高等代数北大版第5章习题参考答案.docx

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高等代数北大版第5章习题参考答案

第五章二次型

1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）4xiX22x1X32x2X3；

4）8x；x42x3x42x2x38x2x4；

5）X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4；

先作非退化线性替换

再作非退化线性替换

则原二次型的标准形为

于是相应的替换矩阵为

且有

2）已知f

由配方法可得

于是可令

X1,X2,X3

2

Z1

4z；

1），

可得非退化线性替换为

1

1

X1

Z1

Z2

Z3

2

2

1

1

X2

2Z1

Z2

2Z

X3

Z3

最后将

（2）代入（

2

Z3，

2

1

2

1

TAT

X1,X2,X3

fX1,X2,X3

则原二次型的标准形为

且非退化线性替换为

（3）

X12

X12

X1

y1

y2

y3

2x1x2

2x1x2

X2

X1

X2

X3

X2

X2

2x3，

4X2X3

2x32，

4X2X34X3

X1

y1

y22y3

X2

y2

2y3

X3

y3

相应的替换矩阵为

112

T012

001

且有

由配方法可得

于是可令

y1X1X2X3

y2x2X3，

y3X3

则原二次型的标准形为

22fX1,X2,X3y1y2，

且非退化线性替换为

13

xy1尹22y3

11

X2尹尹3，

X3y3

相应的替换矩阵为

且有

1

1

TAT

—01

3

2

2

3

11

3

221

1

1

1

1

1

0

0

3

0

0

1

0。

0

0

1

0

0

0

10011

（4）已知fX1,X2,X3,X48X1X2

先作非退化线性替换

X1

y1y4

X2

y2

X3

y3，

X4

y4

2x3X42x2X38x2X4,

则

再作非退化线性替换

y1乙

yZ2Z3

o1

5

3

2Z1

53

fX1.X2.X3.X4

8z

2

8Z2

訐

Z4

Z2Z3

44

2z；

2zf，

再令

5

3

w1z1

4X2

X3

4

w2z2

W3Z3

1

5

3

w4—;

Z1

Z2-Z3Z4

2

8

8

则原二次型的标准形为

f

X1.X2.X3.X4

2w；

2w；

2w|

8w：

，

且非退化线性替换为

1

5

3

X1

—w1

—w2

W3

w4

2

4

4

X2

w2

W3

X3

w2

W3

">

1

X4

—W1W4

2

相应的替换矩阵为

（5）已知fXi,X2,X3,X4

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

8

o

X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4,先作非退化线性替换

fXi,X2,X3,X4

2yiy2

再作非退化线性替换

则原二次型的标准形为

fXi,X2,X3

且非退化线性替换为

相应的替换矩阵为

Xi2yiy2

X2

y2

X3

y3

X4

y4

2

y2

2yiy3

2y2y3

yi

y2

y3

y4

y3

Zi

yi

Z2

yi

y2

y3

y4

Z3

y3

i

尹4

Z4

y4

yi

Zi

y2

Zi

Z2

Z3

1

Z4

2

y3

Z3

1

2Z4

y4

Z4

X4

2

Zi

2

Z2

2

Z3

32

；Z4

2

尹

Xi

ZiZ2

X2

ZiZ2

X3

iZ3Z4

Z3

Z3

i

2Z4

1

2Z4，

2yiy42y?

