（2）=0.为了仿真，我们分别选择p
（1）=-1.5实现CS，a=1，-1来实现AS。
图1显示反应神经元和驱动神经元的，时间序列x
（1）,x
（2）。
选择a=0，驱动神经元可在单项反应神经元中产生AD和静止状态：
尽管图中fig1显示的只有一个反应变量x
（1）,所有的反应变量下降到0幅度。
另一种选择是选择来产生衰减。
然而，如果用那些驱动器不同状态下的反应变量：
任何反应的状态变量保持谐振，在类似的驱动变量下发展成AS、DS，或另一种衰减状态甚至达到静止状态。
这为控制不同的同步提供了可能性，也就是神经元细胞膜两边的膜电压和快慢电流，维持着不同形式的同步
数字仿真：
差值的震荡器
我们现在来描述Rossler系统的差值实例，
图1.HR耦合神经元模型：
a=1.0,b=3.0,c=1.0,d=5.0,S=5.0,r=0.003,I=4.1,andp1=−1.5.Time，图a中时间序列x
（1）,y
（1）和x
（1）对y
（1）a=1是的CS图。
C图中时间序列y
（1）（实线）x
（1）（虚线），图d中显示的x
（1）和y
（1）当a=-1的AS。
为了视觉清晰把图c中的x
（1）缩减了。
图e中的谐振y
（1）和反应x
（1）在0水平下确保为AD类型。
是参数的差。
耦合函数用Eqs定义后，从Rossler模型的雅克比式中重新获得H矩阵，差值的震荡器耦合后的反应是：
注意用Eq的耦合含有非线性成分，另外，每个差值的参数都会存在线性耦合项目。
在第一个例子中可看出，线性耦合项会因为相同的振荡器消失。
这种线性耦合在同步稳定中起着至关重要的作用。
仍然会因为不同参数的选择下成为Hurwitz矩阵，其产生的不同的˙=He和同步稳定会导致动态误差。
对于电流仿真，我们在图2相位图中一系列可能值选择p
（1）=10,p
（2）=-10,参数空间会因为H矩阵的所有特征值含有负的实部存在暗区，我们可以在相位图中很容易地选择参数来实现AS或CS。
类似的相位图因为H矩阵参数的不同选择来实现RH准则，相位图会移动成不同的动态系统。
对于a=1,-1，这里只显示了时间序列x
（1）,y
（1）,但也适应其他驱动和反应的状态变量。
注意，尽管Rossler振荡器不是反向对称系统，AS也可以形成。
这个事实会随着轴对称Lorenz系统的例子更进一步详述，
含有差值的驱动Lorenz系统：
为差值，当耦合函数用Eqs.
（2）和Eqs.（3）时系统获得Eq，Lorenz系统3维H矩阵获得：
然后耦合获得后的反应系统
尽管耦合用Eq表示显得复杂，但是可以通过H矩阵的合适参数来使耦合简化。
当满足RH准则并且H成为Hurwitz矩阵时的典型选择是p
（2）=0,p（3）=0,p（4）=0,p
（1）<1-r。
为了进一步减少耦合的复杂性，除了r+驱动器应选择相同的反应。
我们在Eq中插入一个调节变量来核对像因为差值的线性耦合作用。
是同步的渐进稳定的关键值，成对的Lorenz系统的数字仿真的结果在图4中显示。
时间序列x
（1）,y
（1）的图像，y
（1）对x
（1）的CS图（a=1时）和AS图（a=-1）.尽管图4中只显示了一个状态变量，但是所有的时间序列当a=-1时幅度相同，相位相反，因此在轴对称Lorenz系统中也适应。
我们可以获得与文献知识相对立的完整AS，因此，单向的OPCL耦合控制只在反向对称系统可以获得AS的局限。
下一步，我们举个含有一个二次非线性的Sprott系统的例子，
另外一个作为驱动的差值Sprott系统：
耦合后反应变成了：
对实际应用会更加简单。
Sprott系统通过重新插入一个参数，连接电流仿真。
驱动器和反应对于a=0.225,_a=0.025参数耦合前是混乱的。
选择p=-1,在图5的左面，控制参数a=-1,驱动和反应序列在AS状态下H成为了Hurwitz矩阵。
右边的x
