大学全册高等数学知识点(全)Word文件下载.doc

1、 ） （3）含变限积分; （4）不能用与不便用 7. 泰勒公式（皮亚诺余项）: 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: （分段函数）六. 非常手段 1. 收敛准则: （1） （2）双边夹: *, * （3）单边挤: * * * 2. 导数定义（洛必达?）: 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和（数一三）: （1）收敛, （如） （2）, （3）与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较（等价,阶）: * （2） 2. 渐近线（含斜）: （2）,（） 3. 连续性: （1）间断点判别（个数）; （2）分段函数连续性（附:极限函数, 连续性）八. 上连续函数性质 1. 连通性: （注:

2、, “平均”值: 2. 介值定理: （附: 达布定理） （1）零点存在定理: （根的个数）; （2）. 第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）一. 基本概念: 1. 差商与导数: （1） （注:连续） （2）左右导: （3）可导与连续; （在处, 连续不可导; 可导） 2. 微分与导数: （1）可微可导; （2）比较与的大小比较（图示）;二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; 2. 法则: （1）四则运算; （2）复合法则; （3）反函数三. 各类求导（方法步骤）: 1. 定义导: （1）与; （2）分段函数左右导; （3） （注: , 求:及的连续性） 2. 初等导（公式加法则）:

3、 （1）, 求:（图形题）; （2）, 求: （3）,求及 （待定系数） 3. 隐式（）导: （1）存在定理; （2）微分法（一阶微分的形式不变性）. （3）对数求导法. 4. 参式导（数一,二）: 5. 高阶导公式: ; 注: 与泰勒展式:四. 各类应用: 1. 斜率与切线（法线）; （区别: 上点和过点的切线） 2. 物理: （相对）变化率速度; 3. 曲率（数一二）: （曲率半径, 曲率中心, 曲率圆） 4. 边际与弹性（数三）: （附: 需求, 收益, 成本, 利润）五. 单调性与极值（必求导） 1. 判别（驻点）: （1） ; （2）分段函数的单调性 （3）零点唯一; 驻点唯一（必为

4、极值,最值）. 2. 极值点: （1）表格（变号）; （由的特点） （2）二阶导（） 注（1）与的匹配（图形中包含的信息）; （2）实例: 由确定点“”的特点. （3）闭域上最值（应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优） 3. 不等式证明（） （1）区别: *单变量与双变量? *与? （2）类型: * *; * （3）注意: 单调性端点值极值凹凸性. （如: 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点（必求导! 1. 表格; （） 2. 应用: （1）泰勒估计; （2）单调; （3）凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: 最值点必为驻点） 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: （3） 3

5、. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点（待定） 5. 注: 含时,分家!（柯西定理） 6. 附（达布定理）: 在可导,使:八. 拉格朗日中值定理 ; （） 2. 估计:九. 泰勒公式（连接之间的桥梁） 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理（附:广义）: 注:有定积分（不含变限）条件时使用 第三讲: 一元积分学 1. 原函数: （2）; （3） 注（1）（连续不一定可导）; （2） （连续） 2. 不定积分性质:二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆（线性性） 3. 凑微法（基础）: 要求巧,简,活（） 如: 4. 变量代换: （1）常

6、用（三角代换,根式代换,倒代换）: （2）作用与引伸（化简）: 5. 分部积分（巧用）: （1）含需求导的被积函数（如）; （2）“反对幂三指”: （3）特别: （*已知的原函数为; *已知） 6. 特例: （1）; （2）快速法; （3）三. 定积分: 1. 概念性质: （1）积分和式（可积的必要条件:有界, 充分条件:连续） （2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值） *; （3）附: , ） （4）定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分的处理（重点） （1）可积连续, 连续可导 （3）由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分（方程）问题 3. 公式: （在上必

7、须连续! （1）分段积分, 对称性（奇偶）, 周期性 （2）有理式, 三角式, 根式 （3）含的方程. （1）, （2） （如: （3）, , （5）, 5. 分部积分 （1）准备时“凑常数” （2）已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分: 1. 类型: （1） （连续） （2）: （在处为无穷间断） 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限（可换元与分部） 4. 特例: （1）; （2）五. 应用: （柱体侧面积除外） 1. 面积, （1） （2）; （4）侧面积: 2. 体积: （3）与 3. 弧长: （1） （2） （3）: 4. 物理（数一,二）功,引力,水压