y4河4

2

322

y4yi，

4

1

1

1

1

2

1

T1

1

1

2，

1

0

0

1

2

0

0

0

1

且有

1

0

0

0

0

1

0

0

TAT

0

0

1

0c

0

0

0

（6）已知fx-i,x2,x3,x4

2

Xi

2x；

2

X4

4x1x24x1x32x1x4

2X2X32X2X42X3X4,

由配方法可得

2

fXi,X2,X3,X4Xi

2x12x2

2X3X4

2x22x3

2

X4

2x2

2X3X4

22x|

x：

2X2X3

2x2x4

2X3X4

2亠

31

2

1

Xi

2x22x3

x42

X2X3

X4

X3X4

22

2

于是可令

yi

Xi

2x2

2X3X4

3

1

y2

X2

X3

X4

2

2，

y3

X3

X4

y4

X4

则原二次型的标准形为

2212

fyi2y-y3,

2

且非退化线性替换为

xiyi2yy3y

X2

y2

尹

X3

y3

y4

X4

y4

y4

故替换矩阵为

1

3

2

1

且有

1

0

00

0

2

00

TAT

0

0

1。

-0

2

0

0

00

（7）已知fX-i,X2,X3,X4

2

X1

2

X2

22

X3X4

2XtX22x2x3

2X3X4，

由配方法可得

£2

fX1,X2,X3,X4X2

2X2

X1

X3X1

22

X32X1X32X3X4X4

X1

X2

X3

2c

2X1X3

x32X3X4x：

2

X3

X1

X2

X3

2

X3X4

22x1X3xf

22

X1X1

2

2

2

2

X1

X1

X2

X3X3

X4X1X3

于是可令

y1

X1

y2

X1

X2

X3

y3

X3

X4

y4

X1

X3

则原二次型的标准形为

r2

2

2

2

fy1

y2

y2

y4，

且非退化线性替换为

X2

X3

X4

y2y4

yiy4

yiy3

y4

相应的替换矩阵为

i

0

0

0

T

0

i

0

i

i

0

0

i

i

0

i

i

且有

i

0

0

0

TAT

0

i

0

0

0

0

0

i

0

0

0

0

i

（n）把上述二次型进一步

化为规范形，

分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非

退化线性替换。

解1）已求得二次型

fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3

的标准形为

f4y；3y2,

且非退化线性替换为

i

i

Xi

yi

y2

y3

2

2

i

i

X2

尹

y2

~y3，

X3

y3

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

yiZ3

y2

1

2Z2

可得二次型的规范形为

222

Z1z2z3。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

yi

iZi

y2

1

2Z2?

y3

Zi

可得二次型的规范形为

2）已求得二次型

的标准形为

且非退化线性替换为

Xiyiy22y3

X2y22y3

X3y3

故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形

f

2yi

2y2。

3）已求得二次型

fXi,X2,X3

2

xi

3x|2x_jX22x_jX36x2x3

的标准形为

2

2

f

yi

y2，

且非退化线性替换为

i

3

Xi

yi2

y2

2y3

i

i

X2

y2

—

y3

2

2

X3

y3

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

22

fyiy2。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

yizi

y2iz2。

y3Z3

可得二次型的规范形为

22

TZiZ2。

（3）已求得二次型

的标准形为

T2yf2y；2y；8y：

，

且非退化线性替换为

Xi

X2

X3

i

5

3

yi

y2

y3y4

2

4

4

y2

y3

y2y3

i

X4尹1y4

（i）在实数域上，若作非退化线性替换

可得二次型的规范形为

yi

2Z4

1

y2

2Z2

ya

1

2Za

y4

1

2、2Z

z2z2

z2z2。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

yi

y2

ya

y4

可得二次型的规范形为

fZi2

（5）已求得二次型

fXi,X2,Xa,X4

的标准形为

22232

fyiy2ya一旳4，

4

且非退化线性替换为

1

Xiyiy2ya?

w

1

X2yiy2ya?

w

i

Xayay4

i

2Zi

i

2Z2

i

2Za

2

Z2

2

Za

XiX2

XiXa

XiX4X2Xa

X2X4X3X4

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

y1

Z2

y2

乙

y3

Z3

y4

2

3

可得二次型的规范形为

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

yiiziy2Z2

y3iz32.

