混频振荡器的耦合设计.docx

1、混频振荡器的耦合设计 混频振荡器的耦合设计Ioan Grosu,1 Ranjib Banerjee,2 Prodyot K. Roy,3 和 Syamal K. Dana2Gr. T. Popa医药学院生物工程系，罗马尼亚70115中心仪印度医学生物学研究所,院长学院，Kolkata 700032, 我们一般是用公式表示一个理想状态下的同步，非同步耦合函数，震荡消失和一个差值的混频震荡。耦合函数可分为单向耦合，相互耦合和矩阵耦合三种耦合类型。尤其是矩阵耦合能够在不同的状态变量反应系统中产生同步，非同步耦合函数，震荡消失。耦合的应用例子有spiking-bursting Hindmarsh-Ro

2、se的神经元模型Rssler 振荡器Lorenz 系统, Sprott 系统和一个双轴系统。我们用比例定律来定义一个同步转化的过程。介绍 动力学系统同步的概念可以解释许多自然系统和人工系统观察到的空间模型，耦合系统的集体反应。这些观察资料开创在复杂的生物系统潜在的应用，比如在心脏，大脑和工程系统里的弱磁场感应和安全通信。从应用的角度看，同步的控制和在动力学系统中协调反应的操作能力是很重要的。同步和失步的控制，与动力学大脑尤其重要。在耦合振荡器中相位同步的自动控制应该早点在工程学，生态学，医学中应用。最近，人们在探索理想状态的工程学，比如连续模型和失步在很多使用反馈控制的振荡器。用公式表示一个合

3、适的动力学耦合函数对实现和控制理想的协调反应，比如完全同步滞后于同步同步产生的PS和存在时间间隔的同步，显得很重要。耦合振荡器中的同步状态在相同的耦合器中实现耦合消失是另一个具有挑战性的任务。 我们用可以实现普通类型和混合类型的同步的混频耦合器的耦合函数公式得出一般公式。在普通同步类型中，所有的混频耦合器的状态变量获得同步的一种形式（CS,或AS）。在混合同步中，分离状态变量获得同步的微分方程。最近正尝试在一种适应性的方法在根据李雅普诺夫方程稳定性的相同耦合器来获得CS,AS共存。这种方法在数字研究和实用性受到限制。相反，我们用相加性开环和闭环方式描述一种更普遍的按自然规律可实现的耦合定义来获

4、得CS和AS，还可以在任何相同或差值的反应系统中产生AD。在近期的一份信中，我们发现单向的相加性开环和闭环耦合的一种延伸的实例与实验证明差值。这里，我们把单相耦合的详细信息加起来，再介绍在相同反应系统中的AD。我们获得了在任何独立系统都遵循比例定理的同步转换途径，更进一步延伸了实现AS的相互耦合定理。相互相加性开环和闭环耦合只对CS超前。然而，AS只在相互相加性开环和闭环耦合下被限制转化为动力学系统，这相类似于所说的在载普通线性单向耦合和相互耦合下对AS超前。最后，我们介绍矩阵类型单相耦合，用这种矩阵耦合，混频驱动器在反应系统中：例如，一对相似的状态变量能够产生AS，另一对状态变量能够产生CS

5、，然而另一个反应变量难以产生静止状态或AD，可以产生不同可能性的相关动力学结合。矩阵耦合在需要控制不同比例的化学成分的集中反应情况下在产业生产和催化作用中来获得一种理想的输出很用用处。结构如下：1相互相加性开环和闭环耦合理论2（1）显示关于ASCS和AD的相同振荡器的数字例子In Sec2（2）同步的转换路径和比例反应In Sec2（3）关于AS的相互相加性开环和闭环耦合（OPCL）In Sec。 3. In Sec。 4含有数字例子的矩阵耦合。5In Sec中总结的结果。OPCL耦合：单向单向的OPCL耦合在两个相同的混频振荡器中首先产生然后扩展其网络。为实现，和混频的放大和衰减我们扩展了差

6、值振荡器理论。耦合函数因差值的实例简单描述如下：混频驱动器被定义为其中包含了差值项。含参数的混频振荡器模型假定已知，它驱动另一个混频耦合器达到理想动态，其中是一常数。耦合后，反应系统 耦合函数被定义为 是动态系统的雅可比行列式，H是一个任意的n维方阵当f(x)可以用泰勒展开式表示，耦合系统的错误信号定义为e=x-g。 保留Eq中的一阶项来替换Eq，有误差的动态e=He由Eq获得。如果H为所有特征值都含有负实部的Hurwitz矩阵，e趋于0，t趋于0，我们就可以获得渐进稳定的同步。用来获得同步的耦合函数的重要性是由相互作用的振荡器的雅克比模型建立的H矩阵元素的选择。矩阵的元素 当 是常数时获得。