8、力,质心, 5. 平均值（中值定理）: （2）, （以为周期: 第四讲: 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解（注: 应用题中的隐含条件） 2. 变换方程: （1）令（如欧拉方程） （2）令（如伯努利方程） 3. 建立方程（应用题）的能力二. 一阶方程: 1. 形式: （2）; （3） 2. 变量分离型: （1）解法: （2）“偏”微分方程: 3. 一阶线性（重点）: （1）解法（积分因子法）: （2）变化: （3）推广: 伯努利（数一） 4. 齐次方程: （2）特例: 5. 全微分方程（数一）: 且 6. 一阶差分方程（数三）:三. 二阶降阶方程 1. : 2. :

9、令 3. :四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: （1）齐次解: （2）非齐次特解: 2. 常系数方程: （1）特征方程与特征根: （2）非齐次特解形式确定: 待定系数; （附: 的算子法） （3）由已知解反求方程. 3. 欧拉方程（数一）: , 令五. 应用（注意初始条件）: 1. 几何应用（斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积）; 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程（含变限积分）; 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率（速度） 5. 6. 路径无关得方程（数一）: 7. 级数与方程: （1）幂级数求和; （2）方程的幂级数解法: 8. 弹性问题（数三）

10、 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续（必要条件与充分条件）, （2） （3） （判别可微性） 点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例: （1）: 点处可导不连续; （2）: 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: （1）型; （2）; （3）含变限积分 2. 复合函数的一,二阶偏导（重点）: 熟练掌握记号的准确使用 3. 隐函数（由方程或方程组确定）: （1）形式: * （存在定理） （2）微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）: （要求: 二阶导） （3）注: 与的及时代

11、入 （4）会变换方程.三. 二元极值（定义? 1. 二元极值（显式或隐式）: （1）必要条件（驻点）; （2）充分条件（判别） 2. 条件极值（拉格朗日乘数法） （注: 应用） （1）目标函数与约束条件: , （或: 多条件） （2）求解步骤: , 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值（重点）. （2）实例: 距离问题四. 二重积分计算: 1. 概念与性质（“积”前工作）: （1）, （2）对称性（熟练掌握）: *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; （3）“分块”积分: *分片定义; *奇偶 2. 计算（化二次积分）: （1）直角坐标与极坐标选择（转换）: 以“”为主; （

12、2）交换积分次序（熟练掌握）. 3. 极坐标使用（转换）: 附: ; 双纽线 （1）单变量: 或 （2）利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心 5. 无界域上的反常二重积分（数三）五: 一类积分的应用（）: 1. “尺寸”: （2）曲面面积（除柱体侧面）; 2. 质量, 重心（形心）, 转动惯量; 3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 第六讲: 无穷级数（数一,三）一. 级数概念 1. 定义: （1）, （2）; （3） （如） （2）（或）; （3）“伸缩”级数:收敛收敛. 2. 性质: （1）收敛的必要条件: （2）加括号后发散, 则原级数必发散（交错级数的讨论）

13、;二. 正项级数 1. 正项级数: （1）定义: （2）特征: （3）收敛（有界） 2. 标准级数: （1）, （2）, （3） 3. 审敛方法: （注:,） （1）比较法（原理）:（估计）, 如; （2）比值与根值: * * （应用: 幂级数收敛半径计算）三. 交错级数（含一般项）: 1. “审”前考察: （1） （2）; （3）绝对（条件）收敛? 若,则发散 （3） 3. 莱布尼兹审敛法（收敛? （1）前提: 发散; （2）条件: （3）结论: 条件收敛. 4. 补充方法: （1）加括号后发散, 则原级数必发散; 5. 注意事项: 对比 ; 之间的敛散关系四. 幂级数: 1. 常见形式:

14、（1）, （2）, （3） 2. 阿贝尔定理: （1）结论: 敛; 散 （2）注: 当条件收敛时 3. 收敛半径,区间,收敛域（求和前的准备） 注（1）与同收敛半径 （2）与之间的转换 4. 幂级数展开法: 熟记公式（双向,标明敛域） ; ; （2）分解:中心移动） （特别: （3）考察导函数: （4）考察原函数: 5. 幂级数求和法（注: *先求收敛域, *变量替换）: （2）,（注意首项变化） （4）的微分方程 （5）应用:. 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用（数三）: （1）复利: （2）现值:五. 傅里叶级数（数一）: （） 1. 傅氏级数（三角级数）: 2. 充分条件（收敛定理

