微分中值定理及其应用.docx

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微分中值定理及其应用

第六章

微分中值定理及其应用

引言

在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法•这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决•但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题那么,只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具•

另一方面，我们注意到：

（1）函数与其导数是两个不同的的函数；

（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？

需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理•

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.

§6.1微分中值定理

教学早节：

第六章微分中值定理及其应用一一§6.1微分中值定理

教学目标：

掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础.

教学要求：

深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系.

教学重点：

中值定理.

教学难点：

定理的证明.

教学方法：

系统讲解法.

教学过程：

一、一个几何命题的数学描述

为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：

弧AB上有一点P,该处的切线平行与弦AB.

如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢?

联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧AB的函数是y=f（x）,x[a,b]

的图像，点P的横坐标为^.如点P处有切线,则f（x）在点x二•处可导,且切线的斜率为fI）;另一方面,弦AB所在的直线斜率为f（b）理，曲线y=f（x）上点P的切线平行于弦

b—a

AB二f（）」（b）-f（a）.

b-a

撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：

左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值•这样这个公式就把函数及其导数联系起来•在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于-（a,b）,故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理.

剩下的问题是：

中值定理何时成立呢？

观察如下事实，可以发现：

如果y=f（x）在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P存在,曲线弧AB至少是连续的，而且处处有切线.反映到函数y=f（x）上,即要求y=f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导.

二、中值定理

Lagrange中值定理若函数f满足以下条件：

（1）f在[a,b]上连续；

（2）f在（a,b）内可导.则在（a,b）内至少存在一点,使得f（）」（b）-f（a）.

b-a

特别地,当f（a）=f（b）时，有如下Rolle定理：

Rolle定理若f满足如下条件：

（1）f[a,b];

（2）f在（a,b）内可导；（3）f（a）=f（b）,

则存在：

（a,b）,使得f（）=0.

如把曲线弧AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理：

Cauchy定理若函数f,g（x=g（u）,y=f（u）,u[a,b]）满足如下条件：

（1）fg[a,b];

（2）f,g在（a,b）内可导；（3）f,g至少有一个不为0;（4）g（a）-g（b）.在存在：

（a,b）,使得f0）_f（b）-f（a）.

g（）g（b）-g（a）

说明

（1）几何意义：

Rolle:

在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang:

可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线;Cauchy:

视为曲线的参数；u=f（x）,v=g（x）,x[a,b],则以v为横坐

标,u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行.

（2）三个定理关系如下：

Rolle--—Lagrang—更Cauchy

洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案

（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f（a）尸f（b）,不一定存在.“不一定存在”意味着一一

般情况如下：

Rolle定理不再成立•但仍可知有f「）=0的情形发生•如y=sgnx,x•［-1,1］不满

足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个：

（-1,1）,使得f「）=0•

（4）Lagrang定理中涉及的公式：

f（）=f（b）-f（a）称之为“中值公式”.这个定理也称b—a

为微分基本定理.中值公式有不同形式：

（i）f（b）-f（a）=f（）（b-a）,（a,b）;（ii）

f（b）-f（a）=f（a（b—a）R（b—a）,0

公式对ab均成立.此时.在a,b之间；（ii）、（iii）的好处在于无论a,b如何变化，才（0,1）易于控制.

三、极值

定义3（极值）若函数f在区间I上有定义，x0・I.若存在x0的邻域U（x0）,使得对于任意的X•U（X。

）,有f（疝_f（X）,则称f在点x0取得极大值，称点X。

为极大值点.若存在xd的邻域U（xd）,使得对于任意的X•U（X。

）,有f（X。

）—f（x）,则称f在点x。

取得极小值，称点x。

为极小值占

八、、・

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.

注1、极值是局部性概念，若f（Xo）是极值,是和X。

点附近的函数值比较而言的，和离X。

较远的地方无关；最值显然是对整个区间而言的，是整体概念.

2、闭区间［a,b］上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值（常函数除外），但可能无极值.即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值.因此若f（a）是函数的最值，则f（a）不可能是极值；若f（x。

）（x。

•（a,b））是函数的最值，则一定是极值.（即最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为最值.）

极值存在的必要条件费马（Fermat）定理

费马定理若函数在点X0的邻域内有定义，且在点X0可导.若X0为f的极值点，则比有

f（xJ=0.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：

可导极值点出的切线平行于x轴），称

满足方程f（x。

）=0的点为稳定点.

证明无妨设f（x。

）为极大值,则当AX0时，且X0「XU（x。

）时,有

f（X。

.：

x）-f（X。

）0△x—

令ixT0+,得f（X。

）兰0.

f（X。

：

x）-f（X。

）0

当&<0时，有Ax—.令也XT0-,得「（x%0,由此推得f"（X0）=0.