7、如果 存在任何状态变量，它就被一常数 替换。另一关于耦合函数定义的重要因素是参数值p的适当选择.它们的选择应满足劳斯-赫尔维兹准则，以确保所有特征值都含有负实部，这样H就被定义为Hurwitz矩阵。对于一个三维系统，H矩阵的特征方程为 其中a都为常数并且都大于0时求得劳斯-赫尔维兹准则，H矩阵的劳斯-赫尔维兹准则求完后，一个渐进稳定的同步可以甚至在参数差值的情况下也建立起来。目标动态中的常倍数 a 可以作为控制参数来实现另一种相关动态：CS(a=1),AS(a=-1),衰减()，放大()。当a=0时AD（震荡消失）也能产生。耦合的一般形式同步类型的转变和放大、衰减的控制就能完成。转换的能力在消

8、息编码中的应用具有很大的潜力。数字仿真：相同的耦合器 我们用一种spiking-bursting Hindmarsh-Rose神经元模型来详细叙述单向OPCL耦合， y(1)是膜电位，y(2),y(3)是关于快和慢的膜电流，I是偏压电流。雅克比式模型 逆矩阵，HR模型由上面解释的他的雅克比式获得H=我们把模型作为驱动器，另一个相同的HR系统作为响应，耦合函数用Eqs求得。求得HR耦合器耦合反应：为了Eq中的H矩阵成为Hurwitz矩阵，应该选择合适的参数(p1,p2)来满足HR准则，p(1)r+1,假定p（2）=0.为了仿真，我们分别选择p(1)=-1.5实现CS，a=1，-1来实现AS。图1

9、显示反应神经元和驱动神经元的，时间序列x(1),x(2)。选择a=0，驱动神经元可在单项反应神经元中产生AD和静止状态：尽管图中fig1显示的只有一个反应变量x(1),所有的反应变量下降到0幅度。另一种选择是选择 来产生衰减。然而，如果用那些驱动器不同状态下的反应变量：任何反应的状态变量保持谐振，在类似的驱动变量下发展成AS、DS，或另一种衰减状态甚至达到静止状态。 这为控制不同的同步提供了可能性，也就是神经元细胞膜两边的膜电压和快慢电流，维持着不同形式的同步数字仿真：差值的震荡器我们现在来描述Rossler系统的差值实例， 图1.HR耦合神经元模型：a=1.0, b=3.0, c=1.0,

10、d=5.0, S=5.0, r=0.003, I=4.1, and p1=1.5. Time，图a中时间序列x(1),y(1)和x(1)对y(1)a=1是的CS图。C图中时间序列y(1)(实线)x(1)（虚线），图d中显示的x(1)和y(1)当a=-1的AS。为了视觉清晰把图c中的x(1)缩减了。图e中的谐振y(1)和反应x(1)在0水平下确保为AD类型。 是参数的差。耦合函数用Eqs定义后，从Rossler模型的雅克比式中重新获得H矩阵，差值的震荡器耦合后的反应是： 注意用Eq的耦合含有非线性成分，另外，每个差值的参数都会存在线性耦合项目。在第一个例子中可看出，线性耦合项会因为相同的振荡器消

11、失。这种线性耦合在同步稳定中起着至关重要的作用。仍然会因为不同参数的选择下成为Hurwitz矩阵，其产生的不同的 =He和同步稳定会导致动态误差。对于电流仿真，我们在图2相位图中一系列可能值选择p(1)=10,p(2)=-10,参数空间会因为H矩阵的所有特征值含有负的实部存在暗区，我们可以在相位图中很容易地选择参数来实现AS或CS。类似的相位图因为H矩阵参数的不同选择来实现RH准则，相位图会移动成不同的动态系统。对于a=1,-1，这里只显示了时间序列x(1),y(1),但也适应其他驱动和反应的状态变量。注意，尽管Rossler振荡器不是反向对称系统，AS也可以形成。这个事实会随着轴对称Lore

12、nz系统的例子更进一步详述，含有差值的驱动Lorenz系统： 为差值，当耦合函数用Eqs.(2)和Eqs.(3)时系统获得Eq，Lorenz系统3维H矩阵获得： 然后耦合获得后的反应系统 尽管耦合用Eq表示显得复杂，但是可以通过H矩阵的合适参数来使耦合简化。当满足RH准则并且H成为Hurwitz矩阵时的典型选择是p(2)=0,p(3)=0,p(4)=0,p(1)1-r。为了进一步减少耦合的复杂性，除了r+ 驱动器应选择相同的反应。我们在Eq中插入一个调节变量 来核对像因为差值 的线性耦合作用。是同步的渐进稳定的关键值，成对的Lorenz系统的数字仿真的结果在图4中显示。时间序列x(1),y(1

