微积分总结下册.docx

1、微积分总结下册 微积分(B II）总结hapter 8 多元函数微分学8、1 多元函数得极限先瞧极限就是否存在(一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点(给定方向必须当x满足极限过程时，也满足极限过程)）。如果存在,能先求得先求,能用等价无穷小替换得就替换,最后考虑夹逼准则。8、2 偏导数点导数定义(多用于分段函数得分界点)例:求，就就是求分段函数得点偏导数在连续,但偏导数不一定存在(如:锥）、3全微分函数可微,则偏导数必存在(逆否命题可证明函数不可微,证明时,把右边前两项移到左边,瞧它就是不就是得高阶无穷小）例：对于某一点处得全微分,也可能要用到点导数。、4多元复合函数求导8、4、1链式

2、求导法则链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。而所谓函数对第一中间变量求偏导就就是说另外把两个中间变量瞧做不变。小心:中间变量要带入,例：(在计算z对得偏导时,相当于把,t瞧做不变)这里得u,v要带入(第三行）,并且z就是具体得函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来8、4、隐函数求偏导全微分性质得不变性例:用全微分形式得不变性两边同时取全微分,相当于（xy)为中间变量,求出全微分后,直接出偏导想象z（x,y）即z就是复合函数,两边对x，y求导也能得出来（较慢)8、5 隐函数求导公式8、5、1 一个方程分母上得做函数,分子上得做一个自变量,对分子上得求

3、偏导如:若求偏x,那就把方程瞧成z=z(x,)对z求导。注意,yy独立,然而对,y求导不就是08、5、 方程组观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自由变量。让求，就就是把方程组瞧成u=u(x,y）,v(x,y), 上下对求导。(把分母上得变量瞧做函数)8、6空间曲线得几何应用8、1空间曲线得切线与法平面特殊地，无论方程如何给出,弄出对x或对t得导数十分关键。注意,在某点处得切线方程在瞧方向向量时要把那个点带入8、2曲面得切平面与法线,特殊地8、6、3 方向导数与梯度即梯度与所给方向得方向向量得点积记住,如果求某一点得方向导数,要求得两个偏导数就就是点偏导数如果用此公式，需要z有一阶连续

4、偏导数。当得方向与梯度得方向一致时,方向导数得值最大,为梯度得摸8、 多元函数得极值8、1多元函数极值极值取在驻点处，或者在不可微得点处如果出现(3）得情况,需要回归定义,8、7、2多元函数最值加上定义域边界上得值,与函数得极值比较对于定义域无界得情况,要考虑x,y逼近于无穷8、3拉格朗日乘数法（条件极值）构造方程,其中(x,y）为驻点记住:相当于构造,每一个方程就就是对每个自变量求导,然后再加上约束条件(也就就是对lamba求偏导)。求导时,一定要对也求偏导。至于这里得驻点如何为极值点，需要人为验证(回归定义）如何解方程:对于只有一个约束条件得方程前几个不带约束条件得方程对称性很好,因此先通

5、过第一个方程解出lamda,然后带入后面几个方程(不包含带有约束条件得方程）,可以解出,z得关系（一般就是比例关系)。可以把与z都用x表示。然后带入含有约束条件得方程。（稳赚不赔得傻瓜解法)对于由两个约束条件得方程,可以通过前面（不包含约束条件得)方程解出lambda1与2得关系，然后削去其中一个,然后再按只有一个约束条件处理。(但这样得问题更需要具体分析)chapter 重积分、二重积分判断二重积分得符号:如果被积函数在D中处处小于0，那么积分值小于0二重积分相当于求平面片得质量,而被积函数相当于某一点处得密度。这样,根据被积函数得对称性与积分区域得对称性很容易理解二重积分得对称性。如果被积

