高中数学竞赛专题之数列.doc

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高中数学竞赛专题之数列

一、数列的性质

等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：

性质1：

若是等差（等比）数列，那么仍是等差（等比）数列。

性质2：

若为等差数列，且，那么（脚标和相同则对应的项的和相同）；若为等比数列，且，那么（脚标和相同则对应的项的积相同）。

性质3：

若为等差数列，记，那么仍为等差数列，为等比数列，记，那么仍为等比数列。

性质4：

若为等比数列，公比为q，且|q|〈1，则。

例1、若、为等差数列，其前n项和分别为，若，

则（）A.1B.C.D.

例2、等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（）

A.130B.170C.210D.260

例3、、为等差数列，其前n项和分别为，若

（1）求的值，

（2）求使为整数的所有正整数n。

例4、在等差数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列中，若，则有等式成立。

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。

例6、设}，是的元素个数，是所有元素的和，则。

例7、设A={1,2,…n},是A的所有非空真子集元素的和，表示A的子集个数，求的值。

例8、设数列的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和。

方法：

首先找出的通项式，在找出的通项式

例9、设为等差数列，为等比数列，且，又，试求的通项公式。

例10、设是等差数列的前n项和，且，数列的通项式为，

（1）求数列的通项公式，

（2）若，则称d为数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：

的通项公式为。

例11、个正数排成n行n列：

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知，求+++的值。

作业：

1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有（2n-1）个奇数进行分组：

{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于组中。

2、在等差数列中，公差，的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项公式。

3、设正数数列满足，

（1）求数列的通项公式，

（2）设，试求M的最小值。

二、数学归纳法

数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：

（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；

（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。

第一数学归纳法：

设是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：

（1）是成立的，

（2）假设成立能推出成立，则命题对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：

设是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：

（1）是成立的，

（2）假设，，…成立能推出成立，则命题对一切自然数n都成立。

解题思维过程：

尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。

解题策略：

从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。

例1、已知对任意自然数n，有，求证（1989年高中）

例2、用表示的各数的最大奇数因子之和，求证：

例3、设是正数数列且满足，求数列的通项公式。

方法：

尝试——观察——归纳、猜想——证明

例4、已知数列满足：

，当时，

有，试求数列的通项公式。

方法：

尝试——观察——归纳、猜想——证明

例5、一个数列定义如下：

，证明：

对于自然数n，有。

这里表示不超过的最大整数。

（IMO18-6）

方法：

变化形式

例6、设数列满足：

，这里，求证：

对所有的自然数n，有。

（1977年加拿大数学奥林匹克）

例7、已知是n个正数且满足，

求证：

例8、已知a,b是正实数，且满足，试证：

对每一个自然数n，有

三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式

1、转化：

最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和

类型：

（1），化归成型；

（2），化归成型；

（3），化归成型；

（4），化归成型；

（5），化归成型；

（6）型

例1、、已知数列满足：

，，试求数列的通项公式。

方法：

开方转化成等差数列的形式

例2、设数列满足：

，求的通项公式。

例3、设数列满足：

，求。

例4、设数列满足：

，求。

2、变换（代换）：

三角代换、代数代换

例1、已知，求。

方法：

观察特点，联想到正切公式

例2、数列满足：

，求

方法：

含根式，通过代换转化为不含根式的递推式

例3、设满足关系式，则

方法：

倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式

例4、给定正整数n和正数M，对于满足条件：

的所有等差数列，试求的最大值。

方法：

根据特点，三角代换

3、特征方程及特征根求解递推式

对于二阶线性递推数列数列满足：

..

（1）其中为常数，若有等比数列满足等式

（1），则x必满足相应的方程：

…….

（2），称此方程

（2）为

（1）的特征方程。

数列的通项公式与特征方程的根有如下关系：

当时，方程

（2）有两个不相同的实数根，则数列、均是

（1）的解，并且对任意常数有也是

（1）的解（通解），由初值确定。

当时，方程

（2）有两个相同的实数根，则数列、均是

（1）的解，并且对任意常数有也是

（1）的解（通解），由初值确定。

当时，方程

（2）有两个共轭复根，则数列、均是

（1）的解，并且对任意常数有也是

（1）的解（通解），由初值确定。

例1、求斐波那锲数列的通项公式：

。

方法：

利用特征方程求解

注：

设数列是k阶线性递推数列，其特征方程为，设其前n项的和，则是k+1阶线性递推数列，其特征方程为

例2、已知数列满足：

，求此数列的前n项和。

例3、设数列、满足：

且（，

求证：

是完全平方数（n=0,1,2,…）方法：

将其转化为只与有关的递推式

4、利用函数不动点原理求解数列通项公式

定理1：

设，数列由初始值确定，那么当且仅当是的不动点时，数列是公比为a的等比数列。

定理2：

设数列由递推关系确定，

设函数有两个不动点，则：

（1）当时，则数列是等比数列，公比为；

（2）当时，则数列是等差数列，公差为。

例1、设数列满足：

，求证：

。

例2、设数列满足：

，前n项和为，则满足不等式的最小整数n=。

例3、设正数列满足，且，求数列的通项公式。

方法：

变形、转化形成熟悉结构

例4、运动会连续开了n天，一共发了m枚奖牌，第一天发1枚加上剩下的，第二天发2枚加上剩下的，以后每天均按此规律发放奖牌，在最后一天，即第n天发n枚而无剩余，问运动会开了几天？

共发多少枚奖牌？

5、利用高阶差分数列求数列通式

定义1：

（差分数列）对于数列，称为的一阶差分，为数列的的一阶差分数列；数列的一阶差分：

，称为数列的的二阶差分数列；

一般地，称为的k阶差分，称为数列的的k阶差分数列。

例1、求数列0，1，4，11，26，57，…的通项公式。

例2、求数列-2，1，7，16，28，…的通项公式。

定义2（高阶等差数列）若数列的的k阶差分数列是一个非零常数列，而k+1阶差分数列是一个零常数列，则称的的k阶等差数列。

定理1：

设是m阶等差数列，则，约定。

定理2：

数列是m阶等差数列的充要条件是是一个关于n的m次多项式。

定理3、数列是m阶等差数列，它的前n项之和为，则是m+1阶等差数列，且

例3、求的求和公式，并给出证明。

定理4：

给定，其中为关于n的函数，则此一阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为：

例4、已知数列满足：

，求数列的通项公式。

例5、已知数列满足：

，求数列的通项公式。

四、数列的性质（反证法、周期性、有界性、整数性）

1、数列中的反证法问题

例1、设等差数列包含1和，证明：

数列中任意三项均不构成等比数列。

例2、设是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数，，当m,n互质时，有，求证：

对任意自然数n，都有。

例3、数列为正数数列，满足条件，求证：

对一切自然数k，为无理数。

2、数列的周期性

例1、已知整数数列满足，如果前1492项之和为1985，而前1985项之和为1492，则该数列前2006项之和是多少？

方法：

考察数列的周期性

例2、设数列满足，为的个位数，

求的值。

方法：

考察数列的周期性

例3、已知数列满足：

，求证：

对一切自然数n，有。

方法：

考察数列的周期性

例4、函数定义在整数集上，且满足，求

方法：

考察函数的周期性

3、数列的整除性、整数性

例1、设数列满足且，试证：

数列的各项均为整数。

例2、证明；对任意的自然数n，数能被整除，这里[x]表示实数x的整数部分。

例3、设数列满足且，试证：

对任何n，。

例4、设数列满足且，

试证：

（1）数列的各项均为正整数；

（2）对一切自然数n，为完全平方数。