微分中值定理及其应用.docx

1、微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法这样一来，类似于求 已知曲线上点的切线问题已获完美解决但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题 那么,只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数 在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛 盾？需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥 ，这个“桥”就是微分中值定理本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性

2、质）方面的 应用. 6.1微分中值定理教学早节：第六章 微分中值定理及其应用一一 6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础.教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之 间的包含关系.教学重点：中值定理.教学难点：定理的证明.教学方法：系统讲解法.教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢?联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧AB的函数是y=f（x）,x a,b

3、的图像，点P的横坐标为 .如点P处有切线,则f（x）在点x二处可导,且切线的斜率为f I）; 另一方面,弦AB所在的直线斜率为f(b) 理，曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦b aAB二 f()(b)-f(a).b -a撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及 函数在端点的函数值这样这个公式就把函数及其导数联系起来 在二者之间架起了一座桥梁， 这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础 .鉴于-(a,b),故把类似公式称为“中值 公式”；把类似的定理称为中值定理.剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实 ，可以发现：如果y=f(x)在a,b

4、上不 连续或不可导(无切线)，是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P存在,曲线弧AB至 少是连续的，而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在a,b上连续，在(a,b)内 可导.二、中值定理Lagrange中值定理 若函数f满足以下条件：(1)f在a,b上连续；(2)f在(a,b)内可 导.则在(a,b)内至少存在一点,使得f ()(b)-f(a).b-a特别地,当f(a)=f(b) 时，有如下Rolle定理：Rolle 定理 若 f 满足如下条件：(1)f a,b; (2)f 在(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b),则存在：(a,b),使得f ( )=0.如把

5、曲线弧AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理：Cauchy定理 若函数 f,g (x = g(u),y = f(u),u a,b)满足如下条件：(1) fg a,b;(2) f,g在(a,b)内可导；(3) f ,g至少有一个不为0; (4) g(a) - g(b).在存在：(a,b),使 得 f 0) _f(b)-f(a).g ( ) g(b)-g(a)说明(1)几何意义：Rolle :在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至 少存在一水平切线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线);Lagrang :可微曲线上存在一点， 使其切线平行于端点的连线;Cauchy:视为曲线的参数

6、；u=f(x),v=g(x),x a,b,则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行.(2)三个定理关系如下：Rolle - Lagrang更Cauchy洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案(3)三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1 )不可 导,不一定存在;2 )不连续,不一定存在;3) f(a)尸f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一一般情况如下：Rolle定理不再成立但仍可知有f)= 0的情形发生如y=sgnx,x -1,1不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个：(-1,1),使得f)= 0 (4)Lag

7、rang定理中涉及的公式：f ()= f (b) - f (a)称之为“中值公式”.这个定理也称 b a为微分基本定理.中值公式有不同形式： (i) f(b)-f(a)= f ( ) (b-a) , (a,b); (ii)f(b)-f(a)= f (a (ba)R(ba),0 r1; (iii) f(a+h)-f(a)= f (a ,h)h ,0 二 1.此处,中值公式对ab均成立.此时.在a,b之间；(ii)、(iii)的好处在于无论a,b如何变化，才(0,1) 易于控制.三、极值定义3 (极值) 若函数f在区间I上有定义，x0I.若存在x0的邻域U(x0),使得对于任 意的X U(X。),

8、有f (疝_ f(X),则称f在点x0取得极大值，称点X。为极大值点.若存在xd的邻域 U(xd),使得对于任意的X U(X。),有f(X。) f (x),则称f在点x。取得极小值，称点x。为极小值 占八、极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为 极值点.注1、极值是局部性概念，若f(Xo)是极值,是和X。点附近的函数值比较而言的，和离X。较远 的地方无关；最值显然是对整个区间而言的，是整体概念.2、闭区间a,b上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值(常 函数除外)，但可能无极值.即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值.因此若f(a) 是函数的最

