魔方我的数学模型.docx
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魔方我的数学模型
数学模型M
一、基本概念
魔方的6个面分别记为：
前--Front（F）,后--Back（B）,左--Left（L）,右--Right（R）,上--Up（U）,下--Down（D）.分别记为：
F=1;B=-1;L=-j;R=j;U=k;D=-k
魔方有26块，分类为:
（1）中心块----六个面的中心就叫中心块只有一个面。
（2）边块----和中心块相邻的有两个面。
记为：
上面前后左右用s=1+0+k;-s=-1+0+k;-t=0-j+k，t=0+j+k表示。
下面前后左右用下面：
m=1+0-k；-m=-1+0-k；-n=0-j-k；n=0+j-k表示。
中间层按前左右为Z=1-j+0；H=1+j+0。
后左右为Q=-1-j+0；P=-1+j+0表示。
（3）角块----8个在角上有三个面。
按顺时针把角块记为：
前上右角7=1+k+j；.前上左角5=1-j+k；后上左角4=-1+k-j.；后上右角6=-1+j+k；前下右.角3=1+j-；前下左角1=1-k-j；后下左角0=-1-j-k；后下右角2=-1-k+j。
这样我们给各个块以名称和坐标。
不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的。
边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置。
另一种分法：
魔方分为3层----上层;中层;底层.
旋转魔方归纳起来一共有3种方法:
（1）顺时针旋转（90度），例如：
顺时F针直角旋转右面，记为R。
（2）逆时针旋转（90度）,例如：
逆时针直角旋转上面，记为U'（或-U）。
（3）半圈旋转（180度），例如：
旋转前面180度，记为F2。
把坐标写为两套，其中一套用斜体表示，在魔方的块动起来时走到哪里带到哪里不会发生变化，称为色向函数，即各块各面原来的颜色，不会因为位置不同而变化。
另一套用正常字体表示，称随位置变化而变化，称为位置函数。
定义一：
关于边块及角块的方向，因为每一个边块有两个面，相对于三个坐标轴的方向x先于y；y先于z；x先于z。
即x>y;x>z;y>z即按这个顺序为正，否则为反。
因为每一个角块有三个面，以x轴为法向量的面，在变化过程中，如果垂直于x轴的面发生变化，按原来垂直于x轴的面旋转；顺时针为正，逆时针为负。
魔方的基本转动看作是：
U；-D乘以-j,-U；D乘以j,对于k不起作用；
L，-R乘以-k,-L，R乘以k,对于i不起作用；
F乘以ik,-F乘以ki对于1不起作用。
规定：
如此一来魔方的转动可以和数学运算结合起来。
例如：
顺时针转动上90度即U，角7到了角5的位置上，角7的前面转到了右面，右面转到了前面。
不妨设角7前面为红色，上面为白色，右面为蓝色这个问题我们下面可以用运算进行描述。
按我们给出的记号与坐标得表一：
上，
7
1+k+j
前红，上白，右蓝
乘以-J
5
1+k+j
-j+k+1
左红，上白，前蓝
按描述性定义：
按原来垂直于x轴的面旋转角5的垂直于x轴的面即前面；按顺时针为正，角7正占据了角5的位置。
按数学性定义：
数字向前了为正，所以角7正占据了角5的位置。
123按三个位置第一个位置向前即是到了第三个位置。
-j乘以k不起作用，说明不发生变化，即其中一个坐标不变。
真实的描述了魔方的变化。
这样的定义正好反映了魔方的真实转动情况。
魔方每个基本转动总是只有两个坐标发生变化。
顶点的坐标在转动时，如果数字的位置向前移动，则为正占据，如果数字的位置向后移动，则为负占据，边用两个坐标，先x后y;先x后z;先y后z,在移动时这个顺序不变为正，变化为反。
二基本转动方向及位置的描述表二
R
3
_
7
+
绕x
-R
7
_
3
-
绕x
k
1+i-k
K+i+1
-k
I+k+i
-k+1+i
H
-
T
变
T
-
H
变
I+i
K+i
I+k
-k+1
7
_
6
-
不绕x
6
_
7
+
不绕x
I+k+i
k-1+i
-1+i+k
K+i+1
T
-
P
变
P
-
T
变
1+i
K+i
-1+i
K+i
6
_
2
+
绕x
2
_
6
-
绕x
-1+i+k
-k+i-1
-1-k+i
-k-1+i
P
-
N
变
N
-
P
变
-1+i
2
_
3
-
不绕x
3
