1、浙江师范大学微分几何(期末考试)答案(05.1)一、 是非题(每小题2分,共10分)1. 2. 3. 4. 5. 二、 填空题(每小题3分,共33分) 三、 计算题(每小题12分,共24分)1. 求曲面的渐近曲线.解 设则, (6分)因渐近曲线的微分方程为即或渐近曲线为或 (12分)2. 已知曲面的第一基本形式为,求坐标曲线的测地曲率.解 , (4分)u-线的测地曲率 (8分)v-线的测地曲率 (12分)四、 综合题(每小题11分,共33分)1. 设空间两条曲线和的曲率处处不为零,若曲线和可以建立一一对应,且在对应点的主法线互相平行,求证曲线和在对应点的切线夹固定角.证设,则由知,从而,即这表
2、明曲线和在对应点的切线夹固定角. (11分)2. 给出曲面上一条曲率线,设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.证设,其中是的自然参数,记,则,两边求导,得, (4分)由为曲率线知,即, 因此 . 若,则为平面曲线; (6分)若,则因为曲面上的一条曲率线, 故. 而,所以,即为常向量. 于是为平面曲线. (11分)3. 问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗?为什么?答:曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线. (3分)事实上,设,则的切向量为(5分) 记,则曲线的切向量沿平行移动为测地线 (11分)