15、）: （1）由（和函数） 3. 系数公式: 4. 题型: （1）且（分段表示） （2）或 （3）正弦或余弦 *（4）（）*5. 6. 附产品: 第七讲: 向量,偏导应用与方向导（数一）一. 向量基本运算 1. ; （平行） 2. ; （单位向量（方向余弦） ） 3. ; （投影:; 垂直: 夹角: 4. ; （法向: 面积:二. 平面与直线 1.平面 （1）特征（基本量）: （2）方程（点法式）: （3）其它: *截距式; *三点式 2.直线 （2）方程（点向式）: （3）一般方程（交面式）: （4）其它: *二点式; *参数式;（附: 线段的参数表示: 3. 实用方法: （1）平面束方程:

16、（2）距离公式: 如点到平面的距离 （3）对称问题; （4）投影问题.三. 曲面与空间曲线（准备） 1. 曲面 或; （注: 柱面） （2）法向 （或） 2. 曲线 （1）形式, 或; （2）切向: （或） 3. 应用 （1）交线, 投影柱面与投影曲线; （2）旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; （3）锥面计算.四. 常用二次曲面 1. 圆柱面: 2. 球面: 变形: , , , 3. 锥面: , 4. 抛物面: , , 5. 双曲面: 6. 马鞍面: , 或五. 偏导几何应用 （1）法向: , 注: （2）切平面与法线: （1）切向: （2）切线与法平面 3. 综合: , 六. 方向导与梯

17、度（重点） 1. 方向导（方向斜率）: （1）定义（条件）: （2）计算（充分条件:可微）: 附: 2. 梯度（取得最大斜率值的方向） : （1）计算: （2）结论 取为最大变化率方向; 为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分（数一）一. 三重积分（） 1. 域的特征（不涉及复杂空间域）: （1）对称性（重点）: 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 （2）投影法: （3）截面法: 长方体, 四面体, 椭球 2. 的特征: （1）单变量, （2）, （3）, （4） 3. 选择最适合方法: （1）“积”前: *; *利用对称性（重点） （2）截面法（旋转体）: （细腰或中空, ,

18、 ） （3）投影法（直柱体）: （4）球坐标（球或锥体）: （5）重心法（）: 4. 应用问题: （1）同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 （2）公式二. 第一类线积分（） 1. “积”前准备: （2）对称性; （3）代入“”表达式 2. 计算公式: 3. 补充说明: （1）重心法: （2）与第二类互换: 4. 应用范围 （1）第一类积分 （2）柱体侧面积 三. 第一类面积分（） 1. “积”前工作（重点）: （代入） （2）对称性（如: 字母轮换, 重心） （3）分片四: 第二类曲线积分（1）: （其中有向） 1. 直接计算: 常见（1）水平线与垂直线; 2. Green公式:

19、 *换路径; *围路径 （3）（但内有奇点） （变形） 3. 推广（路径无关性）: （1）（微分方程）（道路变形原理） （2）与路径无关（待定）: 微分方程. 4. 应用 功（环流量）: （有向,）五. 第二类曲面积分: , 或 （其中含侧） 2. 计算: （1）定向投影（单项）: , 其中（特别:水平面）; 注: 垂直侧面, 双层分隔 （2）合一投影（多项,单层）: （3）化第一类（不投影）: 3. 公式及其应用: （1）散度计算: （2）公式: 封闭外侧, 内无奇点 *补充“盖”平面: *封闭曲面变形（含奇点） 4. 通量与积分: （有向,）六: 第二类曲线积分（2）: 1. 参数式曲线:

20、 直接计算（代入） 注（1）当时, 可任选路径; （2）功（环流量）: 2. Stokes公式: （要求: 为交面式（有向）, 所张曲面含侧） （1）旋度计算: （2）交面式（一般含平面）封闭曲线: 同侧法向或; （3）Stokes公式（选择）: （）化为; （）化为; （）化为高数重点知识总结1、 基本初等函数：反函数（y=arctanx），对数函数（y=lnx），幂函数（y=x），指数函数（），三角函数（y=sinx），常数函数（y=c）2、 分段函数不是初等函数。3、 无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：4、 两个重要极限：经验公式：当，例如：5、 可导必定连续，连续未必可导。连续但不可导。6、 导数的定义：7、 复合函数求导： 例如：8、 隐函数求导：（1）直接求导法；（2）方程两边同时微分，再求出dy/dx9、 由参数方程所确定的函数求导：若，则，其二阶导数：10、 微