_
2
+
不绕x
-1-k+i
-k+1+i
1+i-k
-k+i-1
N
-
H
变
H
-
N
变
i-k
i+1
1+i
-k+i
L
0
_
4
+
绕x
-L
4
_
0
-
绕x
-k
-1-i-k
k-i-1
k
-1+k-i
-k-1-i
Q
-
-T
变
-T
-
Q
变
-1-i
-k-i
--i-k
-i-1
4
_
5
-
不绕x
5
_
4
+
不绕x
-1+k-i
K+1-i
1-i+k
k-i-1
-T
-
Z
变
Z
-
-T
变
-i+k
-i+1
1-i
k-i
5
_
1
+
绕x
1
_
5
-
绕x
1-i+k
-k-i+1
1-k-i
K+1-i
Z
-
-n
变
-n
-
Z
变
1-i
-k-i
-i-k
-i+1
1
_
0
-
不绕x
0
_
1
+
不绕x
1-k-i
-k-i-i
-1-i-k
-k-k+1
-n
-
Q
变
Q
-
-n
变
-i-k
-i-i
-1-i
-k-i
U
7
_
5
+
绕x
-U
5
_
7
-
绕x
-i
1+k+i
-i+k+1
i
1-i+k
I+1+k
S
-
-T
-T
-
S
1+k
i+k
-i+k
1+k
5
_
4
-
不绕x
4
_
5
+
不绕x
1-i+k
-i-1+k
-1+k-i
-i+k+1
-T
-
-S
-S
-
-T
-i-k
-1-k
-1-k
-i-k
4
_
6
+
绕x
6
_
4
-
绕x
-1+k-i
I+k-1
-1+i+k
-i-1+k
-S
-
T
T
-
-S
-1-k
i+k
i+k
-1+k
6
_
7
-
不绕x
7
_
6
+
不绕x
-1+i+k
I+1+k
1+k+i
i+k-1
T
-
S
S
-
T
i+k
1+k
1+k
i+k
D
1
_
3
+
绕x
-D
3
_
1
-
绕x
i
1-k-i
i-k+1
-i
1+i-k
-i+1-k
M
-
N
N
-
M
1-k
i-k
i-k
1-k
3
_
2
-
不绕x
2
_
3
+
不绕x
1+i-k
i-1-k
-1-k+i
i-k+1
N
-
-m
-m
-
N
i-k
-1-k
-1-k
i-k
2
_
0
+
绕x
0
_
2
-
绕x
-1-k+i
-i-k-1
-1-i-k
i-1-k
-m
-
-n
-n
-
-m
-1-k
-i-k
-i-k
-1-k
0
_
1
-
不绕x
1
_
0
+
不绕x
-1-i-k
-i+1-k
1-k-i
-i-k-1
-n
-
M
m
-
-n
-i-k
1-k
1-k
-i-k
F
5
-
7
-F
7
-
5
ik
1-i+k
1+k+i
ki
1+k+i
1-i+k
S
-
H
H
-
S
1+k
1+i
1+i
1+k
7
-
3
3
-
7
1+k+i
1+i-k
1+i-k
1+k+1
H
-
M
M
-
H
1+i
1-k
1-k
1+i
3
-
1
1
-
3
1+i-k
1-k-i
1-k-i
1+i-k
M
-
Z
Z
-
M
1-k
1-i
1-i
1-k
1
-
5
5
-
1
1-k-i
1-k+k
1-i+k
1-k-i
Z
-
S
S
-
Z
1-i
1+k
1+k
1-i
魔方的所有转动都是以上基本转动的组合。
分析以上转动的特点，我们发现上述转动：
F,F’不会引起垂直于x平面的变化，所以F,F’的转动引起角的变化都是零占据。
顺时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。
凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。
逆时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。
凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。
边的变化规律是，只有LL’RR’的转动引起四个边块的占局发生变化。
正变负，负变正。
在转动过程中角快数字向前变化为正。
数字向后变化为负。
与上述是一致的。
我们注意到：
六个面的单色魔方称为初始状态，所谓玩魔方的主要问题是把魔方恢复成初始状态。
即使的各个块的色向函数与位置函数完全一致。
三基本组合的描述
例一：
研究FD的变化。
表三
5
7
3
1
S
H
m
Z
0
2
-n
-m
n
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
