魔方我的数学模型.docx

1、魔方我的数学模型数学模型M一、基本概念魔方的6个面分别记为：前-Front (F),后-Back(B),左-Left(L),右-Right (R),上-Up (U),下- Down(D).分别记为：F=1;B=-1;L=-j;R=j;U=k;D=-k魔方有26块，分类为: （1） 中心块 -六个面的中心就叫中心块只有一个面。（2) 边块 -和中心块相邻的有两个面。记为：上面前后左右用s=1+0+k;-s=-1+0+k;-t=0-j+k，t=0+j+k表示。下面前后左右用下面：m=1+0-k；-m=-1+0-k；-n=0-j-k；n=0+j-k表示。中间层按前左右为Z=1-j+0；H=1+j+0

2、。后左右为Q=-1-j+0；P=-1+j+0 表示。（3) 角块 -8个在角上有三个面。按顺时针把角块记为：前上右角7=1+k+j；.前上左角5=1-j+k；后上左角4=-1+k-j.；后上右角6=-1+j+k；前下右.角3=1+j-；前下左角1=1-k-j；后下左角0=-1-j-k；后下右角2=-1-k+j。这样我们给各个块以名称和坐标。不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的。边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置。另一种分法：魔方分为3层- 上层; 中层; 底层.旋转魔方归纳起来一共有3种方法: （1）顺时针旋转(90度)，例如：顺时F针直角旋转右

3、面，记为 R。（2)逆时针旋转(90度),例如：逆时针直角旋转上面，记为U（或-U）。（3) 半圈旋转(180度)，例如：旋转前面180度，记为F2。把坐标写为两套，其中一套用斜体表示，在魔方的块动起来时走到哪里带到哪里不会发生变化，称为色向函数，即各块各面原来的颜色，不会因为位置不同而变化。另一套用正常字体表示，称随位置变化而变化，称为位置函数。定义一：关于边块及角块的方向，因为每一个边块有两个面，相对于三个坐标轴的方向x先于y；y先于z；x先于z。即xy;xz;yz即按这个顺序为正，否则为反。因为每一个角块有三个面，以x轴为法向量的面，在变化过程中，如果垂直于x轴的面发生变化，按原来垂直于

4、x轴的面旋转；顺时针为正，逆时针为负。 魔方的基本转动看作是：U；-D乘以-j , -U；D乘以j, 对于k不起作用；L，-R乘以-k , -L，R乘以k , 对于i不起作用；F乘以ik, -F乘以ki 对于1不起作用。规定：如此一来魔方的转动可以和数学运算结合起来。例如：顺时针转动上90度即U，角7到了角5的位置上，角7的前面转到了右面，右面转到了前面。不妨设角7前面为红色，上面为白色，右面为蓝色这个问题我们下面可以用运算进行描述。按我们给出的记号与坐标得表一：上，71+k+j前红，上白，右蓝乘以-J51+k+j-j+k+1左红，上白，前蓝按描述性定义：按原来垂直于x轴的面旋转角5的垂直于x

5、轴的面即前面；按顺时针为正，角7正占据了角5的位置。按数学性定义：数字向前了为正，所以角7正占据了角5的位置。123按三个位置第一个位置向前即是到了第三个位置。-j乘以k不起作用，说明不发生变化，即其中一个坐标不变。真实的描述了魔方的变化。 这样的定义正好反映了魔方的真实转动情况。魔方每个基本转动总是只有两个坐标发生变化。顶点的坐标在转动时，如果数字的位置向前移动，则为正占据，如果数字的位置向后移动，则为负占据，边用两个坐标，先x后y;先x后z;先y后z,在移动时这个顺序不变为正，变化为反。二 基本转动方向及位置的描述表二R3_7+绕x-R7_3-绕xk1+i-kK+i+1-kI+k+i-k+

6、1+iH-T变T-H变I+iK+iI+k-k+17_6-不绕x6_7+不绕xI+k+ik-1+i-1+i+kK+i+1T-P变P-T变1+iK+i-1+iK+i6_2+绕x2_6-绕x-1+i+k-k+i-1-1-k+i-k-1+iP-N变N-P变-1+i2_3-不绕x3_2+不绕x-1-k+i-k+1+i1+i-k-k+i-1N-H变H-N变i-ki+11+i-k+iL0_4+绕x-L4_0-绕x-k-1-i-kk-i-1k-1+k-i-k-1-iQ-T变-T-Q变-1-i-k-i-i-k-i-14_5-不绕x5_4+不绕x-1+k-iK+1-i1-i+kk-i-1-T-Z变Z-T变-i+k