Fermat定理表明导数为0是极值必要条件，但是如果f（x）'C[a，b],那么它能达到最大值,

如果它又可导,在佝b）内f（x）二。

只有一个根,则比较f（a）,f（X0）,f（b）就可定出最大值.

由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然.如f（x）=x3，点x=0是稳定点，但不是极

值点•

达布（Darboux）定理（导函数的介值定理）若函数f在[a,b]上可导，且f「（a）=f_（b）,k

为介于f（a）和f_（b）之间的任一实数,则至少存在一点―（a,b）,使得f「）=k.

四、中值定理的证明

（1）Rolle定理

证明因为f（x「C[a,b],f（x）在[a,b]上有最大值M与最小值m,如果M=m，则

f（x）二M,这时f（x）=°,可取（a,b）中任意一点作为,如果M・m,其中至少有一个不等于

f（a）二f（b）.不妨设M"（a）,我们假定f（x）在（a,b）取到最大值，f「）=M,即•为一个极

值点，且f（=）存在，由Fermat定理，「（匕）-

（二）Lagrange中值定理

证明作辅助函数

f（x）X1

G（x）=

f（a）a1

f（b）b1

它有明显几何意义，即它表示连接三点：

（f（x）,x）,（f（a）,a）,（f（b）,b）/的三角形面积之二倍那么G（x「C[a,b],在（a,b）可导,且G（a）二G（b）=0,用Rolle定理,（a,b）,使得G「）=°,

即

f（E）10

m=f（b）—f（a）

b—a

f（a）a1

f（b）b1

辅助函数造法很多，比如可以用以下方法

F（x）=f（x）-f（a）些（x-a）

1a—b一，

G（x）=[f（x）-f（a）]（b-a）-（x-a）[f（b）-f（a）]

坐（x）=f（x）（b—a）—x[f（b）—f（a）]

然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理.

f（a）—f（b）

注释量a』表示连接两点A（a，f（a））和B（b，f（b））的弦的斜率,不管a：

：

b还是ab都对丄agrange定理表明存在（a,b）中一点，使f（）恰等于这个斜率丄agrange定理也称Lagrange公式，它也可以写成f（x）=f（a）'f（Xx-a）,其中介于x与a之间,它可以看成用线性函数f（a）f「）（x-a）在a局部对f（x）的逼近.它还可写成

f（b）二f（a）f[a，（b-a）]（b-a）

f（a+h）=f（a）+f"（a+Bh）h

其中0"c1,h=b—a

这里£=avh

•-a

只要指出"-h满足0：

：

…1.当h0

时，avE

0£a_^£-h,'_h*,得0£#c1.

（三）Cauchy定理

f（b）—f（a）_f牡）

证明对f和g分别应用Lagrange定理,我们可得g（b）-g（a）g「），这里1与2可能不一样,这是一条错误之路，本定理关键要求是一致的〔作函数

f（x）g（x）1

G（x）=f（a）g（a）1

f（b）g（b）1

；x=f（x）

它的几何意义是在参数曲线y=g（x）上，三点｛（f（x）,g（x））,（f（a）,g（a））,

（f（b）,g（b））｝连成的三角形面积之二倍.则G（X）满足Rolle定理条件,故（a,b）,使得

G代）=0,即g牡）[f（b）—f（a）]=f（©）[g（b）—g（a）],得证.

注1与Lagrange定理证明类似，我们也可借助其它形式的辅助函数，比如用

F（x）=f（x）[g（b）—g（a）]—g（x）[f（b）-f（a）].

注2g（x）二x时,Cauchy定理推出Lagrange定理.

注3不管ab还是a:

b,Cauchy定理都可写成

f（b）-f（a）f（ar（b-a））f（aF）

g（b）—g（a）g（a+T（b—a））g"（a+8h）

其中h=b—a,0£日<1.

五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步

（1）Rolle定理的推论

若f在[x,,x2]上连续，在（石，x,）内可导，f（xj=f（x2）=0,则存在：

二（x1,x2）,使得

f（^0（简言之：

可导函数的两个之间必有导数的零点）.

（2）Lagrang定理的推论

推论1若函数f在区间I上可导，且f（x）=0,I,则f为I上的一个常量函数.

证明Lagrange定理给出，-x•[a,b],f（x）-f（a）=f「）（x-a）=0（a：

：

f（x）三f（a）三C

几何意义：

斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线.

