浙江师范大学《微分几何》期末考试答案.doc

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浙江师范大学《微分几何》（期末考试）答案

（05.1）

一、是非题（每小题2分，共10分）

1.Ö 2.Ö 3.´ 4.´ 5.Ö

二、填空题（每小题3分，共33分）

① ② ③

④ ⑤ ⑥ ⑦

⑧ ⑨ ⑩

三、计算题（每小题12分，共24分）

1.求曲面的渐近曲线.

解设

则 ，，

，，

，，（6分）

因渐近曲线的微分方程为

即或

渐近曲线为或 （12分）

2.已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地

曲率.

解，，，（4分）

u-线的测地曲率 （8分）

v-线的测地曲率 （12分）

四、综合题（每小题11分，共33分）

1.设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一

对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.

证 设 ，，则由知，

从而，，

，即

这表明曲线和在对应点的切线夹固定角.（11分）

2.给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的

法向量成定角.求证是一条平面曲线.

证 设 ，，其中是的自然参数，记

，则，两边求导，得，（4分）

由为曲率线知，即，因此.

若，则为平面曲线；（6分）

若，则因为曲面上的一条曲率线，故.而

，所以，即为常向量.于是为平面曲线.（11分）

3.问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的

曲线是测地线吗？

为什么？

答：

曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的

曲线是测地线.（3分）

事实上，设，则的切向量为（5分）

记　，，，

则曲线的切向量沿平行移动

为测地线（11分）