大学全册高等数学知识点(全)Word文件下载.doc
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）
（3）含变限积分;
（4）不能用与不便用
7.泰勒公式（皮亚诺余项）:
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
（分段函数）
六.非常手段
1.收敛准则:
（1）
（2）双边夹:
*,*
（3）单边挤:
***
2.导数定义（洛必达?
）:
3.积分和:
4.中值定理:
5.级数和（数一三）:
（1）收敛,（如）
（2）,
（3）与同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较（等价,阶）:
*
（2）
2.渐近线（含斜）:
（2）,（）
3.连续性:
（1）间断点判别（个数）;
（2）分段函数连续性（附:
极限函数,连续性）
八.上连续函数性质
1.连通性:
（注:
“平均”值:
2.介值定理:
（附:
达布定理）
（1）零点存在定理:
（根的个数）;
（2）.
第二讲:
导数及应用（一元）（含中值定理）
一.基本概念:
1.差商与导数:
（1）（注:
连续））
（2）左右导:
（3）可导与连续;
（在处,连续不可导;
可导）
2.微分与导数:
（1）可微可导;
（2）比较与的大小比较（图示）;
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;
2.法则:
（1）四则运算;
（2）复合法则;
（3）反函数
三.各类求导（方法步骤）:
1.定义导:
（1）与;
（2）分段函数左右导;
（3）
（注:
求:
及的连续性）
2.初等导（公式加法则）:
（1）,求:
（图形题）;
（2）,求:
（3）,求及（待定系数）
3.隐式（）导:
（1）存在定理;
（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.
（3）对数求导法.
4.参式导（数一,二）:
5.高阶导公式:
;
注:
与泰勒展式:
四.各类应用:
1.斜率与切线（法线）;
（区别:
上点和过点的切线）
2.物理:
（相对）变化率速度;
3.曲率（数一二）:
（曲率半径,曲率中心,曲率圆）
4.边际与弹性（数三）:
（附:
需求,收益,成本,利润）
五.单调性与极值（必求导）
1.判别（驻点）:
（1）;
（2）分段函数的单调性
（3）零点唯一;
驻点唯一（必为极值,最值）.
2.极值点:
（1）表格（变号）;
（由的特点）
（2）二阶导（）
注
（1）与的匹配（图形中包含的信息）;
（2）实例:
由确定点“”的特点.
（3）闭域上最值（应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优）
3.不等式证明（）
（1）区别:
*单变量与双变量?
*与?
（2）类型:
*
*;
*
（3）注意:
单调性端点值极值凹凸性.（如:
4.函数的零点个数:
单调介值
六.凹凸与拐点（必求导!
1.表格;
（）
2.应用:
（1）泰勒估计;
（2）单调;
（3）凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
最值点必为驻点）
1.结论:
2.辅助函数构造实例:
（3）
3.有个零点有个零点
4.特例:
证明的常规方法:
令有个零点（待定）
5.注:
含时,分家!
（柯西定理）
6.附（达布定理）:
在可导,,,使:
八.拉格朗日中值定理
;
（）
2.估计:
九.泰勒公式（连接之间的桥梁）
在已知或值时进行积分估计
十.积分中值定理（附:
广义）:
[注:
有定积分（不含变限）条件时使用]
第三讲:
一元积分学
1.原函数:
（2）;
（3）
注
（1）（连续不一定可导）;
（2）（连续）
2.不定积分性质:
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆（线性性）
3.凑微法（基础）:
要求巧,简,活（）
如:
4.变量代换:
（1）常用（三角代换,根式代换,倒代换）:
（2）作用与引伸（化简）:
5.分部积分（巧用）:
（1）含需求导的被积函数（如）;
（2）“反对幂三指”:
（3）特别:
（*已知的原函数为;
*已知）
6.特例:
（1）;
（2）快速法;
（3）
三.定积分:
1.概念性质:
（1）积分和式（可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续）
（2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值）
*;
（3）附:
）
（4）定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:
变限积分的处理（重点）
（1）可积连续,连续可导
（3）由函数参与的求导,极限,极值,积分（方程）问题
3.公式:
（在上必须连续!
（1）分段积分,对称性（奇偶）,周期性
（2）有理式,三角式,根式
（3）含的方程.