简单应用：

证明：

（1）在[-1,1]上恒有：

arcsinx•arccosx,

（2）在（」：

，二）上恒有：

arctanxarccotx=—

推广若f（x）在区间[a,b]上连续，且在（a,b）中除有限个点外有「（x）=0,则f在I上是常数函数.

推论2若函数f和g均在I上可导，且f（x）=g（x）,I,则在区间I上f（x）与g（x）只差一个常数,即存在常数C,使得f（x^g（x）■C.

证明对f（x）-g（x）应用推论1即得.

推论3（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U（x））内连续，在U（x））内可导，且

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limf（x）存在,则f在点x可导,且f（xo）limf（x）.

x「Xox/o

应用一：

关于方程根的讨论（存在性）一一主要应用Rolle定理

例1设f为R上的可导函数,证明：

若方程f（x）=0没有实根,则方程f（x）=0至多只有一个实根•

例2设f［a,b］,在［a,b］连续可微,在（a,b）二阶可微,且f（a^f（b^f（a^0,证明：

f（x）=0在（a,b）中至少有一个根.

例3已知c0■I■-Cn0,证明：

p（x）=c0C|xQX2•IH•CnXn=0至少有一正实根.

2n+1

例4设f（x）=x4-2x2•x,证明f（x）于（0,1）中至少有一根.

应用二：

证明中值点的存在性：

例1设函数f在区间［a,b］上连续，在（a,b）内可导，贝U一（a,b）,使得

f（b）-f（a）=tlnb”f徨）.

证在Cauchy中值定理中取g（x）=lnx.

例2设函数f在区间［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且有f（a）=f（b）=0.

试证明：

'（a,b）,-f「）-f「）=0.

例3设f在［a,b］（a>0）上连续；在（a,b）内可导，则存在：

（a,b）,使得

f（b）-f（a）=f（）lnb.

例4设x（,X2・0,证明：

_】w（X1,X2）满足x1ex^x2e>^=（V）e（x^-x2）.

应用二：

用中值定理证明公式

例1证明：

对一切h>-1,h工0有公式—:

：

ln（1・h）：

：

1+h

例2证明：

当a>b>0时，口:

lna:

口.

abb

例3证明：

|sinx「siny|-|x「y|,-x,y•R.

例4设f在［0,a］一阶连续可微，在（0,a）二阶可微,且存在正数M使|f（x）匸M,又设f在（0,a）存在稳定点c,证明：

|f（0）|•|f（a）匸Ma.

例5设函数f和g可导且f（x）^0,又f,g=0.贝Ug（x）=cf（x）.

证明（g）=0.

例6设对-x,h・R,有|f（x•h）_f（x）匕Mh2,其中M是正常数,则函数f（x）是常值函

数.（证明f>0）.

例7证明：

若f（x）和g（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且gYx）=0,则

3^（a,b）,使得

f（）f（）-f（a）

厂g（b）-g（©.⑴

分析先把上面

（1）式改写为：

f（）g（）f（）g（^f（）g（b）-f（a）g（）=0.

（2）

若令h（x）二f（x）g（x）_f（x）g（b）—f（a）g（x）,则⑵式即为h（）=0.这样，问题就化为检验h（x）在［a,b］上是否满足Rolle定理的条件.

证明由题设条件，上述h（x）在［a,b］上连续,在（a,b）内可导,且有

h（a）=-f（a）g（b）=h（b）.

故（a,b）,使得h（）=0,即⑵式成立.

又因g（x）,故由导函数的性质（具有介值性）,g（X）在（a,b）内不变号，由此推知g（x）在（a,b）内严格单调；再由g（x）在［a,b］上连续，所以g（x）又在［a,b］上严格单调.这就保证了g（b）-g（）丸.这样，便可由

（2）式逆推至

（1）式成立.

作业教材P124—1254—9;P132—1331—4.

§6.2柯西中值定理和不定式极限

教学章节：

第六章微分中值定理及其应用一6.2RolleLagrangeCauchy定理的进一步应用教学目标：

掌握讨论函数单调性方法；掌握L'Hospital法则,或正确运用后求某些不定式的极限.

教学要求：

熟练掌握L'Hospital法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数

单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式.

教学重点：

利用函数的单调性丄’Hospital法则

教学难点：

L'Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；

教学方法：

问题教学法,结合练习.