（1）对y
（1）的图也能保证AS状态。
注意尽管不是一个反向对称系统，随着驱动器变化的所有的状态变量都在AS状态下。
同步转化途径
正如上面讨论的，因为相同的振荡器只有非线性成分。
另外在Rossler系统，Lorenz振荡器，和Sprott系统的例子中，如果差值与微分方程的线性项有关，那耦合是线性的。
然而，如果差值参数与微分方程的非线性项有关耦合就是非线性的。
而外，以线性电流为例，由于差值对于同步的影响，而耦合会对使种影响无效。
为了解释同步转化过程的作用，我们已经在Eq中插入参数的
各自的Lorenz振荡器和Sprott系统。
这个控制参数由两个关键值协调：
正负变量大小的差值。
一个相似的函数因不同的变量用来评估驱动和反应之间的同步误差
相似函数是一个在相似的带任意延迟的驱动振荡器和反应振荡器的两个状态变量_x1和y1_之间的误差衡量的统计学。
它作为同步的衡量标准，尤其在试验中非常有用。
对于在耦合振荡器固有耦合强度，它表明随着延迟的变化而周期性变化，但有全局极小值
。
当全局极小值在
.的有限值时相似函数识别LS。
但是，当全局极小值
也能依靠a值的符号鉴定CS和AS类型。
它只需要驱动器和反应的相似的两个状态变量来评估在试验条件下测量有限接近同步误差时具有很大的优势。
对于含有差值的Sprott系统中，当含有差值的Sprott系统，当
时，我们用数字仿真时间序列，然后画出图6（a）中的
的图形，来对每一个从0.5变到1.5的延迟（yiblilen）来估量相应的
当延迟为0时，对所有的yiblilen,min都是非零值,除了在的关键值处yiblilen
时min=0。
当min=0时（=0），在关键值=1时In（）呈现很快下滑到最小值，这证实了同步。
由于差值差值，参数（yiblilen）作为额外的线性耦合强度，任何线性耦合强度的compromise会使同步下降。
正如图6（b）所示，Lorenz耦合系统重复过程中控制参数。
。
的同步转化过程对任意系统和差值类型都是独立的。
对于Lorenz系统，使yiblilen从0.8变到1.2，注意到这种同步转化遵循一个独特的比例定理
当
时倾斜，这种比例定理能对如图6（c）,6（d）所示中各种的Lorenz系统和Sprott系统成立，对于其他系统，比如Rossler同样成立，无论是CS或AS转变也保持不变。
如果我们仔细观察Eqs（14）和Eqs（17），我们发现耦合加上了反应中的匹配项到驱动器的差值项，当反应和驱动相同时，反应中的匹配项实际上由yiblilen调制直到在关键值
处保证同步。
我们必须提到OPCL耦合的定义和方式与普通的线性耦合不同。
在普通的线性耦合下，在关键耦合驱动的附近可以观察到转变或开关间歇。
这种同步中差值导致的不稳定通过增强耦合强度来克服：
在这过程中，随着增强耦合强度，在差值的振荡器中出现PS和LS，几乎CS状态最终由强烈的耦合获得。
然而，成对的振荡器甚至在同步获得后都会保持差值。
另一方面，在OPCL耦合中，同步在关键值
处一旦被建立起来，成对的振荡器会变得相同。
这是在OPCL耦合和普通线性耦合下的同步过程的显著不同，我们同样已经核对了=附近没有发现开关间断点。
因此，OPCL耦合对成对的振荡器有内在的能力处理差值、通过协调控制参数yiblilen为稳定同步提供免疫。
这种控制参数的协调能力可以用来评估参数。
OPCL方法：
相互耦合
相互影响的混频振荡器的OPCL耦合更早为了实现CS被研究，但那时没研究AS。
现在我们把相互的OPCL耦合延伸到AS，在OPCL耦合的两个相互影响的振子：
耦合项定义为
当s（t）=（x（t）+y（t）/2）时是多面的同步。
由=He和它0的错误解法产生的动态误差，或者通过选择合适的参数来满足HR准则的Hurwitz矩阵一旦确定同步将渐进稳定。