y4iZ4

V3

可得二次型的规范形为

6）已求得二次型

fX1,X2,X3,X4

2

4nx24x1x3

2x1x4

2x2x32x2x42x3x4

的标准形为

f

2

y1

2y；

12

2y3，

且非退化线性替换为

X1

y1

2y2

y3y4

X2

y2

3

尹

y4

o

X3

y3

y4

X4

y4

X1

2x|

2

X4

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

可得二次型的规范形为

yi

Z2

1

y2

2Z

■

y3

2zi

y4

Z4

222

Z1z2z3。

yi

izi

y2

i

2Z

2

?

y3

2Z3

讨4

Z4

可得二次型的规范形为

f

2

2

2

Zi

Z2

Z3。

7）已求得二次型

fXi,X2,X3

X4

2

Xi

2x|

X2

2X2X3

2x2x4

的标准形为

f

2

2

22

yi

y2

y2y4

且非退化线性替换为

Xi

yi

X2

y2

y4

X3

yiy4

X4

yi

y4

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

2x3X4

4x1x24x1x32x1x4

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

2222

yiy2y2y4。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

y1z1

可得二次型的规范形为

2．证明：

秩等于r

证由题设知且D为对角阵，又因为其中

d1

0

D1

0

于是

AC

C

因

rank

y2z2，

y3z3

y4iz4

2222

fz1z2z3z4。

的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。

AA且rank（A）r，于是存在可逆矩阵C使

CACD，

111

C,C,CC均为可逆矩阵，所以有

CACD1D2Dr，

D2

d2

0

Dr

0

dr

0

D1D2

DrC

D1C

C1D2C

C1DrC

C1DiC11i1,2,,r，

C1DiC1

C1DiC1C

DiC1。

即C1DiC1都是对称矩阵，

A可表成r个秩为

的对称矩阵之和。

3．证明：

i1

i2

in

合同，其中i1i2in是1,2,

n的一个排列。

证题中两个矩阵分别设为

A,B，与它们相应的二次型分别为

1x12

x2，

nn

2

i1y12

2

i2y22

2

inyn，

作非退化的线性替换

yt

xit

1,2,

n，

则fB可化成fA。

故A与B合同。

设A是一个n阶矩阵，证明:

A是反对称矩阵当且仅当对任一个

n维向量X，有XAX0。

如果A是对称矩阵，且对任一个

n维向量X有XAX

0，那么A0。

1）必要性。

因为

A，

即aii0,aijajii

j，所以

由于

aij

XAX

aijxixj

i,j

aijajixixj

ij

aji0，故

XAX

aijij

ajixixj

0。

充分性。

因为

XRn，

有XAX

0，即

a11x1

a12a21x1x2

x1n

an1x1xn

a22

a2nan2x2xn

2

annxn20，

这说明原式是一个多元零多项式，故有

a11a22

ann0,

aijajiij，

即A

A。

2）

由于A是对称的，且

XAX0，即

2a11x1

2a12x1x2

2a1nx1xna22x2

2a2nx2xn

2

annxn0，

这说明

XAX为一个多元零多项式，故有

a11

a22ann

0，

2aij

0aijaji

0，

即A0。

5•如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它

们合同，问共有几类

解实对称矩阵A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵T与C使

d1

d2

TBTCAC

drD。

0

0

面考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，在dii1,2,,r中可分为

r个正，

0个负

r1个正，

1个负

2个正，

r2个负

1个正，

r1个负

0个正，

r个负

共计r1个合同类。

但秩r又可分别取n,n1,,2,1,0，故共有

123

n1n2

nn1

2

个合同类。

6•证明：

一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：

它的秩等于2且符号差等于

0,或者秩等于1。

证必要性。

设

其中ai,bii1,2,,n均为实数。

1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即

bikaii1,2,,n

不失一般性，可设a10，则可作非退化线性替换

y1a1X1

yix

a2x2

2,

anXn

n

使二次型化为

fX!