教学过程：

一、柯西中值定理

若函数f，g满足如下条件：

（1）f,g・[a,b]；

（2）f，g在（a,b）内可导；（3）f,g•至少有一个不为0；（4）g（a）=g（b）。

则存在（a‘b），使得列=誥晋二、不定式极限

（一）什么是不定式极限

在第3章函数的极限的学习中我们知道：

（1）+0

（1）=0

（1）,但妙不一定是无穷小量,甚至

（1）

极限不存在，例如：

（1）当X>0,sinx=0

（1）,x=0

（1）,lim沁=1=0,即沁=0

（1）；

TXX

数学科学学院

的不等式极限•

0qQ

除了0型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：

（i）—型；（ii）—型；（込）0O0

0•:

型；（iv）00型；（V）1:

型；（Vi）0=二°型等,其中最基本的是0型和二型,其它类型都

0°0

可化成这两种基本类型来解决

当lim他是0型时,困难在于极限商的运算失效！

例：

limUO^.在此之前,我们是借

x为g（x）0x>0x

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数学科学学院《数学分析》教案

f（x）g（x）

f（x）-f（a）f[av（x-a）]

-g（x）-g（a）一g[a+T（x—a）],0乙d,

limf【a'（x—a）]二k

limf（x）二k

由3）,x）aF【a，（x-a）],所以x2g（x）

limf^x）=klim二k

同理xia0g（x）,综合起来有x戶g（x）

注把x>a改为x>a0或x》a_0结论也成立.

定理2设

1）f（x）,g（x）在（a「J连续,且!

叫f（x）Jim：

：

g（x）=0

2）f（x）,g（x）在（a,+=c）可导，且g（x）式0,

lim血十

3）x—g（x）（k为有限或一：

，：

：

）,

lim少

x—g（x）

证明先算极限,然后再验证条件.

lim

x_）:

他=lim

g（x）t0

（1）g（J）

[f（i）]lim—t0[g申

（1）（-£）g（：

）（-£）

其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件•不妨设a0,f（T）,g（l）在（°，弓上连续,且

Pmmxpm*"0,且f（l）,g（l）在（。

，1）可导,且

（1）r=g

（1）（-1）工0有

lim冲十

0[g

（1）]

注把X>=换成X、-二和八:

也有相应的结论•

若函数f和g满足：

（1）limf（x）limg（x）=0；

（2）在点x0的某空心邻域内两者都可导

^■3x0x—

lim戲◎xtsinx「x

limshx-x=讪chx"=讪

x0sinx-xxWcosx-1x少一sinx

x卩一cosx

limx

x01_e2

lim；=lim

x旷［_e2xt0_e2t

（X=t2）.

imxLarctgxr?

一1X2

-arctgx

lim=1

X）二1

_x2

3、一型不定式极限的L'Hospital法则

□0

定理3设

1）f（x）,g（x）在Uo（朮）上连续,且哩f（x）匕型灾）",

2）f（x）,g（x）在Uo（ap）可导,且g（x）H0,

3）…g（）（有限或一：

）,

lim他

则X旧g（x）

证明只对kw和xta-0情况证明.

眈＞0由3）,萊1A°,当时，有

f（）

g（）

f（x）-f（xjg（x）-g（xj

g;;-k

这里为=a

"f雀）

f（x）_f（xi）_k[g（x）—g（xi）]=岛;

-k[g（x）—g（xj]

—f牡）

f（x）—kg（x）—[f（xi）—kg（xi）]=^「

-k[g（x）-g（xj]

f（x）k=f（）k1_g（xi）f（xi）-kg（xi）

g（x）■g（）_g（x）g（x）

又由于g（x）=：

：

有処畔晋=0,丿叽绘=0,所以.2,使得当a——a

时，有

f（Xi）-kg（xj

g（x）

|g（xj

|g（x）

令&=min（E,6）,当a_6vxca时,有

f（）

g（）

k[g（xj+f（xj—kg（xj

g（x）

232

lim他=k

即—Px）.

定理4设

1）f（x）,g（x）在（比菖）上连续,且吗g（x）二

2）f（x）,g（x）在（a「：

）上可导,且g（x）=o,

lim匸凶斗

f（x）g（x）

）x厂-g（x）（有限或-:

，:

）,

limf（X）lim

x-'「g（x）x>：

：

证明可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明，这里省略.

X）：

：

X二

limlnxlim.lim—=0

Xj二Xxt'；7，x-x》二议-

无穷大量是“梁山泊排座次”

例6证明函数

在上无穷次可微.

证明当x=0时，f（X）

当X=0时,

数，x=0时

Rim%⑴=0（x」）

t匸et2（Xt）

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数学科学学院《数学分析》教案

从f（n）（x）表达式,易知f（n）（x）•所以f（x）.

类似定义函数

x_0

可证：

这是一个很有用的函数,稍加改造我们可以构造如下函数:

（x）

-1）

则叫x）EC=-«,+=c）,且H（x）=1

x-2.这个函数非常有用

使用

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