9、值，则f(a)不可能是极值；若f (x。)( x。 (a,b)是函数的最值，则一定是极值.(即 最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为最 值.)极值存在的必要条件 费马(Fermat)定理费马定理 若函数在点X0的邻域内有定义，且在点X0可导.若X0为f的极值点，则比有f(xJ=0.(即可导极值点的导数为零.)其几何意义：可导极值点出的切线平行于 x轴)，称满足方程f (x。)=0的点为稳定点.证明 无妨设f(x。)为极大值,则当AX 0时，且X0X U(x。)时,有f(X。 . ：x) - f(X。) 0 x 令 ix T 0 +,得 f(X。)兰

10、 0.f(X。 ：x) - f(X。) 0当& 0时，有 Ax .令也XT 0-,得(x%0,由此推得f(X0)= 0.Fermat定理表明导数为0是极值必要条件，但是如果f(x) Ca，b,那么它能达到最大值,如果它又可导,在佝b)内f(x)二。只有一个根,则比较f(a), f(X0), f(b)就可定出最大值.由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然.如f (x) = x3，点x=0是稳定点，但不是极值点达布(Darboux)定理(导函数的介值定理)若函数f在a,b上可导，且f(a)= f_(b) ,k为介于f (a)和f_(b)之间的任一实数,则至少存在一点(a, b),使得f)=

11、k .四、中值定理的证明(1)Rolle 定理证明 因为f(xCa,b, f(x)在a,b上有最大值M与最小值m,如果M = m，则f(x)二M ,这时f (x)=,可取(a,b)中任意一点作为 ,如果Mm,其中至少有一个不等于f(a)二f(b).不妨设M (a),我们假定f(x)在 (a,b)取到最大值，f)=M,即为一个极值点，且f(=)存在，由Fermat定理，(匕)-(二)Lagrange 中值定理证明作辅助函数f(x) X 1G(x) =f(a) a 1f(b) b 1它有明显几何意义，即它表示连接三点：(f(x),x), (f(a),a), (f(b),b)/的三角形面积之二倍 那

12、么 G(xCa,b,在(a,b)可导,且 G(a)二G(b)=0,用 Rolle 定理, (a,b),使得 G)= ,即=0f(E) 1 0m=f(b) f(a)b af(a) a 1f (b) b 1辅助函数造法很多，比如可以用以下方法F(x)=f(x) - f(a) 些(x-a)1ab 一，G(x) =f(x) -f(a)(b-a) -(x-a)f(b)- f(a)坐(x) = f(x)(ba) xf (b) f (a)然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理.f(a)f(b)注释 量 a 表示连接两点A(a，f(a)和B(b，f(b)的弦的斜率,不管a：b还是a b 都对丄a

13、grange定理表明存在(a,b)中一点，使f()恰等于这个斜率 丄agrange定理也称 Lagrange公式，它也可以写成f(x) = f(a) f( Xx-a),其中 介于x与a之间,它可以看成用 线性函数f(a) f)(x-a)在a局部对f(x)的逼近.它还可写成f(b)二 f(a) f a ，(b -a)(b - a)Jf(a+h) = f(a) + f(a+Bh)h其中 0c1,h=ba这里 =a v h - a只要指出-h满足0 ：1.当h 0时，avEa+h,0vE-avh, v-1,得 0乙 1.当 h0 时，a+hvEva,a -0a_-h , _h * ,得 0#c1.(

14、三)Cauchy定理f(b) f(a) _ f 牡)证明 对f和g分别应用Lagrange定理,我们可得g(b)- g(a) g)，这里1与2可能 不一样,这是一条错误之路，本定理关键要求是一致的 作函数f(x) g(x) 1G(x)=f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1J；x = f(x)它的几何意义是在参数曲线 y = g(x)上，三点(f(x),g(x), (f(a),g(a),(f (b),g(b)连成的三角形面积之二倍 .则G(X)满足Rolle定理条件,故 (a,b),使得G 代)=0,即 g牡)f(b) f(a) = f ()g(b) g(a),得证.注1与Lagrang

