高等代数北大版第5章习题参考答案.docx

1、高等代数北大版第5章习题参考答案第五章二次型1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1) 4xiX2 2x1X3 2x2X3 ；4) 8x；x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4 ；5) X1X2 X1X3 X1X4 X2X3 X2X4 X3X4 ；先作非退化线性替换再作非退化线性替换则原二次型的标准形为于是相应的替换矩阵为且有2 ）已知f由配方法可得于是可令X1,X2,X32Z14z；1），可得非退化线性替换为11X1Z1Z2Z32211X22Z1Z22ZX3Z3最后将（2）代入（2Z3，2121TATX1,X2,X3f X1, X2, X3则原二次型的标准形为且非

2、退化线性替换为(3)X12X12X1y1y2y32x1x22x1x2X2X1X2X3X2X22x3，4X2X32x32，4X2X3 4X3X1y1y2 2y3X2y22y3X3y3相应的替换矩阵为1 1 2T 0 1 20 0 1且有由配方法可得于是可令y1 X1 X2 X3y 2x2 X3 ，y3 X3则原二次型的标准形为2 2 f X1,X2,X3 y1 y2，且非退化线性替换为1 3x y1 尹2 2y31 1X2 尹尹3 ，X3 y3相应的替换矩阵为且有11TAT0 132231 132 2 1111110030010。0010001 0 0 1 1(4)已知 f X1, X2, X3

3、, X4 8X1X2先作非退化线性替换X1y1 y4X2y2X3y3 ，X4y42x3X4 2x2X3 8x2X4,则再作非退化线性替换y1 乙y Z2 Z3o 1532 Z15 3f X1.X2.X3.X48 z28Z2訐Z4Z2 Z34 42z；2zf，再令53w1 z14X2X34w2 z2W3 Z3153w4 ;Z1Z2 - Z3 Z4288则原二次型的标准形为fX1.X2.X3.X42w；2w；2w|8w：，且非退化线性替换为153X1w1w2W3w4244X2w2W3X3w2W31X4W1 W42相应的替换矩阵为(5)已知 f Xi,X2,X3,X42000020000200008

4、oX1X2 X1X3 X1X4 X2X3 X2X4 X3X4 , 先作非退化线性替换f Xi,X2,X3,X42yiy2再作非退化线性替换则原二次型的标准形为f Xi, X2, X3且非退化线性替换为相应的替换矩阵为Xi 2yi y2X2y2X3y3X4y42y22yiy32y2 y3yiy2y3y4y3ZiyiZ2yiy2y3y4Z3y3i尹4Z4y4yiZiy2ZiZ2Z31Z42y3Z312Z4y4Z4X42Zi2Z22Z33 2；Z42尹XiZi Z2X2Zi Z2X3i Z3 Z4Z3Z3i2Z412Z4，2yiy4 2y?y4 河4232 2y4 yi，4111121T 1112

5、，100120001且有10000100TAT0010 c000（6）已知 f x-i , x2 , x3, x42Xi2x；2X44x1x2 4x1x3 2x1x42X2X3 2X2X4 2X3X4,由配方法可得2f Xi, X2 , X3 , X4 Xi2x1 2x22X3 X42x2 2x32X42x22X3 X42 2x|x： 2X2X32x2x42X3X42 亠3 121Xi2x2 2x3x4 2X2 X3X4X3 X42 22于是可令yiXi2x22X3 X431y2X2X3X422 ，y3X3X4y4X4则原二次型的标准形为2 2 1 2f yi 2y - y3,2且非退化线性替

6、换为xi yi 2y y3 yX2y2尹X3y3y4X4y4y4故替换矩阵为1321且有100 0020 0TAT001 。 -02000 0(7)已知 f X-i , X2 , X3, X42X12X22 2X3 X42XtX2 2x2x32X3 X4，由配方法可得 2f X1, X2, X3, X4 X22X2X1X3 X12 2X3 2X1X3 2X3X4 X4X1X2X32 c2X1X3x3 2X3X4 x：2X3X1X2X32X3 X42 2x1 X3 xf2 2X1 X12222X1X1X2X3 X3X4 X1 X3于是可令y1X1y2X1X2X3y3X3X4y4X1X3则原二次型

7、的标准形为r 2222f y1y2y2y4，且非退化线性替换为X2X3X4y2 y4yi y4yi y3y4相应的替换矩阵为i000T0i0ii00ii0ii且有i000TAT0i00000i0000i(n)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解1)已求得二次型f x1, x2, x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3的标准形为f 4y； 3y2 ,且非退化线性替换为iiXiyiy2y322iiX2尹y2y3，X3y3(1)在实数域上，若作非退化线性替换yi Z3y212Z2可得二次型的规范形为2 2 2Z1 z2 z3。(2)在复数域上，若作

