多元函数微分学复习(精简版)Word下载.doc

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析1）明确函数的结构（树形图）

这里，那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图，可以知道：

对的导数，有几条线通到“树梢”上的，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.

2）是的简写形式，它们与的结构相同，仍然是的函数.所以对求导数为

.

所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.

3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.

练1.设其中f具有二阶连续偏导数，求.

2.设其中f二阶可导，具有二阶连续偏导数，求.

2.多元函数极值

例1.求函数的极值.

解

（1）求驻点.由

得两个驻点，，

（2）求的二阶偏导数

，，

，

（3）讨论驻点是否为极值点

在处，有，，，，由极值的充分条件知不是极值点，不是函数的极值；

在处，有，，，，而，由极值的充分条件知为极大值点，是函数的极大值.

析1）这是二元函数无条件极值问题.

2）解题步骤：

第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；

第二步求目标函数的二阶导数；

第三步求出驻点的判别式，判断是否为极值点以及极大极小.

2.将正数12分成三个正数之和使得为最大.

解：

令，则

解得唯一驻点，故最大值为

析1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成

2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式

方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.

3.求函数在圆上的最大值与最小值.

解先求函数在圆内部可能的极值点.令

解得点，而.

再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数

解之得，而.

比较三值可知，在圆上函数最大值为，最小值为.

析1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.

2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算.

3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.

练1.求的极值.

2.证明函数有无穷多个极大值，但无极小值.

3.在椭球面的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.

4.求抛物线与直线之间的距离.

3.偏导数的几何应用

例1.求曲面平行于平面的切平面方程.

解令，

曲面在点处的法向量为

已知平面的法向量为，而切平面与已知平面平行，所以，从而有

，

（1）

又因为点在切面上，应满足曲面方程

（2）

（1）、

（2）联立解得切点为及，所以所求切平面方程为：

，

或.

析1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.

2）法向量的求法:

由曲面方程得.如果曲面方程为,那么,或.对应的法向量就为或.

3）注意不要把写成，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.

4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.

2.求曲线，在点处的切线及法平面方程.

解曲线方程为

取为自变量，则和看作的函数，即.那么曲线的切向量

方程组两边对求导，得

解得.

将点代入，得切向量为

所以曲线在点处的切线为

法平面为

析1）曲线方程为参数形式

在点处对应参数为，那么曲线在处的切向量为

由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为

法平面方程为

2）若曲线方程是一般式（隐函数形式）

则，那么曲线在处的切向量为

由于此公式较为复杂，我们经常从三个变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.

练1.设曲线绕轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点指向外侧的单位法向量.

2.求椭球面上某点处的切平面的方程，使过已知直线.

3.在曲线上求点，使该点处的切线平行于平面.

4.求曲线在点处的切线方程.

4.隐函数（组）导数

例1.设，求，.

解方程两端对求偏导数，得

即=；

方程两端对求偏导数，得

即=.

析当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将看成是三个自变量，，的函数，即，，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的.

2.设，求.

解方程组两端对求导，得

即

则，.

同样方程组两端对求导，得

.

析1）方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.

2）大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.

练1.设方程确定隐函数，求和.

2.设函数由方程确定,求和.

3.设,而是由方程所确定的函数,其中都具有一阶连续偏导数.求.

4.设，,其中都具有一阶连续偏导数.求，和.

5.偏导数及全微分

例1.设，求，.

解，

析1）利用一元函数求导即可.对其中变量求导,其余的自变量都看作常数.

2）也可利用多元复合函数求导公式求导.

2.已知，求.

解.于是，.

析1）此类题目“先代后求”,或“先求后代”.对于确定一点的一般选后一种方法.

2）另外分段函数在分界点处要用偏导数定义来求.

3.设，求

解设，则，

所以，，

从而=．

练1.设，求.

2.求在点处的全微分.

3.求的全微分.

4.证明函数

在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微．

6.方向导数级梯度

例求在的梯度及沿方向的方向导数.

解,

而

故,

则在处的梯度为.

又,故其方向余弦为

所以沿方向的方向导数为

析1）熟悉方向导数和梯度概念及求法.

2）需要注意的是只有在才可用求方向导数.如分段函数在分界点常用定义求出方向导数.

练设函数

求函数在点处沿方向的方向导数．

7.二重极限及累次极限

例1.讨论的收敛性.

解令

其值随的不同而变化，故极限不存在．

2..

练1.讨论二元函数

在点的二重极限及两个二次极限.

2.讨论函数

在点的连续性.

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