7、-i+11-ik-i5_1+绕x1_5-绕x1-i+k-k-i+11-k-iK+1-iZ-n变-n-Z变1-i-k-i-i-k-i+11_0-不绕x0_1+不绕x1-k-i-k-i-i-1-i-k-k-k+1-n-Q变Q-n变-i-k-i-i-1-i-k-iU7_5+绕x-U5_7-绕x-i1+k+i-i+k+1i1-i+kI+1+kS-T-T-S1+ki+k-i+k1+k5_4-不绕x4_5+不绕x1-i+k-i-1+k-1+k-i-i+k+1-T-S-S-T-i-k-1-k-1-k-i-k4_6+绕x6_4-绕x-1+k-iI+k-1-1+i+k-i-1+k-S-TT-S-1-ki+ki+

8、k-1+k6_7-不绕x7_6+不绕x-1+i+kI+1+k1+k+ii+k-1T-SS-Ti+k1+k1+ki+kD1_3+绕x-D3_1-绕xi1-k-ii-k+1-i1+i-k-i+1-kM-NN-M1-ki-ki-k1-k3_2-不绕x2_3+不绕x1+i-ki-1-k-1-k+ii-k+1N-m-m-Ni-k-1-k-1-ki-k2_0+绕x0_2-绕x-1-k+i-i-k-1-1-i-ki-1-k-m-n-n-m-1-k-i-k-i-k-1-k0_1-不绕x1_0+不绕x-1-i-k-i+1-k1-k-i-i-k-1-n-Mm-n-i-k1-k1-k-i-kF5-7-F7-5ik1

9、-i+k1+k+iki1+k+i1-i+kS-HH-S1+k1+i1+i1+k7-33-71+k+i1+i-k1+i-k1+k+1H-MM-H1+i1-k1-k1+i3-11-31+i-k1-k-i1-k-i1+i-kM-ZZ-M1-k1-i1-i1-k1-55-11-k-i1-k+k1-i+k1-k-iZ-SS-Z1-i1+k1+k1-i魔方的所有转动都是以上基本转动的组合。分析以上转动的特点，我们发现上述转动：F,F不会引起垂直于x平面的变化，所以F,F的转动引起角的变化都是零占据。顺时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变

10、化都是反常占据。逆时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。边的变化规律是，只有L L R R的转动引起四个边块的占局发生变化。正变负，负变正。在转动过程中角快数字向前变化为正。数字向后变化为负。与上述是一致的。我们注意到：六个面的单色魔方称为初始状态，所谓玩魔方的主要问题是把魔方恢复成初始状态。即使的各个块的色向函数与位置函数完全一致。三 基本组合的描述例一：研究FD的变化。表三5731SHmZ02-n-mn1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-i-1-i-k-1-k+i-I-k-1-ki

11、-kF7315HmZS1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-ijk1+k+i1+i-k1-k-i1=i+k1+i1-k1-i1+kD23n10m-n-m1+k+i1+i-k1+i-1-i-k-1-k+i-I-k-1-ki-kji-1-ki-k+1i-k-i+1-k-i-k-11-k-i-k-1-k-+-+从表中容易看出转动前后各个块及各个面的变化情况。说明：表的第一行是魔方的角块边块原来的位置，第一列是对魔方的变换或运算，第二行是魔方受到运算F作用后，引起角块边块变化的新位置。每次变化都是四个角，四个边。第三行是魔方受到运算D作用后，引起角块边块变化的新位置。以下类推，

12、以下的表都是如此。把FD看成是乘积运算，FD共有十三块发生了变化，这十三块分为三个集合，F-D，FD， D- F。例二：研究FDF的变化。表四5731SHmZ02-n-mn1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-i-1-i-k-1-k+i-I-k-1-ki-kF7315HmZS1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-iik1+k+i1+i-k1-k-i1=i+k1+i1-k1-i1+kD23n10m-n-m1+k+i1+i-k1+i-1-i-k-1-k+i-I-k-1-ki-kii-1-ki-k+1i-k-i+1-k-i-k-11-k-i-k-1-k

13、-F571SmZ3H1-i+k1+i-k1-k-i1+k1-k1-i-1-i-k-I-kki1-i+kK+i+11-k-i1+k1-k1-i-k+1+i1+i原-+原原正原原-+正正正角块：7_2(-120)；2_0(+120)；0_3(-120)；3_7(120)，周期为四。边块：H_n;n_-m;-m_-n;-n_H周期为四。变化想把3移动到7，作R直接把3移动到7结果把t 6移动到别处去了。作F直接把3移动到7结果把s 5 移动到了其他地方了。为了克服这个问题。首先作F，然后再作F，为了使已经作好的部分不再发生变化，往往要这样作往返回复的变动。数学中叫作换位子。关键起作用的是中间的动作。