（1）,
（2）（如:
（3）,
（5）,
5.分部积分
（1）准备时“凑常数”
（2）已知或时,求
6.附:
三角函数系的正交性:
四.反常积分:
1.类型:
（1）（连续）
（2）:
（在处为无穷间断）
2.敛散;
3.计算:
积分法公式极限（可换元与分部）
4.特例:
（1）;
（2）
五.应用:
（柱体侧面积除外）
1.面积,
（1）
（2）;
（4）侧面积:
2.体积:
（3）与
3.弧长:
（1）
（2）
（3）:
4.物理（数一,二）功,引力,水压力,质心,
5.平均值（中值定理）:
（2）,（以为周期:
第四讲:
微分方程
一.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解（注:
应用题中的隐含条件）
2.变换方程:
（1）令（如欧拉方程）
（2）令（如伯努利方程）
3.建立方程（应用题）的能力
二.一阶方程:
1.形式:
（2）;
（3）
2.变量分离型:
（1）解法:
（2）“偏”微分方程:
3.一阶线性（重点）:
（1）解法（积分因子法）:
（2）变化:
（3）推广:
伯努利（数一）
4.齐次方程:
（2）特例:
5.全微分方程（数一）:
且
6.一阶差分方程（数三）:
三.二阶降阶方程
1.:
2.:
令
3.:
四.高阶线性方程:
1.通解结构:
（1）齐次解:
（2）非齐次特解:
2.常系数方程:
（1）特征方程与特征根:
（2）非齐次特解形式确定:
待定系数;
（附:
的算子法）
（3）由已知解反求方程.
3.欧拉方程（数一）:
令
五.应用（注意初始条件）:
1.几何应用（斜率,弧长,曲率,面积,体积）;
注:
切线和法线的截距
2.积分等式变方程（含变限积分）;
可设
3.导数定义立方程:
含双变量条件的方程
4.变化率（速度）
5.
6.路径无关得方程（数一）:
7.级数与方程:
（1）幂级数求和;
（2）方程的幂级数解法:
8.弹性问题（数三）
第五讲:
多元微分与二重积分
一.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续（必要条件与充分条件）,
（2）
（3）（判别可微性）
点处的偏导数与全微分的极限定义:
2.特例:
（1）:
点处可导不连续;
（2）:
点处连续可导不可微;
二.偏导数与全微分的计算:
1.显函数一,二阶偏导:
（1）型;
（2）;
（3）含变限积分
2.复合函数的一,二阶偏导（重点）:
熟练掌握记号的准确使用
3.隐函数（由方程或方程组确定）:
（1）形式:
*（存在定理）
（2）微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）:
（要求:
二阶导）
（3）注:
与的及时代入
（4）会变换方程.
三.二元极值（定义?
1.二元极值（显式或隐式）:
（1）必要条件（驻点）;
（2）充分条件（判别）
2.条件极值（拉格朗日乘数法）（注:
应用）
（1）目标函数与约束条件:
（或:
多条件）
（2）求解步骤:
求驻点即可.
3.有界闭域上最值（重点）.
（2）实例:
距离问题
四.二重积分计算:
1.概念与性质（“积”前工作）:
（1）,
（2）对称性（熟练掌握）:
*域轴对称;
*奇偶对称;
*字母轮换对称;
*重心坐标;
（3）“分块”积分:
*分片定义;
*奇偶
2.计算（化二次积分）:
（1）直角坐标与极坐标选择（转换）:
以“”为主;
（2）交换积分次序（熟练掌握）.
3.极坐标使用（转换）:
附:
;
双纽线
（1）单变量:
或
（2）利用重心求积分:
要求:
题型,且已知的面积与重心
5.无界域上的反常二重积分（数三）
五:
一类积分的应用（）:
1.“尺寸”:
（2）曲面面积（除柱体侧面）;
2.质量,重心（形心）,转动惯量;
3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.
第六讲:
无穷级数（数一,三）
一.级数概念
1.定义:
（1）,
（2）;
（3）（如）
（2）（或）;
（3）“伸缩”级数:
收敛收敛.
2.性质:
（1）收敛的必要条件:
（2）加括号后发散,则原级数必发散（交错级数的讨论）;
二.正项级数
1.正项级数:
（1）定义:
（2）特征:
（3）收敛（有界）
2.标准级数:
（1）,
（2）,（3）
3.审敛方法:
（注:
）
（1）比较法（原理）:
（估计）,如;
（2）比值与根值:
**（应用:
幂级数收敛半径计算）
三.交错级数（含一般项）:
1.“审”前考察:
（1）
（2）;
（3）绝对（条件）收敛?
若,则发散
（3）
3.莱布尼兹审敛法（收敛?
（1）前提:
发散;
（2）条件:
（3）结论:
条件收敛.
4.补充方法:
（1）加括号后发散,则原级数必发散;
5.注意事项:
对比;
之间的敛散关系
四.幂级数:
1.常见形式:
（1）,
（2）,（3）
2.阿贝尔定理:
（1）结论:
敛;
散
（2）注:
当条件收敛时
3.收敛半径,区间,收敛域（求和前的准备）
注
（1）与同收敛半径
（2）与之间的转换
4.幂级数展开法:
熟记公式（双向,标明敛域）
;
;
（2）分解:
中心移动）（特别:
（3）考察导函数:
（4）考察原函数:
5.幂级数求和法（注:
*先求收敛域,*变量替换）:
（2）,（注意首项变化）
（4）的微分方程
（5）应用:
.