6、函数为1,相当于求平面片得面积。(直角坐标)极坐标9、2二重积分得应用9、2、1求曲面得面积如果可以投影到xoy面，即可以有函数z=z（x,y)如果偏导数不好求，直接求法向量,直接求方向角带入第一个等式即可。其她面同理,求曲面面积时,一定要把曲面所在得卦限想全。如下图,曲面在一二五六卦限都有。如果只就是用上面公式向x投影，就只能得出一半得答案。这两个面围成得曲面并不就是得函数,分成上下两片每一片才就是z得函数,这就就是错误得原因。对于用参数方程表示得区域得二重积分先设对于x得函数为(x）,把二重积分用直角坐标表示出来。把二重积分化为定积分后,再用二重积分换元法,换成t,记住,换元必换限。、2、

7、2转动惯量、 三重积分解三重积分考虑几个问题:直角坐标、柱面坐标、球坐标?通过积分区域与被积函数选择直角坐标:Ste1：先一后二还就是先二后一?先二后一:一般情况下当被积函数只有一个变量，积分采用先二后一。含谁,谁就作为“一”。然后即可解出。对于先一后二，进入下一步。Ste2 :对称性有没有？瞧被积函数整体有没有,或者整理后某一项有没有（如果有且这一项积出来就是0,那很好）,如:,打开后如果被积区域就是关于oz面对称,那么含得交叉项就为、记住,如果积分变得复杂,那么可能就是刚开始没有考虑对称性。被积函数只要出现了加减法,就对每一个部分考虑对称性。Ste3：选择一个投影面,最好这个投影面上得每一

8、点引出这个面得垂线与区域边界面相交不多于两点。ep4：画出投影面直角坐标:画出xoy或yoz或xoz投影，在确定另一个变量得范围。另一个变量如果范围在投影区域内不相同,那么要把投影面分片柱面坐标:先,后定下来了,瞧r得范围,如果对于不同得、r有不同得值，那么就要把分段。对于其她变量也就是,d了它,它就定了。：投影面上点距坐标原点得距离球坐标:空间上得点距坐标原点距离与柱坐标相同,球坐标先，再,最后dr,注意,如果对于每个前面得变量,后面得变量得范围不同,就需要分段hater 0曲线积分与曲面积分记住,曲线积分，关键就是找曲线得参数方程。方法论尤其就是当曲线由两个三元方程组甚至三个四元方程组给出

9、时,除了要想通过其中一个方程把积分表达式化繁为简以外，还要想到用参数方程。10、1 第一类曲线积分求曲线弧段得质量，求准线为曲线得柱面得面积f(x,y)为曲线得线密度一代二定限,上界一定大于下界所谓代，可以全换成x，可以全换成y,可以曲线得直角坐标方程化为以为自由变量得参数方程,可以在一般式（方程组）中带入一个方程。一代二定限三ds10、 第二类曲线积分基本计算法:一代(代参数方程,代与得关系方程,代一般式方程)，二定向,三定限两类曲线积分也有关系，如果曲线与得每一点得有向曲线元为定值或者特别好算,就可以直接把第二类曲线积分化为第一类曲线积分。10、3 格林公式格林公式沟通了封闭曲线得第二类曲

10、线积分与二重积分前提:封闭得在坐标平面上得曲线用格林公式时，必保证P,Q有定义,否则要扣除无定义得点。以此为考点很容易出分类讨论,此类问题中,所给曲线一般不固定。如：(不经过原点)，就要讨论原点在区域内得情况。应用格林公式还能计算平面得面积第二类曲线积分与路径无关得条件:为但连通区域,函数P、在内有一阶连续偏导数。又因为曲线积分与路径无关,所以求u得最简单方法就就是选取一条路径，求曲线积分得值(起点为（0,),终点为(x,y)）,求出来得原函数要+C0、4 第一类曲面积分一代（比如,如果向xy面投影带入),二投,三dS(这一步一定要记住,这不就是平面积分)10、 第二类曲面积分曲面得侧:非封闭

11、曲面向坐标轴正向得一面为正侧。如:上正下负,正负在曲面积分被化为二重积分时取。注意,如果在这里认为取正负号,那么在算法向量时,z得系数一定为-(一代二投三定侧)第二类曲面积分得物理意义就是以被积区域为曲面得流量。，,为流速场向量。两类曲面积分之间得关系此后,可以只用ddy或ddz或dxdz表示,于就是把混合型得曲面积分化成了单一型。0、6高斯公式 通量与散度这里暗取了曲面得外侧，如果取内侧,需要加负号散度:某一点得散度就是一个数称为向量场向正向穿过得通量、7 斯托克斯公式、环流量与旋度封闭空间曲线(当然包含平面曲线)得曲线积分与曲面得曲面积分之间得关系等式左右两边就表示向量场(P,，)沿曲线所