15、e定理证明类似，我们也可借助其它形式的辅助函数，比如用F(x) = f (x)g(b) g(a) g(x) f (b) - f (a).注2 g(x)二x时,Cauchy定理推出Lagrange定理.注3不管a b还是a : b,Cauchy定理都可写成f(b) - f (a) f (a r(b -a) f (a F)g(b)g(a) g(a+T(ba) g(a+8h)J其中 h =b a, 0 日 1.五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步(1)Rolle 定理的推论若f在x, , x2 上连续，在(石，x,)内可导，f (xj = f (x2) = 0 ,则存在：;:二(x1, x2)

16、,使得f ( 0 (简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点) .(2)Lagrang定理的推论推论1若函数f在区间I上可导，且f (x)=0, I ,则f为I上的一个常量函数.证明 Lagrange 定理给出，-x a,b, f (x) - f (a) = f)(x - a) = 0 (a ： 0)上连续；在(a,b)内可导，则存在：(a,b),使得f(b)-f(a)= f ( )ln b.a例 4 设 x(,X2 0,证明：_ 】w(X1,X2)满足 x1exx2e = (V )e (x -x2).应用二：用中值定理证明公式例1证明：对一切h-1,h工0有公式 :：:ln(1h)：h1+h

17、例 2 证明：当 ab0 时，口 : ln a : 口 .a b b例 3 证明：|sin xsin y |-| xy |, -x, y R .例4设f在0,a 一阶连续可微，在(0,a)二阶可微,且存在正数M使| f (x)匸M ,又设f在 (0,a)存在稳定点c,证明：| f (0) | | f (a)匸Ma .例5 设函数f和g可导且f(x)0,又 f, g = 0.贝U g(x) = cf(x).f g证明(g )=0.例6 设对- x,hR ,有| f (x h)_ f(x)匕Mh2,其中M是正常数,则函数f (x)是常值函数.(证明f 0).例7 证明：若f(x)和g(x)在a,

18、b上连续，在(a, b)内可导，且gYx)=0,则3(a, b),使得f ( ) f( )- f(a)厂 g(b)-g( . 分析 先把上面(1)式改写为：f ( )g( ) f( )g ( f ( )g(b)-f(a)g ( )=0. (2)若令h(x)二f(x) g(x) _f(x)g(b) f (a) g(x),则 式即为h()=0.这样，问题就化为检 验h(x)在a, b上是否满足Rolle 定理的条件.证明 由题设条件，上述h(x)在a, b上连续,在(a,b)内可导,且有h(a) = -f (a) g(b) =h(b).故 (a, b),使得h()=0,即式成立.又因g (x) ,

19、故由导函数的性质(具有介值性),g(X)在(a,b)内不变号，由此推知g(x) 在(a,b)内严格单调；再由g(x)在a,b上连续，所以g(x)又在a,b上严格单调.这就保 证了 g(b) -g()丸.这样，便可由(2)式逆推至(1)式成立.作业 教材 P124125 4 9 ;P132 133 1 4. 6.2 柯西中值定理和不定式极限教学章节：第六章 微分中值定理及其应用一6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握L Hospital法则,或正确运用后求某些不定式的极 限.教学要求：熟练掌握L Hospital法则,并能正确

20、运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件； 熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式 .教学重点：利用函数的单调性丄Hospital法则教学难点：L Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；教学方法：问题教学法,结合练习.教学过程：一、柯西中值定理若函数f，g满足如下条件：(1)f,g a,b ；( 2)f，g在(a,b )内可导；(3)f ,g 至少有 一个不为0；(4)g(a)=g(b)。则存在(ab)，使得列=誥晋 二、不定式极限(一)什么是不定式极限在第3章函数的极限的学习中我们知

21、道：0(1)+0(1)=0(1),但妙不一定是无穷小量,甚至0(1)极限不存在，例如：(1)当 X 0, si nx=0(1), x=0(1), lim 沁=1 = 0,即沁= 0(1)；T X X数学科学学院的不等式极限0 qQ除了 0型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（i）型；（ii）型；（込） 0 O00 :型；（iv） 00型；（V）1 :型；（Vi） 0=二型等,其中最基本的是0型和二型,其它类型都0 0可化成这两种基本类型来解决0当lim 他是0型时,困难在于极限商的运算失效！例：limUO.在此之前,我们是借x 为 g （x） 0 x 0 x洛阳师范学院数学科学学院