13、)的图像，y(1)对x(1)的CS图（a=1时）和AS图（a=-1）.尽管图4中只显示了一个状态变量，但是所有的时间序列当a=-1时幅度相同，相位相反，因此在轴对称Lorenz系统中也适应。我们可以获得与文献知识相对立的完整AS，因此，单向的OPCL耦合控制只在反向对称系统可以获得AS的局限。下一步，我们举个含有一个二次非线性的Sprott系统的例子，另外一个作为驱动的差值Sprott系统：耦合后反应变成了：对实际应用会更加简单。Sprott系统通过重新插入一个 参数，连接电流仿真。驱动器和反应对于a=0.225, _a=0.025参数耦合前是混乱的。选择p=-1,在图5的左面，控制参数a=-

14、1,驱动和反应序列在AS状态下H成为了Hurwitz矩阵。右边的x(1)对y(1)的图也能保证AS状态。注意尽管不是一个反向对称系统，随着驱动器变化的所有的状态变量都在AS状态下。 同步转化途径正如上面讨论的，因为相同的振荡器只有非线性成分。另外在Rossler系统，Lorenz振荡器，和Sprott系统的例子中，如果差值与微分方程的线性项有关，那耦合是线性的。然而，如果差值参数与微分方程的非线性项有关耦合就是非线性的。而外，以线性电流为例，由于差值对于同步的影响，而耦合会对使种影响无效。为了解释同步转化过程的作用，我们已经在Eq中插入参数的 各自的Lorenz振荡器和Sprott系统。这个控

15、制参数 由两个关键值 协调：正负变量大小的差值。一个相似的函数 因不同的变量 用来评估驱动和反应之间的同步误差 相似函数是一个在相似的带任意延迟的驱动振荡器和反应振荡器的两个状态变量_x1 和 y1_之间的误差衡量的统计学。它作为同步的衡量标准，尤其在试验中非常有用。对于在耦合振荡器固有耦合强度，它表明随着延迟的变化而周期性变化，但有全局极小值。当全局极小值在.的有限值时相似函数识别LS。但是，当全局极小值也能依靠a值的符号鉴定CS和AS类型。它只需要驱动器和反应的相似的两个状态变量来评估在试验条件下测量有限接近同步误差时具有很大的优势。对于含有差值的Sprott系统中，当含有差值的Sprot

16、t系统，当时，我们用数字仿真时间序列，然后画出图6（a）中的的图形，来对每一个从0.5变到1.5的延迟（yiblilen）来估量相应的 当延迟为0时，对所有的yiblilen, min都是非零值,除了在的关键值处yiblilen 时min=0。当min=0时（=0），在关键值 =1时In()呈现很快下滑到最小值，这证实了同步。由于差值差值，参数（yiblilen）作为额外的线性耦合强度，任何线性耦合强度的compromise会使同步下降。正如图6（b）所示，Lorenz耦合系统重复过程中控制参数。的同步转化过程对任意系统和差值类型都是独立的。对于Lorenz系统，使yiblilen从0.8变到

17、1.2，注意到这种同步转化遵循一个独特的比例定理 当时倾斜，这种比例定理能对如图6(c),6(d)所示中各种的Lorenz系统和Sprott系统成立，对于其他系统，比如Rossler同样成立，无论是CS或AS转变也保持不变。如果我们仔细观察Eqs(14)和Eqs(17)，我们发现耦合加上了反应中的匹配项到驱动器的差值项，当反应和驱动相同时，反应中的匹配项实际上由yiblilen调制直到在关键值处保证同步。我们必须提到OPCL耦合的定义和方式与普通的线性耦合不同。在普通的线性耦合下，在关键耦合驱动的附近可以观察到转变或开关间歇。这种同步中差值导致的不稳定通过增强耦合强度来克服：在这过程中，随着增

18、强耦合强度，在差值的振荡器中出现PS和LS，几乎CS状态最终由强烈的耦合获得。然而，成对的振荡器甚至在同步获得后都会保持差值。另一方面，在OPCL耦合中，同步在关键值 处一旦被建立起来，成对的振荡器会变得相同。这是在OPCL耦合和普通线性耦合下的同步过程的显著不同，我们同样已经核对了 = 附近没有发现开关间断点。因此，OPCL耦合对成对的振荡器有内在的能力处理差值、通过协调控制参数yiblilen为稳定同步提供免疫。这种控制参数的协调能力可以用来评估参数。 OPCL方法：相互耦合相互影响的混频振荡器的OPCL耦合更早为了实现CS被研究，但那时没研究AS。现在我们把相互的OPCL耦合延伸到AS，

