X1Z2
用z=t代人得
2v一u
2u一v
就为齐次方程,
令战，经简单讪話芒晋,讪占存C
原方样通枳分为y=x+c（x+y+1）+3
-19
18-
9.方程变形为字=±
±
鱼二仝它的分子、分母两条直线交点为（1,2）
axx+，-2
x=m+1dv-2^+4v
作变换4、干是得到—=,它己经是齐次方程。
y=y+2dllU+V
10.令z=入十歹十1，则竺=1+—?
干是—=1+/（Z）?
dxdxdx
只妾1+了⑵丸，可分离变童得x二L巳+C・
」1十了
（2）
答案:
1.⑴分离变量，得竺^朋二竺里伽.
COS&
cos（p
两边积分，彳早-lncos&
二-Incos<
p+cL,lncos^二Incos（p-c1.所以cos0=ccos。
・
孚松+卑込Q
sec/9?
sec^9
sec少sec&
Jsin#cosg^g>
+Jsin&
cos&
7&
=“.
1.21.2_
-sinw+-sin0=C\
nn
sin9>
+sin8=2cj=c.
（3）变量分离方程，设x+^=u,对乳求导数有1+”=豉，所以y'
w'
-l,
把上面两式代入所给的方程，得1=1?
.
空41.
（A
~耳_£
<
X.
/+1
两边积分,
下面是通积分：
arctgu=x+c,或mg（x+c）,
通解为勿4尹=2呂（兀+0—兀
两边积分，得
变形
积分得
所以
XP
-y
rxx2i
—=
-1+
y_
IJ
x2
@）两边同除咲得2
注意到
故设—=^•经变换后'
得2u—=（1+u2）cigx.>
xdx.
对它分离变童，得丄亍迦=少如
1+u2‘
两边积分弓得ln（l+w2）=lnsinx+ln£
：
，
所以1+u2=tsinx?
通积分为a2+y2=C7?
sinx.
z十丄得贝努里方程
x
2•此方程为黎卡梶方程，『=丄是它的一解，令『=
z'
+（A2+—）z十Z2=0
令"
得线性方程
u*-（x2+-）u=l
u=e
d7.
Jr
=r2eT
“4严矗
从而原方程的通积分为
2•此方程为贝播里方程,
4•此方程为黎卡提方程,
再令仅=£
，得线性方程
xeT（xy-l）^c4-J-^-e_T*c/A-1.
Ldz2A
令z=]y＞得线性方程—--z=-从而原方程的解为
axx厶
y=X4（c+|h|x|）2.
y=为一解,令y=z-x,得贝努里方程n牛2&
=z
夕-2価］
5・由得通解y=a2+c＞由
=2、即
du
—-2xw=-1
（x2+c）dx=2>
得^=亍,
从而定解问题的蚪为
25
y“+亍
6•此方程为线性方程,
从而方程的通解为
丸一炉（力［£
+#（"
律）-諮刃］
=十少⑴一1.
7.证明；
由y=c^x）十如知。
=口也，将此代入上方程，吩）
得尹二。
炭劝十讥兀）所满足的微分方程
空七叫3十心）
dx於）
它是线性方程戈由线性非齐次方程的表达式可见，线性方程的通解形如尹=吶）琢小证毕。
8•证明：
对Riccaii方程
”+月（和+今（Mb=/（R
作变换龙=—1—,得线性非齐次方程
y-yiM
字-[2g（R儿0）+p（x）]u=-处）.
而一是上面方程的一个解，由线性非齐次方程的通解等干其一特娠与对应齐次主程通解
旳0）—》1（劝
之和知，对黎卡提方程的通解，此时只须由一次求积得出线性齐次方程
〒一[2$（力儿（兀）+p（^]u=0
d.x
的通解[或通积分〕即可。
证毕。
•O十ErI
寸•宅号=啥紂-IHKS^n^^JMxj^q令・「二=、丫負丄蒼"
计“勺剖£
品■「剖<
二<
"
2&
FSQO述HfO+J—UH
3目q
■71HS0—H心医-.拦Jins《HXJSOWH亠令・z
・（JI二WCT.SS电—H令
梏二耳Um奄理二日总HXYSOWH疋令A丄十^Mn®
・寸龙<
2&
）•7UTS心==>
YSOO电==為0）・1
■u
+
E7
&
寸IE
6.由施得y'
=±
y,这是两个线性齐次帯寻齢之严.