-1-i-k
-1-k+i
-I-k
-1-k
i-k
F
7
3
1
5
H
m
Z
S
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
jk
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1=i+k
1+i
1-k
1-i
1+k
D
2
3
n
1
0
m
-n
-m
1+k+i
1+i-k
1+i
-1-i-k
-1-k+i
-I-k
-1-k
i-k
j
i-1-k
i-k+1
i-k
-i+1-k
-i-k-1
1-k
-i-k
-1-k
-
+
-
+
从表中容易看出转动前后各个块及各个面的变化情况。
说明：
表的第一行是魔方的角块边块原来的位置，第一列是对魔方的变换或运算，第二行是魔方受到运算F作用后，引起角块边块变化的新位置。
每次变化都是四个角，四个边。
第三行是魔方受到运算D作用后，引起角块边块变化的新位置。
以下类推，以下的表都是如此。
把FD看成是乘积运算，FD共有十三块发生了变化，这十三块分为三个集合，F-D，F∩D，D-F。
例二：
研究FDF’的变化。
表四
5
7
3
1
S
H
m
Z
0
2
-n
-m
n
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
-1-i-k
-1-k+i
-I-k
-1-k
i-k
F
7
3
1
5
H
m
Z
S
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
ik
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1=i+k
1+i
1-k
1-i
1+k
D
2
3
n
1
0
m
-n
-m
1+k+i
1+i-k
1+i
-1-i-k
-1-k+i
-I-k
-1-k
i-k
i
i-1-k
i-k+1
i-k
-i+1-k
-i-k-1
1-k
-i-k
-1-k
-F
5
7
1
S
m
Z
3
H
1-i+k
1+i-k
1-k-i
1+k
1-k
1-i
-1-i-k
-I-k
ki
1-i+k
K+i+1
1-k-i
1+k
1-k
1-i
-k+1+i
1+i
原
-
+
原
原
正
原
原
-
+
正
正
正
角块：
7___2（-120）；2___0（+120）；0____3（-120）；3____7（120），周期为四。
边块：
H___n;n___-m;-m___-n;-n___H周期为四。
变化想把3移动到7，作R直接把3移动到7结果把t6移动到别处去了。
作F‘直接把3移动到7结果把s5移动到了其他地方了。
为了克服这个问题。
首先作F，然后再作F’，为了使已经作好的部分不再发生变化，往往要这样作往返回复的变动。
数学中叫作换位子。
关键起作用的是中间的动作。
所以法则中有许多这样的动作，因此法则也比较好记忆。
只需记忆二分之一。
F与F’之间的D与F的交集起关键作用。
每次转动都涉及四角四边。
相邻两次不同的转动的交集是两角一边。
相邻两次不同的转动的作用在它们的交集上，是两角一边。
所以观察转动特别注意其交集。
FDF’作用后其不发生变化的是F与D的差集,F与F’是一对逆变换。
作用于相同的集合。
FDF’的变化是在FD的基础上又运行了F‘。
虽然仍然是十三块发生了变化，其中m,1,Z,5,s,五块虽然变化了两次，由于F与F‘互逆，它们方向和位置最终没有发生变化。
D-F的五块中的三块变化了一次它们属于D-F，二块变化了两次它们属于F∩D。
其它二块变化了两次的，它们属于D∩F‘。
特别注意有一块变化了三次，它属于F∩D∩F‘。
它是变化的目的。
在第一层角块复位复向过程中运用的法则就是FDF’和R‘D‘R。
二者本质是一样的。
注意法则中的U‘R’U，R’UR，FU‘F’每一段落的实施以后总有三个边块，两个角块位置和方向保持不变。
除了中间的元素以外，两边对称的元素互逆，数学上称为换位子。
四法则汇编及复原步骤：
法则是实现特定目的的基本转动的固定组合。
法则一：
（第二层嵌入）URU‘R’U‘FUF。
法则一三：
（第二层嵌入）F2U2FU2F2.（技巧）。
法则二一:
（对调相邻两角）R’D’RFD（*）F。
R。
DRD2。
法则二二:
（对调相对两角）R’D’RFD2（*）F。