22、数学分析教案f(x) g(x)f (x) - f (a) f a v(x -a)-g(x) -g(a) 一 ga +T(x a) , 0乙 d,lim f【a (xa)二klim f(x)二 k由 3) , x)a F【a，(x -a),所以 x 2g(x)lim fx) = k lim 二 k同理x ia 0g(x),综合起来有x戶g(x)注 把x a改为x a 0或xa_0结论也成立.定理2设1）f（x）,g（x）在（aJ 连续,且!叫 f（x） Jim：g（x）=02） f （x）, g（x）在（a,+=c）可导，且 g（x）式 0,lim血十3） x g（x） （ k为有限或一：:，：

23、）,lim少x g(x)证明 先算极限,然后再验证条件.limx_):他=limg(x) t 0f(1) g(J)f(i) lim t 0 g申f（1）（-） g （：）（-）其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件 不妨设a 0, f（T）, g（l）在（，弓上连续,且11Pmmxpm*0,且 f（l）,g（l）在（。，1）可导,且g（1）r=g（1）（-1）工0 有lim冲十t :0 g(1)注把X =换成X 、-二和八:也有相应的结论若函数f和g满足：（1） lim f （x） lim g（x） =0 ；（ 2）在点x0的某空心邻域内两者都可导3x0 xlim 戲 xt sin xxl

24、im shx-x =讪 chx=讪x 0 sin x-x x Wcosx-1 x 少一sinxx 卩一cosxlim xx 0 1 _e2lim ； = limx 旷_e2 x t 0 _e2t(X = t2).!imxLarctgxr?1一1 X2-arctg xlim =1X )二 1_x2m3、一型不定式极限的L Hospital法则0定理3 设1) f(x),g(x)在Uo(朮)上连续,且哩f(x)匕型灾),2) f(x), g(x)在 Uo(ap)可导,且 g(x)H0,3)g() (有限或一：),lim他则X旧g(x)证明只对kw和xt a -0情况证明.眈0由3),萊1 A,当时

25、，有f ()g()f (x) - f (xj g(x) -g(xjg;-k这里为=af雀)f(x)_f(xi)_kg(x) g(xi) =岛;-k g(x) g(xjf牡)f(x)kg(x)f(xi)kg(xi) = -k g(x) -g(xjf(x) k = f ( ) k 1_ g(xi) f(xi)-kg(xi)g(x) g( ) _ g(x) g(x)又由于g（x）=：,有処畔晋=0,丿叽绘=0,所以.2,使得当a a时，有f (Xi) -kg(xjg(x)|g(xj|g(x)令& = min (E ,6),当 a_6 vxca 时,有f ()g()k g(xj + f(xjkg(xj

26、g(x)g(x)2 3 2lim 他=k即 Px） .定理4 设1 ） f（x）, g（x）在（比菖）上连续,且吗g（x）二2） f（x）, g（x）在（a：）上可导,且g （x）=o,lim匸凶斗3f (x) g(x)） x 厂-g （x） （有限或-:，:）,lim f(X) limx-g(x) x ：证明 可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明，这里省略.l4X）： ： X 二lim lnx lim . lim = 0X j 二 X xt ； 7，x - x二议-ex无穷大量是“梁山泊排座次”例6证明函数在上无穷次可微.证明当x = 0时，f（X）当X =0时,数，x = 0时Rim%=0 (x)t 匸 et2 (X t)洛阳师范学院数学科学学院 数学分析教案从 f(n)(x)表达式,易知 f(n)(x) 所以 f(x).类似定义函数x 0x _0可证：这是一个很有用的函数,稍加改造我们可以构造如下函数:(x)(4-x2) (4 - x2) (x2-1)则叫x) EC = -,+=c),且 H(x) =10 H(x) cl, 1 vx 2 ； n (x) =0xx -2.这个函数非常有用使用