在Ref[19]中详细呈现出数字结果。
用相互耦合来实现AS，我们修改Eqs（20）和（21）中的耦合各自变成Eqs.（22）和Eqs.（23）
当s（t）=（x（t）+y（t）/2）时是多面的同步。
然而，对于AS模型系统的f（y）…。
。
.的对称转换的附加条件必须满足。
当AS的误差状态为e=（x+y）,动态误差遵循。
=He，H矩阵是Hurwitz矩阵时同步稳定。
真如上面提到的，在线性的相互耦合和单向耦合下，对于AS，这种动态系统的对称转换的局限普遍存在，在单向的OPCL耦合下被禁止。
对于数字性证明，我们用一个通过定义为
的双轴系统的对称转换。
这个系统是三次非线性，用适当的参数时显示一轴或二轴紊乱。
OPCL相互耦合建立后，成对的双轴系统获得如下：
AS双轴系统的数字结果在图7中显示出来了，保证AS，成对的振荡器的时间序列x
（1）和y
（1）,y
（1）对x
（1）的图像。
OPCL耦合：
矩阵类型
现在我们来介绍OPCL耦合的矩阵类型。
我们用单向耦合实现同步，当y（t）=[y1y2y3]是驱动状态并且a是一个常数时用Eq建立一个目标动态g（t）=ay（t）.结果，因为驱动变量a值的选择，所有反应系统的变量被迫成为了CS或AS状态，甚至a=0时反应变量产生AD状态。
我们在不同的状态变量下通过定义一个新的目标动态g（t）用这个结果来同时获得CS、AS和AD
剩下的原理和Sec.Ⅱ中所述很容易得到。
注意对单向OPCL耦合Eq.（28）是Eq.
（2）的一般形式；如果a相等，用两个类似的振荡器【】可以吧Eq.
（2）存在Eq.（28）中。
为了图解说明，我们举个Sprott系统（15）的例子，耦合前反应和驱动系统被认为相同，因此，除了在Eq.（16）中的差值为0，各自在Eq.（15）和Eq.（16）中的模型保持不变。
耦合后，反应变成
对一个反应系统不同的状态变量，允许通过设置a（i）的目标动态，如图8所示。
当CS，AD在不同的反应变量状态实现AS。
类似地，一些衰减和放大可以通过选择合适的参数a值来产生。
像上面所提的，从实际应用（工业生产，反应系统的成分浓度可能下降、提高或者变成0）的角度看，矩阵耦合显得更有意思。
神经元振荡器中，为了获得理想的神经元动态减小其他细胞膜电流，把可以关掉任何状态变量的作为细胞膜电压。
总结
耦合函数的一般公式给出，在相同的耦合器和合差值的耦合器中，它能够以理想的反应如：
CS、AS和AD作为对象。
耦合函数由三种耦合方式（单向、相互、矩阵耦合）定义，这些是以Hurwitz矩阵的稳定性为根据。
Hurwitz矩阵可以从动态系统雅克比式模型获得，产生渐进稳定的同步的耦合的成功取决于Hurwitz矩阵参数的选择。
在能控制CS和AS的耦合函数中引进另一个参数，因此，在实际中可以允许CS和AS的转变。
spiking-burstingHindmarsh-Rose的神经元模型的一个数字例子来解释两个相同的振荡器来图解说明耦合。
在相同的反应系统中，振动停止和AD甚至也可以产生。
由于实际上没有两个系统会完全相同，我们把耦合函数延伸到混频系统中。
当在成对系统中调节参数是，在同步转换过程中的比例显得很有意思。
我们更进一步把结果运用到混频系统中的相互耦合来实现AS，推断仅在OPCL相互耦合下的反向对称系统中AS状态某种程度的可能。
最后，我们介绍了一个反应系统在不同状态变量下可能产生AS、CS和AD的ＯＰＣＬ矩阵耦合。
如果提高或降低浓度，甚至在催化反应中消除另外一种成分来获得理想的终产物，这在工业生产中有潜在的应用性。
ＯＰＣＬ耦合也能在其他报导中的两种动态网络中结果实现ＡＳ和ＡＤ。
我们总结出了，数学上的公式看上去复杂，耦合同样可以按规律实现并且可能在实际中应用。
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