8、非退化线性替换yiiZiy212Z2 ?y3Zi可得二次型的规范形为2 )已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为Xi yi y2 2y3X2 y2 2y3X3 y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形f2 yi2 y2。3 )已求得二次型f Xi,X2,X32xi3x| 2x_jX2 2x_jX3 6x2x3的标准形为22fyiy2，且非退化线性替换为i3Xiyi 2y22y3iiX2y2y322X3y3（1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2 2f yi y2。（2） 在复数域上，若作非退化线性替换yi ziy2 iz2。y3 Z

9、3可得二次型的规范形为2 2T Zi Z2。（3） 已求得二次型的标准形为T 2yf 2y； 2y； 8y：，且非退化线性替换为XiX2X3i53yiy2y3 y4244y2y3y2 y3iX4 尹1 y4（i） 在实数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为yi2Z41y22Z2ya12Zay412、2Zz2 z2z2 z2。(2)在复数域上，若作非退化线性替换yiy2yay4可得二次型的规范形为f Zi2(5)已求得二次型f Xi,X2,Xa,X4的标准形为2 2 2 3 2f yi y2 ya 一旳4，4且非退化线性替换为1Xi yi y2 ya ? w1X2 yi y2 ya ?

10、wiXa ya y4i2Zii2Z2i2Za2Z22ZaXi X2XiXaXiX4 X2XaX2X4 X3X4(1) 在实数域上，若作非退化线性替换y1Z2y2乙y3Z3y423可得二次型的规范形为(2) 在复数域上，若作非退化线性替换yi izi y2 Z2y3 iz3 2 .y4 iZ4V3可得二次型的规范形为6 )已求得二次型f X1,X2,X3,X424nx2 4x1x32x1x42x2x3 2x2x4 2x3x4的标准形为f2y12y；1 22y3，且非退化线性替换为X1y12 y2y3 y4X2y23尹y4oX3y3y4X4y4X12x|2X4(1)在实数域上，若作非退化线性替换可

11、得二次型的规范形为yiZ21y22Z y32ziy4Z42 2 2Z1 z2 z3。yiiziy2i2Z2?y32Z3讨4Z4可得二次型的规范形为f222ZiZ2Z3。7)已求得二次型f Xi,X2,X3,X42Xi2x|X22X2X32x2x4的标准形为f222 2yiy2y2 y4且非退化线性替换为XiyiX2y2y4X3yi y4X4yiy4(2)在复数域上，若作非退化线性替换2x3X44x1 x2 4x1x3 2x1x4(1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2 2 2 2yi y2 y2 y4。(2) 在复数域上，若作非退化线性替换y1 z1可得二次型的规范形

12、为2 证明：秩等于 r证 由题设知 且 D 为对角阵，又因为 其中d10D10于是ACC因ranky2 z2 ，y3 z3y4 iz42222f z1 z2 z3 z4 。的对称矩阵可以表成 r 个秩等于 1 的对称矩阵之和。A A 且 rank ( A) r ，于是存在可逆矩阵 C 使CAC D ，1 1 1C,C , C C 均为可逆矩阵，所以有C AC D1 D2 Dr ，,D2d20,Dr0dr0D1 D2Dr CD1CC 1 D2CC 1 Dr CC 1 DiC 1 1 i 1,2, ,r ，C 1 DiC 1C 1 Di C 1 CDiC 1 。即 C 1 DiC 1 都是对称矩阵

13、，A 可表成 r 个秩为的对称矩阵之和。3证明：i1i2in合同，其中 i1i2 in 是1,2,n 的一个排列。证 题中两个矩阵分别设为A,B ，与它们相应的二次型分别为1x12x2，nn2i1 y122i2 y222in yn ，作非退化的线性替换ytxit1,2,n ，则fB可化成fA。故A与B合同。设A是一个n阶矩阵，证明:A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量 X ，有 XAX 0 。如果 A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量 X 有 X AX0，那么 A 0 。1 )必要性。因为A，即 aii 0,aij a ji ij ，所以由于aijXAXaij xi xji,jaij a

14、ji xi xjijaji 0 ，故X AXaij ijaji xix j0。充分性。因为X Rn ，有 XAX0，即a11x1a12 a21 x1x2x1nan1 x1xna22a2n an2 x2xn2annxn2 0 ，这说明原式是一个多元零多项式，故有a11 a22ann 0,aij a ji i j ，即AA。2 )由于A是对称的，且XAX 0 ，即2 a11 x12a12 x1x22a1n x1xn a22 x22a2n x2 xn2ann xn 0 ，这说明XAX 为一个多元零多项式，故有a11a22 ann0，2aij0 aij a ji0，即 A 0 。5如果把实n阶对称矩阵

