多元函数微分学复习(精简版)Word下载.doc

1、析 1）明确函数的结构（树形图）这里，那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图，可以知道：对的导数，有几条线通到“树梢”上的，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.2）是的简写形式，它们与的结构相同，仍然是的函数.所以对求导数为.所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.练 1. 设其中f具有二阶连续偏导数，求.2. 设其中f二阶可导，具有二阶连续偏导数，求.2. 多元函数极值例1. 求函数的极值.解 （1）求驻点.由 得两个驻点 ，（2）求的二阶偏导数，（3）讨论驻

2、点是否为极值点在处，有，由极值的充分条件知 不是极值点，不是函数的极值；在处，有，而，由极值的充分条件知 为极大值点，是函数的极大值.析 1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点-一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导数；第三步求出驻点的判别式，判断是否为极值点以及极大极小.2. 将正数12分成三个正数之和 使得为最大.解：令，则解得唯一驻点，故最大值为析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法-拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成 2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.3. 求函数在圆上的最大值与最小

3、值.解 先求函数在圆内部可能的极值点.令解得点，而.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数解之得，而.比较三值可知，在圆上函数最大值为，最小值为.析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算.3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.练 1. 求的极值.2. 证明函数有无穷多个极大值，但无极小值.3. 在椭球面的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.4. 求抛物线与直线之间的距离.3. 偏导

4、数的几何应用例1. 求曲面平行于平面的切平面方程.解 令 ，曲面在点处的法向量为已知平面的法向量为，而切平面与已知平面平行，所以，从而有， （1）又因为点在切面上，应满足曲面方程 （2）（1）、（2）联立解得切点为及，所以所求切平面方程为： ，或 .析 1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2） 法向量的求法:由曲面方程得 . 如果曲面方程为 ,那么,或 . 对应的法向量就为 或 . 3）注意不要把 写成 ，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2. 求

5、曲线，在点处的切线及法平面方程.解 曲线方程为 取为自变量，则和看作的函数，即.那么曲线的切向量方程组两边对求导，得解得 .将点代入，得切向量为所以曲线在点处的切线为法平面为析 1）曲线方程为参数形式在点处对应参数为，那么曲线在处的切向量为由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为法平面方程为2）若曲线方程是一般式（隐函数形式）则，那么曲线在处的切向量为由于此公式较为复杂，我们经常从三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.练 1. 设曲线 绕轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点指向外侧的单位法向量.2. 求椭球面上某点处的切平面的方程，使过已知直线.3. 在曲线

6、上求点，使该点处的切线平行于平面.4. 求曲线在点处的切线方程.4. 隐函数（组）导数例1. 设 ，求 ，.解 方程两端对求偏导数，得 即 =；方程两端对求偏导数，得 即 =.析 当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将看成是三个自变量，的函数，即，处于同等地位. 方程两边对求偏导数时，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的.2. 设 ，求.解 方程组两端对求导，得即则 ，.同样方程组两端对求导，得, .析 1） 方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”. 2） 大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.练1. 设方程

7、确定隐函数，求和. 2. 设函数 由方程确定,求和.3. 设 ,而是由方程所确定的函数,其中都具有一阶连续偏导数.求 .4. 设 ，,其中都具有一阶连续偏导数.求 ，和.5. 偏导数及全微分例1. 设，求 ，.解 ，析 1） 利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数. 2） 也可利用多元复合函数求导公式求导.2. 已知，求 .解 .于是，.析 1） 此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法.2） 另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求.3. 设，求解 设 ，则 ，所以 ， ，从而 =练 1. 设，求.2. 求 在点处的全微分.3. 求 的全微分.4. 证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微6. 方向导数级梯度例 求 在的梯度及沿方向的方向导数.解 ,而 故 ,则在处的梯度为 .又,故其方向余弦为,所以 沿方向的方向导数为析 1） 熟悉方向导数和梯度概念及求法. 2） 需要注意的是只有在才可用求方向导数.如分段函数在分界点常用定义求出方向导数.练 设函数求函数在点处沿方向的方向导数7. 二重极限及累次极限例1. 讨论 的收敛性.解 令其值随的不同而变化，故极限不存在2. .练 1. 讨论二元函数在点的二重极限及两个二次极限.2. 讨论函数在点的连续性.10