高中数学竞赛专题之数列.doc

1、高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若是等差（等比）数列，那么仍是等差（等比）数列。性质2：若为等差数列，且，那么（脚标和相同则对应的项的和相同）；若为等比数列，且，那么（脚标和相同则对应的项的积相同）。性质3：若为等差数列，记，那么仍为等差数列，为等比数列，记，那么仍为等比数列。性质4：若为等比数列，公比为q，且|q|1，则。例1、若、为等差数列，其前n项和分别为，若，则（ ）A.1 B. C. D. 例2、等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（

2、）A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、为等差数列，其前n项和分别为，若（1）求的值， （2）求使为整数的所有正整数n。例4、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立。例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。例6、设，是的元素个数，是所有元素的和，则 。例7、设A=1,2,n,是A的所有非空真子集元素的和，表示A的子集个数，求的值。 例8、设数列的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和。方法：首先找出的通项式，在找出的通项式例9、设为等差数列，为等比数列，且，又，试求的通项公式。例10、设是等差数列的

3、前n项和，且，数列的通项式为，（1）求数列的通项公式，（2）若，则称d为数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：的通项公式为。 例11、个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知，求+的值。作业：1、将正奇数集合1，3，5，由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组：1、3，5，7、9，11，13，15，17.，则1991位于 组中。2、在等差数列中，公差，的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项公式。3、设正数数列满足，（1）求数列的通项公式，（2）设，试求M的最小值。二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以

4、下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。第一数学归纳法：设是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）是成立的，（2）假设成立能推出成立，则命题对一切自然数n都成立。第二数学归纳法：设是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）是成立的，（2）假设，成立能推出成立，则命题对一切自然数n都成立。解题思维过程：尝试观察归纳、猜想证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。例1、已知对任意自

5、然数n，有，求证 （1989年高中）例2、用表示的各数的最大奇数因子之和，求证：例3、设是正数数列且满足，求数列的通项公式。方法：尝试观察归纳、猜想证明例4、已知数列满足：，当时，有，试求数列的通项公式。方法：尝试观察归纳、猜想证明例5、一个数列定义如下：，证明：对于自然数n，有。这里表示不超过的最大整数。（IMO18-6）方法：变化形式例6、设数列满足：，这里，求证：对所有的自然数n，有。（1977年加拿大数学奥林匹克）例7、已知是n个正数且满足，求证：例8、已知 a, b是正实数，且满足，试证：对每一个自然数n，有 三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差（

6、等比）数列的通式和求和类型： （1），化归成型；（2），化归成型；（3），化归成型；（4），化归成型；（5），化归成型； （6）型例1、已知数列满足：， ，试求数列的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式例2、设数列满足：，求的通项公式。例3、设数列满足：，求。例4、设数列满足：，求。2、变换（代换）：三角代换、代数代换例1、已知，求。方法：观察特点，联想到正切公式例2、数列满足：，求方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式例3、设满足关系式，则 方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n和正数M，对于满足条件：的所有等差数列，试求的最大值。方法：根据特点，三角代

7、换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列满足：.（1）其中为常数，若有等比数列满足等式（1），则x必满足相应的方程：.（2），称此方程（2）为（1）的特征方程。数列的通项公式与特征方程的根有如下关系：当时，方程（2）有两个不相同的实数根，则数列、均是（1）的解，并且对任意常数有也是（1）的解（通解），由初值确定。当时，方程（2）有两个相同的实数根，则数列、均是（1）的解，并且对任意常数有也是（1）的解（通解），由初值确定。当时，方程（2）有两个共轭复根，则数列、均是（1）的解，并且对任意常数有也是（1）的解（通解），由初值确定。例1、 求斐波那锲数列的通项公式：。方法：利用特征

8、方程求解注：设数列是k阶线性递推数列，其特征方程为，设其前n项的和，则是k+1阶线性递推数列，其特征方程为例2、已知数列满足：，求此数列的前n项和。例3、设数列、满足：且（，求证：是完全平方数（n=0,1,2,）方法：将其转化为只与有关的递推式4、利用函数不动点原理求解数列通项公式定理1：设，数列由初始值确定，那么当且仅当是的不动点时，数列是公比为a的等比数列。定理2：设数列由递推关系确定，设函数有两个不动点，则：（1）当时，则数列是等比数列，公比为；（2）当时，则数列是等差数列，公差为。例1、设数列满足：，求证：。例2、设数列满足：，前n项和为，则满足不等式的最小整数n= 。例3、设正数列满

9、足，且，求数列的通项公式。方法：变形、转化形成熟悉结构例4、运动会连续开了n天，一共发了m枚奖牌，第一天发1枚加上剩下的，第二天发2枚加上剩下的，以后每天均按此规律发放奖牌，在最后一天，即第n天发n枚而无剩余，问运动会开了几天？共发多少枚奖牌？5、利用高阶差分数列求数列通式定义1：（差分数列）对于数列，称为的一阶差分，为数列的的一阶差分数列；数列的一阶差分：，称为数列的的二阶差分数列；一般地，称为的k阶差分，称为数列的的k阶差分数列。例1、求数列0，1，4，11，26，57，的通项公式。例2、求数列-2，1，7，16，28，的通项公式。定义2（高阶等差数列）若数列的的k阶差分数列是一个非零常数

10、列，而k+1阶差分数列是一个零常数列，则称的的k阶等差数列。定理1：设是m阶等差数列，则，约定。定理2：数列是m阶等差数列的充要条件是是一个关于n的m次多项式。定理3、数列是m阶等差数列，它的前n项之和为，则是m+1阶等差数列，且例3、求的求和公式，并给出证明。 定理4 ：给定，其中为关于n的函数，则此一阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为： 例4、已知数列满足：，求数列的通项公式。例5、已知数列满足：，求数列的通项公式。四、数列的性质（反证法、周期性、有界性、整数性）1、数列中的反证法问题例1、设等差数列包含1和，证明：数列中任意三项均不构成等比数列。例2、设是定义在自然数集且取自然

11、数值的严格递增函数，当m, n互质时，有，求证：对任意自然数n，都有。例3、数列为正数数列，满足条件，求证：对一切自然数k，为无理数。2、数列的周期性例1、已知整数数列满足，如果前1492项之和为1985，而前1985项之和为1492，则该数列前2006项之和是多少？方法：考察数列的周期性例2、设数列满足，为的个位数，求的值。 方法：考察数列的周期性例3、已知数列满足：，求证：对一切自然数n，有。方法：考察数列的周期性例4、函数定义在整数集上，且满足，求方法：考察函数的周期性3、数列的整除性、整数性例1、设数列满足且，试证：数列的各项均为整数。例2、证明；对任意的自然数n，数能被整除，这里x表示实数x 的整数部分。例3、设数列满足且，试证：对任何n，。例4、设数列满足且，试证：（1）数列的各项均为正整数； （2）对一切自然数n，为完全平方数。