R。
DRD。
法则三：
（角定向）R’D’RD’R’D2RD2。
法则四：
（边定位定向法则一）（R’L）F（RL’）D2（R’L）F（RL’）。
法则五：
（边定位定向法则二）（R’L）F（RL’）D‘（R’L）F’（RL’）D’（R’L）F2（RL’）。
五法则变动过程的描述
法则一：
（第二层嵌入）URU‘R’U‘FUF。
表五
S
7
t
6
-S
4
-t
5
H
3
n
2
P
m
1
z
1+k
1+k+j
J+k
-1+j+k
-1+k
-1+k-j
-j+k
1-j+k
1+j
1+j-k
j-k
-1-k+j
-1+j
1-k
1-k-j
1-j
U
-t
5
S
7
t
6
-S
4
1+k
1+k+j
J+k
-1+j+k
-1+k
-1+k-j
-j+k
1-j+k
-j
-j+k
-j+k+1
1+k
J+1+k
j+k
J+k-1
-1+k
-j-1+k
R
6
P
2
t
7
H
3
n
-1+j+k
-1+k
-1+k-j
1+j
1+j-k
j-k
-1-k+j
-1+j
k
J+k-1
j-1
j-1-k
K+j
K+j+1
J+1
-k+1+j
-k+j
-U
S
7
t
4
-t
5
-S
6
1+k
1+k+j
J+k
-1+j+k
-j+k
1-j+k
1+j
1+k
j
1+k
1+k+j
J+k
-1+k-j
-j+k
1-j+k
k-1
k-1+j
-R
3
H
t
6
7
n
2
P
1+k+j
J+k
-1+k
-1+k-j
1+j-k
j-k
-1-k+j
-1+j
-k
-k+1+j
J+1
J+k
J+k-1
1+k+j
j-k
-1-k+j
-1+j
-U
t
5
-S
4
S
7
-t
6
1+k
-1+j+k
-1+k
-1+k-j
-j+k
1-j+k
1+j
1+j-k
j
j+k
-j+k+1
-1+k
-1+k-j
1+k
J+1+k
k-j
j+k-1
-F
7
S
1
Z
5
H
3
m
1+k+j
J+k
-1+j+k
-j+k
1-j+k
1-k
1-k-j
1-j
Kj
J+1+k
K+1
-k-j+1
1+j
K+1-j
1+j
1+j-k
1-k
U
S
5
-t
t
6
4
-S
7
1+k
1+k+j
J+k
-1+k
-1+k-j
1-j+k
1+j
1+j-k
-j
1+k
1-j+k
k-j
J+k
J+k-1
k-j-1
k-1
1+k+j
F
H
7
5
S
3
m
1
Z
1+k
1+k+j
-1+j+k
-j+k
1+j-k
1-k
1-k-j
1-j
jk
1+j
1+k+j
-j+k+1
1+k
1+j-k
1-k
1-k-j
1-j
正
原
正
正
正
正
正
正
反
原
正
原
正
原
原
原
边，S____H，H___-S,-S____T,t____-T,-T____S,周期为5,
角，5____4+,4____6+,6____5+,周期为3，7___7不变。
所以整个周期为15,经过十五次,等于恆等映射。
第四步打下了基础。
法则一的目的是把s移动到H，并且方向不变，URU‘后s在原来的位置，3移动到6。
URU‘R’后s在原来的位置，3移动到6后又移动到7,从而为s移动到H打下了基础。
所以第四步是关键。
法则一三：
F2U2FU2F2。
表六
5
7
3
1
S
H
m
Z
-t
4
-S
6
t
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
-i+k
-1+k-i
-1+k
-1+i+k
i+k
2F
3
1
5
7
m
Z
s
H
1-i+k
1+k+i
1+i-k
1-k-i
1+k
1+i
1-k
1-i
kk
1+i-k
1-k-i
1-i+k
1+k+i
1-k
1-i
1+k
1+i
2U
6
4
-S
t
7
S
5
-t
1+i-k
1-k-i
1-k
-i+k
-1+k-i
-1+k
-1+i+k
i+k
ii
-1+i+k
-1+k-i
-1+k
i+k
1+k+i
1+k
1-i+k
-i+k
F
1
5
Z
S
m
3
H
7
1-i+k
1+k+i
1+k
1+i
1-k
1-i
-1+k-i
-1+k
-1+i+k
ik
1-k-i
1-i+k
1-i
1+k
1-k
1+i-k
1+i
1+k
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