14、所以法则中有许多这样的动作，因此法则也比较好记忆。只需记忆二分之一。F与F之间的D与F的交集起关键作用。每次转动都涉及四角四边。相邻两次不同的转动的交集是两角一边。相邻两次不同的转动的作用在它们的交集上，是两角一边。所以观察转动特别注意其交集。FDF作用后其不发生变化的是F与D的差集, F与F是一对逆变换。作用于相同的集合。FDF的变化是在FD的基础上又运行了F。虽然仍然是十三块发生了变化，其中m,1,Z,5,s,五块虽然变化了两次，由于F与F互逆，它们方向和位置最终没有发生变化。D- F的五块中的三块变化了一次它们属于D-F，二块变化了两次它们属于FD。其它二块变化了两次的，它们属于DF。特

15、别注意有一块变化了三次，它属于FDF。它是变化的目的。在第一层角块复位复向过程中运用的法则就是FDF和RDR。二者本质是一样的。注意法则中的URU，RUR，FUF每一段落的实施以后总有三个边块，两个角块位置和方向保持不变。除了中间的元素以外，两边对称的元素互逆，数学上称为换位子。四 法则汇编及复原步骤：法则是实现特定目的的基本转动的固定组合。法则一：（第二层嵌入）URURUFUF。法则一三：（第二层嵌入）F2U2FU2F2.（技巧）。法则二一:（对调相邻两角）RDRFD(*)F。R。DRD2。法则二二:（对调相对两角）RDRFD2(*)F。R。DRD。法则三：（角定向）RDRDRD2RD2。法

16、则四：（边定位定向法则一）(RL)F(RL)D2 (RL)F(RL)。法则五：（边定位定向法则二）(RL)F(RL)D (RL)F(RL)D (RL)F2(RL)。 五 法则变动过程的描述法则一：（第二层嵌入）URURUFUF。表五S7t6-S4-t5H3n2Pm1z1+k1+k+jJ+k-1+j+k-1+k-1+k-j-j+k1-j+k1+j1+j-kj-k-1-k+j-1+j1-k1-k-j1-jU-t5S7t6-S41+k1+k+jJ+k-1+j+k-1+k-1+k-j-j+k1-j+k-j-j+k-j+k+11+kJ+1+kj+kJ+k-1-1+k-j-1+kR6P2t7H3n-1+j

17、+k-1+k-1+k-j1+j1+j-kj-k-1-k+j-1+jkJ+k-1j-1j-1-kK+jK+j+1J+1-k+1+j-k+j-US7t4-t5-S61+k1+k+jJ+k-1+j+k-j+k1-j+k1+j1+kj1+k1+k+jJ+k-1+k-j-j+k1-j+kk-1k-1+j-R3Ht67n2P1+k+jJ+k-1+k-1+k-j1+j-kj-k-1-k+j-1+j-k-k+1+jJ+1J+kJ+k-11+k+jj-k-1-k+j-1+j-Ut5-S4S7-t61+k-1+j+k-1+k-1+k-j-j+k1-j+k1+j1+j-kjj+k-j+k+1-1+k-1+k-j1+

18、kJ+1+kk-jj+k-1-F7S1Z5H3m1+k+jJ+k-1+j+k-j+k1-j+k1-k1-k-j1-jKjJ+1+kK+1-k-j+11+jK+1-j1+j1+j-k1-kUS5-tt64-S71+k1+k+jJ+k-1+k-1+k-j1-j+k1+j1+j-k-j1+k1-j+kk-jJ+kJ+k-1k-j-1k-11+k+jFH75S3m1Z1+k1+k+j-1+j+k-j+k1+j-k1-k1-k-j1-jjk1+j1+k+j-j+k+11+k1+j-k1-k1-k-j1-j正原正正正正正正 反原正原正原原原边，S_H，H_-S, -S_T,t_-T,-T_S,周期为5,角

19、，5_4+, 4_6+, 6_5+, 周期为3 ， 7_7 不变。所以整个周期为15,经过十五次,等于恆等映射。第四步打下了基础。法则一的目的是把s移动到H，并且方向不变，URU后s在原来的位置，3移动到6。URUR后s在原来的位置，3移动到6后又移动到7,从而为s移动到H打下了基础。所以第四步是关键。法则一三：F2U2FU2F2。表六5731SHmZ-t4-S6t1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-i-i+k-1+k-i-1+k-1+i+ki+k2F3157mZsH1-i+k1+k+i1+i-k1-k-i1+k1+i1-k1-ikk1+i-k1-k-i1-i+k1+k+i1-k1-i1+k1+i2U64-St7S5-t1+i-k1-k-i1-k-i+k-1+k-i-1+k-1+i+ki+kii-1+i+k-1+k-i-1+ki+k1+k+i1+k1-i+k-i+kF15ZSm3H71-i+k1+k+i1+k1+i1-k1-i-1+k-i-1+k-1+i+kik1-k-i1-i+k1-i1+k1-k1+i-k1+i1+k