6.方程的幂级数解法
7.经济应用（数三）:
（1）复利:
（2）现值:
五.傅里叶级数（数一）:
（）
1.傅氏级数（三角级数）:
2.充分条件（收敛定理）:
（1）由（和函数）
3.系数公式:
4.题型:
（1）且（分段表示）
（2）或
（3）正弦或余弦
*（4）（）
*5.
6.附产品:
第七讲:
向量,偏导应用与方向导（数一）
一.向量基本运算
1.;
（平行）
2.;
（单位向量（方向余弦））
3.;
（投影:
;
垂直:
夹角:
4.;
（法向:
面积:
二.平面与直线
1.平面
（1）特征（基本量）:
（2）方程（点法式）:
（3）其它:
*截距式;
*三点式
2.直线
（2）方程（点向式）:
（3）一般方程（交面式）:
（4）其它:
*二点式;
*参数式;
（附:
线段的参数表示:
3.实用方法:
（1）平面束方程:
（2）距离公式:
如点到平面的距离
（3）对称问题;
（4）投影问题.
三.曲面与空间曲线（准备）
1.曲面
或;
（注:
柱面）
（2）法向（或）
2.曲线
（1）形式,或;
（2）切向:
（或）
3.应用
（1）交线,投影柱面与投影曲线;
（2）旋转面计算:
参式曲线绕坐标轴旋转;
（3）锥面计算.
四.常用二次曲面
1.圆柱面:
2.球面:
变形:
,
3.锥面:
4.抛物面:
5.双曲面:
6.马鞍面:
或
五.偏导几何应用
（1）法向:
注:
（2）切平面与法线:
（1）切向:
（2）切线与法平面
3.综合:
六.方向导与梯度（重点）
1.方向导（方向斜率）:
（1）定义（条件）:
（2）计算（充分条件:
可微）:
附:
2.梯度（取得最大斜率值的方向）:
（1）计算:
（2）结论
取为最大变化率方向;
为最大方向导数值.
第八讲:
三重积分与线面积分（数一）
一.三重积分（）
1.域的特征（不涉及复杂空间域）:
（1）对称性（重点）:
含:
关于坐标面;
关于变量;
关于重心
（2）投影法:
（3）截面法:
长方体,四面体,椭球
2.的特征:
（1）单变量,
（2）,（3）,（4）
3.选择最适合方法:
（1）“积”前:
*;
*利用对称性（重点）
（2）截面法（旋转体）:
（细腰或中空,,）
（3）投影法（直柱体）:
（4）球坐标（球或锥体）:
（5）重心法（）:
4.应用问题:
（1）同第一类积分:
质量,质心,转动惯量,引力
（2）公式
二.第一类线积分（）
1.“积”前准备:
（2）对称性;
（3）代入“”表达式
2.计算公式:
3.补充说明:
（1）重心法:
（2）与第二类互换:
4.应用范围
（1）第一类积分
（2）柱体侧面积
三.第一类面积分（）
1.“积”前工作（重点）:
（代入）
（2）对称性（如:
字母轮换,重心）
（3）分片
四:
第二类曲线积分
（1）:
（其中有向）
1.直接计算:
常见
（1）水平线与垂直线;
2.Green公式:
*换路径;
*围路径
（3）（但内有奇点）（变形）
3.推广（路径无关性）:
（1）（微分方程）（道路变形原理）
（2）与路径无关（待定）:
微分方程.
4.应用
功（环流量）:
（有向,,）
五.第二类曲面积分:
或（其中含侧）
2.计算:
（1）定向投影（单项）:
其中（特别:
水平面）;
注:
垂直侧面,双层分隔
（2）合一投影（多项,单层）:
（3）化第一类（不投影）:
3.公式及其应用:
（1）散度计算:
（2）公式:
封闭外侧,内无奇点
*补充“盖”平面:
*封闭曲面变形（含奇点）
4.通量与积分:
（有向,,）
六:
第二类曲线积分
（2）:
1.参数式曲线:
直接计算（代入）
注
（1）当时,可任选路径;
（2）功（环流量）:
2.Stokes公式:
（要求:
为交面式（有向）,所张曲面含侧）
（1）旋度计算:
（2）交面式（一般含平面）封闭曲线:
同侧法向或;
（3）Stokes公式（选择）:
（）化为;
（）化为;
（）化为
高数重点知识总结
1、基本初等函数：
反函数（y=arctanx），对数函数（y=lnx），幂函数（y=x），指数函数（），三角函数（y=sinx），常数函数（y=c）
2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：
高阶+低阶=低阶例如：
4、两个重要极限：
经验公式：
当，
例如：
5、可导必定连续，连续未必可导。
连续但不可导。
6、导数的定义：
7、复合函数求导：
例如：
8、隐函数求导：
（1）直接求导法；
（2）方程两边同时微分，再求出dy/dx
9、由参数方程所确定的函数求导：
若，则，其二阶导数：
10、微
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