X2,

Xn

ky：

，

故二次型fx1,x2,

Xn的秩为1。

2）

若两个一次式系数不成比例，不妨设

a1

b1

a9

2，则可作非退化线性替换

b2

Y1a1

x1a2

X2

anXn

y2b1x1b2x2

bnXn，

yiXi

i

3,

n

使

fX1,X2,

xn

yy。

再令

y1Z1

Z2

y2Z1

Z2

yiZi

i

3,

n

则二次型可化为

22

fXi,X2,,Xnyiy2

ziz2，

故二次型fX1,X2,,Xn的秩为2，且符号差为0。

充分性。

1）

若fXi,X2,,Xn的秩为

i,则可经非退化线性替换

ZCY使二次型化

为

fXi,X2,,Xn

kyi2，

其中yi为xi,X2,

Xn的一次齐次式，即

yiaiXia2X2

anXn,

且

fXi,X2,

XnkaiXia2X2

2

anXn

kaiXika2X2

kanXnaiXia2X2

anXn。

2）若fXi,X2,

Xn的秩为2，且符号差为

0,则可经非退化线性替换

ZCY使二次型

化为

fXi,X2,

22

Xnyiy2yiy2

yiy2

aiXia2X2

anXnbiXib2X2

bnXn,

故fXi,X2,

xn可表成两个一次齐次式的乘积。

7．判断下列二次型是否正定：

222

1）99X1212X1X248X1X3130X2260X2X371X32；

2）10X128X1X224X1X32X2228X2X3X32；

n

3）Xi2XiXj；

i11ijn

n

4）Xi2

i1

n1

XiXi1。

i1

解1）二次型的矩阵为

99

6

24

A

6

130

30，

24

30

71

因为

99

6

1990,

2

6

130

0,3A0，

故原二次型为正定二次型。

2）二次型的矩阵为

10412

A4214,

12141

因为A0,所以原二次型非正定。

3）记二次型的矩阵为Aajnn，其中

1,i

aj1.

2，i

1

1

2

1

1

2

A

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1，

2

1

1

2

由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵

Ak与A为同类型的对称矩阵，且

k1,2,,n,

故原二次型为正定二次型。

4）记二次型的矩阵为Aay

，则A的k级顺序主子式为

Ak

故原二次型为正定二次型。

8.t取什么值时，下列二次型是正定的:

10x1x36x2x3

解1）二次型的矩阵为

1t1

At12

125

因为A的各阶顺序主子式为

当原二次型为正定时，有

t2

5t2

4t

0。

4

解上面不等式组，可得-

5

2）二次型的矩阵为

当A的所有顺序主子式都大于零时,

t20,

t230t1050,

由原二次型为正定得

但此不等式组无解,

9.证明：

如果

t2t230t

105

即不存在t值使原二次型为正定。

A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。

所谓主子式,

就是行指标与

列指标相同的子式。

则可得新二次型

kiki

axXj,

ik,jk.

由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故

A的一切i级主子式A

0i1,2,,n。

10•设A是实对称矩阵，证明：

当实数t充分大之后，tEA是正定矩阵。

证

ta〔1a〔2

a1

n

tEA

a21ta22

a2n

an1an2

t

ann

它的k级顺序主子式为

匕的k级顺丿序主子式为

ta〔1a〔2

a1k

kt

a?

1ta22

a2k

ak1ak2

takk

当t充分大时，kt为严格主对角占优矩阵的行列式，且taHaji1,2,,n,

ji

故kt0k1,2,,n，从而tEA是正定的。

11•证明：

如果A是正定矩阵，那么A1也是正定矩阵。

证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换XA1Y，又A

也是对称矩阵，故

YA1YYA1AA1YXAX0,

从而YA1Y为正定二次型，即证A1为正定矩阵。

12•设A为一个n级实对称矩阵，且A0，证明：

必存在实n维向量X0，使

XAX0。

退化线性替换XC1Y使

XAXYC1ACYYBY

22

y1y2

2

yp

yp1

yp2

yn,