7.由方程得
当为H±
18^分离超禾只分彳寻=x+C,
即y2+（x+c）2=1.
显然尹=±
1也是原方程的解。
8.
a=—十In尹・
1,
x二—4-Inp.
P
丄__丄空+丄空pp2dypdydy=（\-丄）如
方程变形为
令尹'
二p,则
两端对7求导
y=/?
-Inp十U・
x=—+lnp,
4P
y=t>
-Int>
+C.
参数形式通解为
9.方程变形为°
T）2="
/，即y'
=y（l土巧.通解为
y=（也习必=c-ezp（x±
10.令y=pp则y=ln（l+』2）对x求导2=上务笔•或-^--=^.
1+p2dx1+^2
积分得2arctgp=x+<
7
参数形式通解为F警中y
U=ln（l+p）•
1.方程去（兀=0的1个特解上每1点处解的惟1性被破坏，该特解就昱奇解。
2.如果丁二哄对，xsZ是方程的奇解，它必须满足如下方程组：
*（兀尹,y）=o
殆（“*'
）=0由该方程组决定的曲线，謊是所谓0今||别曲线。
3.单参数曲线族①（心啓）=0的包络是这样一条曲线，它本身不包舍在这曲线族中，但过该曲线上每一点，都有曲线族中一条曲线和它在此点处相切。
a•方程尸（心必”）=o的通积分①（兀jQ=0（即积分曲线族的包络由
JG（xjc）=0
消去0而决定。
称为C-判别曲线。
5.
4消去去得两条去一判别曲线y=x；
y=兀一齐°
⑵我们有（y-^）2=
（3）将卩一判别曲尹二X代入原方程z
48
左=Q,右=?
—所以丿=兀不是方程的解，更不是奇解孑另一条去别别曲线
44o,
y=A-=代入原方程，知它是解令又y=z-—上每一点，均与通解3-<
7尸=仗-，2^72^7
4
的一支相切，即解的惟一性被破坏，故y=A-—是奇解。
27
6・
从
通解易求得，丁二.
V4
2（x-c）=0
消去c得j/=0就是所求亡-判别曲线。
它是通解的包络，即它是奇解。
7.⑴解法一、去一判别曲线
9奸+4=0
i^yp=0
此方程组无解，从而方程无奇解
解法二*令y'
=p为参数，有
关干乳求导,
8dp
从而方程師通解为
A4-C=
y一一
得方程隐式通琳十（兀十c）2=0,
方程的—判别曲线为
y3十（兀十u）'
=o
2（z+c）=0
得y=0,但y=（J不是原方程的解，从而不是原方程的奇解。
（2）卩一判别曲线
Zap3=21y
2Aap^=0
得p=o,从而有尸=0。
显见它是原方程的解，又由解2ay3=27y,即y*=-a"
vys,得p=么一^亠占,即方程的通琳为ay2=（x+
通解ay1=（x+c）3与卩=0的交点・由
=（x+c）3
y=o
决定，为（弋,0）,在〔一°
0）处，曲线今2=（“刃的切线斜率恰为s所以尸=0是微分方程的奇解。
（3）尹一判别曲线
y=5驴-护2
5x_2p=025三25o
消去参数0得y=—而y=—^2不是方程的解，从而方程无奇解。
44
（少方程为克菜洛方程，奇解由
⑺方程写成”=于仗,刃时，fs=：
y从而变=一，可见当y=^9y时，刍无界。
歹二0不是方程的解，从而不可能是奇解芋
丁=立是方程的解，需进一步判断是否是奇解。
求_卩的通解，由分离变量、积分得通解対y
显见，其与》=士7相切。
从而尹=立昱奇解。
（
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