15、按合同分类，即两个实 n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类解 实对称矩阵 A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵 T与C使d1d2T BT C ACd r D 。00面考虑对角矩阵 D 的相应二次型的合同分类情况，在 di i 1,2, ,r 中可分为r 个 正，0 个 负r 1 个 正，1 个 负2 个 正，r 2 个 负1 个 正，r 1 个负0 个 正，r 个 负共计 r 1个合同类。但秩 r 又可分别取 n,n 1, ,2,1,0 ，故共有1 2 3n 1 n 2n n 12个合同类。6 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于

16、 2且符号差等于0,或者秩等于1。证 必要性。设其中ai,bi i 1,2, ,n均为实数。1)若上式右边的两个一次式系数成比例，即bi kai i 1,2, , n不失一般性，可设a1 0，则可作非退化线性替换y1 a1 X1yi xa2x22,anXn,n使二次型化为f X!,X2,Xnky：，故二次型f x1 ,x2,Xn的秩为1。2)若两个一次式系数不成比例，不妨设a1b1a92，则可作非退化线性替换b2Y1 a1x1 a2X2anXny2 b1x1 b2x2bnXn，yi Xii3,n使f X1, X2,xnyy。再令y1 Z1Z2y2 Z1Z2yi Zii3,n则二次型可化为22f

17、 Xi,X2, ,Xn yiy2zi z2 ，故二次型 f X1,X2, ,Xn 的秩为 2，且符号差为 0。充分性。 1 )若 f Xi,X2, ,Xn 的秩为i,则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为f Xi,X2, ,Xnkyi2，其中yi为xi, X2,Xn 的一次齐次式，即yi aiXi a2X2an Xn ,且f Xi,X2,Xn k aiXi a2X22anXnkaiXi ka2X2kanXn aiXi a2X2an Xn 。2)若 f Xi,X2 ,Xn 的秩为 2，且符号差为0,则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为f Xi,X2 ,22,Xn yi y2 yi y2

18、yi y2aiXi a2 X2anXn biXi b2X2bnXn ,故 f Xi,X2,xn 可表成两个一次齐次式的乘积。7判断下列二次型是否正定：2 2 21)99X12 12X1X2 48X1X3 130X22 60X2X3 71X32 ；2)10X12 8X1X2 24X1X3 2X22 28X2X3 X32；n3)Xi2 Xi X j ；i 1 1 i j nn4) Xi2i1n1Xi Xi 1 。i1解 1 )二次型的矩阵为99624A613030 ，243071因为9961 99 0,261300, 3 A 0，故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为10 4 12A 4 2

19、14 ,12 14 1因为A 0 ,所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为A aj nn，其中1, iaj 1 .2，i112112A112211221122112211 ，2112由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且k 1,2, ,n ,故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为 A ay，则A的k级顺序主子式为Ak故原二次型为正定二次型。8. t取什么值时，下列二次型是正定的:10x1 x3 6x2x3解1 ）二次型的矩阵为1 t 1A t 1 21 2 5因为A的各阶顺序主子式为当原二次型为正定时，有t25t24t0。4解上面不等式组，可得 -52）二

20、次型的矩阵为当A的所有顺序主子式都大于零时,t2 0,t2 30t 105 0 ,由原二次型为正定得但此不等式组无解,9 .证明：如果t2 t2 30t105即不存在 t值使原二次型为正定。A是正定矩阵，那么 A的主子式全大于零。所谓主子式,就是行指标与列指标相同的子式。则可得新二次型ki kia x Xj,i k, j k.由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式A0 i 1,2, ,n。10设A是实对称矩阵，证明：当实数 t充分大之后，tE A是正定矩阵。证t a1 a2a1ntE Aa21 t a22a2nan1 an2tann它的k级顺序主子式为匕的k级顺丿序主子式为

21、t a1 a2a1kk ta?1 t a 22a2kak1 ak2t akk当t充分大时， kt为严格主对角占优矩阵的行列式，且 t aH aj i 1,2, ,n ,j i故k t 0 k 1,2, ,n，从而tE A是正定的。11证明：如果 A是正定矩阵，那么 A 1也是正定矩阵。证 因A是正定矩阵，故 X AX为正定二次型，作非退化线性替换 X A 1Y，又A也是对称矩阵，故YA 1Y YA1 AA 1Y X AX 0 ,从而YA 1Y为正定二次型，即证 A 1为正定矩阵。12设A为一个n级实对称矩阵，且 A 0，证明：必存在实 n维向量X 0，使XAX 0 。退化线性替换X C 1Y使X AX Y C 1 ACY YBY2 2y1 y22ypyp 1yp 2yn ,