19、在OPCL耦合的两个相互影响的振子：耦合项定义为当s(t)=(x(t)+y(t)/2)时是多面的同步。由 =He和它0的错误解法产生的动态误差，或者通过选择合适的参数来满足HR准则的Hurwitz矩阵一旦确定同步将渐进稳定。在Ref19中详细呈现出数字结果。用相互耦合来实现AS，我们修改Eqs（20）和（21）中的耦合各自变成Eqs.(22)和Eqs.(23)当s(t)=(x(t)+y(t)/2)时是多面的同步。然而，对于AS模型系统的f(y)。.的对称转换的附加条件必须满足。当AS的误差状态为e=(x+y),动态误差遵循。=He，H矩阵是Hurwitz矩阵时同步稳定。真如上面提到的，在线性的

20、相互耦合和单向耦合下，对于AS，这种动态系统的对称转换的局限普遍存在，在单向的OPCL耦合下被禁止。对于数字性证明，我们用一个通过定义为的双轴系统的对称转换。这个系统是三次非线性，用适当的参数时显示一轴或二轴紊乱。OPCL相互耦合建立后，成对的双轴系统获得如下： AS双轴系统的数字结果在图7中显示出来了，保证AS，成对的振荡器的时间序列x(1)和y(1),y(1)对x(1)的图像。 OPCL耦合：矩阵类型现在我们来介绍OPCL耦合的矩阵类型。我们用单向耦合实现同步，当y(t)=y1 y2 y3是驱动状态并且a是一个常数时用Eq建立一个目标动态g(t)=ay(t).结果，因为驱动变量a值的选择，

21、所有反应系统的变量被迫成为了CS或AS状态，甚至a=0时反应变量产生AD状态。我们在不同的状态变量下通过定义一个新的目标动态g(t)用这个结果来同时获得CS、AS和AD剩下的原理和Sec.中所述很容易得到。注意对单向OPCL耦合Eq.(28)是Eq.(2)的一般形式；如果a相等，用两个类似的振荡器【 】可以吧Eq.(2)存在Eq.(28)中。为了图解说明，我们举个Sprott系统（15）的例子，耦合前反应和驱动系统被认为相同，因此，除了在Eq.(16)中的差值为0，各自在Eq.(15)和Eq.(16)中的模型保持不变。耦合后，反应变成对一个反应系统不同的状态变量，允许通过设置a(i)的目标动态

22、，如图8所示。当CS，AD在不同的反应变量状态实现AS。类似地，一些衰减和放大可以通过选择合适的参数a值来产生。像上面所提的，从实际应用（工业生产，反应系统的成分浓度可能下降、提高或者变成0）的角度看，矩阵耦合显得更有意思。神经元振荡器中，为了获得理想的神经元动态减小其他细胞膜电流，把可以关掉任何状态变量的作为细胞膜电压。总结 耦合函数的一般公式给出，在相同的耦合器和合差值的耦合器中，它能够以理想的反应如：CS、AS和AD作为对象。耦合函数由三种耦合方式（单向、相互、矩阵耦合）定义，这些是以Hurwitz矩阵的稳定性为根据。Hurwitz矩阵可以从动态系统雅克比式模型获得，产生渐进稳定的同步的

23、耦合的成功取决于Hurwitz矩阵参数的选择。在能控制CS和AS的耦合函数中引进另一个参数，因此，在实际中可以允许CS和AS的转变。spiking-bursting Hindmarsh-Rose的神经元模型的一个数字例子来解释两个相同的振荡器来图解说明耦合。在相同的反应系统中，振动停止和AD甚至也可以产生。由于实际上没有两个系统会完全相同，我们把耦合函数延伸到混频系统中。当在成对系统中调节参数是，在同步转换过程中的比例显得很有意思。我们更进一步把结果运用到混频系统中的相互耦合来实现AS，推断仅在OPCL相互耦合下的反向对称系统中AS状态某种程度的可能。最后，我们介绍了一个反应系统在不同状态变量下可能产生AS、CS和AD的矩阵耦合。如果提高或降低浓度，甚至在催化反应中消除另外一种成分来获得理想的终产物，这在工业生产中有潜在的应用性。耦合也能在其他报导中的两种动态网络中结果实现和。我们总结出了，数学上的公式看上去复杂，耦合同样可以按规律实现并且可能在实际中应用。