12、取方向得环流量旋度就是一个向量1、几种曲面积分得解题方法第一类曲面积分第一类曲面积分就就是再求一个以密度为被积函数得曲面得质量,那么,解法如下:如果被积函数就是两种形式相加,瞧其中一个，有可能它就是0(对称性)、把曲面瞧成就是以其中两个变量为自变量,另外一个就是因变量得函数。如果不能瞧成函数或者这个函数很复杂,再考虑对称性,只取这个曲面得一个重复单元,变成函数。 求面积元素带入,化为二重积分，完成。第二类曲面积分如果曲面封闭或者接近封闭，直接进入下一步。否则进入第五步。曲面就是否封闭？如果不封闭要添加辅助曲面用高斯公式,小心符号还没有完!！再算辅助曲面得曲面积分!！相加减完成。用对称性或可加性

13、,把曲面变成函数如果瞧成z（,）,那么要投影并带入,而且把组合形式化成xy得形式,此时,再瞧符号。(再算法向量时,不考虑符号,令（x,y,z)=-z（x,)chater 11无穷级数11、1常数项级数1、1、1 几个常见得常数项级数等比级数否则发散p级数p收敛11、1、2 级数收敛性质收敛,则收敛收敛,则收敛，且逆亦真没括号收敛,则加括号收敛;加括号发散,则没括号发散收敛必要条件=(反过来不对，调与级数一般项为0,但发散)1、2常数项级数审敛法操作方法,直到判断完成:1就是正项级数吗？如果就是交错级数或任意项级数可不可以加一个绝对值来证明绝对值收敛?2可以拆分吗？如果一般项由两项之与相加形成,

14、且预期两项都可以使级数发散或收敛,把她们拆开。审敛法一般审单项式对于每一个单项式,要进行以下操作:3收敛级数得必要条件4比值审敛法,根值审敛法有阶乘得,有不带多余项得指数项得都好用如：根值适合有指数项得一般项5极限审敛法乘以,乘以n得p次方,对于：这种形式非常有用6放缩、比较审敛法比较审敛法得极限形式考虑多项式中当n趋于无穷时得主要项，与主要项做比值如：与做比值比较审敛法放缩：在这里,把n换成与n相关得结果大于等于得多项式,依然要会用放缩技巧,想证明发散就往小了放:，亦然0改成小于号就行了如果从某项(有限项)之后,这个不等式才成立,那么扔掉前面那些项7继续进入第步11、2、 正项级数正项级数收

15、敛部分与数列有界级数收敛得必要条件比较审敛法放缩级数,大得收敛,小得收敛；小得发散，大得发散比较审敛法极限形式：极限审敛法比值审敛法(达郎贝尔判别法)根值审敛法、11、2、交错级数交错级数就是指一正一负,如果一般项并不单调减小,而就是在某个n之后单调减小，那么把前面得那些项扔掉11、2、 任意项级数同样，若去掉绝对值发散,加上绝对值发散加上绝对值后瞧敛散性，可以用正项级数审敛法1、函数项级数瞧发散域求发散域求收敛域边界处带入,转化为常数项级数探讨收敛性 幂级数注意幂级数得这几项特征:首先,an部分不能与x有关,还有(x-0）处得幂就是次幂,如果不就是,需要把这个级数还原转化。解决幂级数收敛半径、后项与前项系数之比得绝对值,或一般项系数得开n次方,一定要取倒数、用达朗贝尔判别法,解,求出来得x范围直接对应收敛半径。等于处要特殊判断幂级数求与可拆开,也可逐项求导求积分11、4泰勒级数泰勒级数得一般表示: 展开式(00）与式极限收敛区间就是否能泰勒展开：11、5傅里叶级数傅里叶级数使我们用连续函数近似代替一个周期函数狄利克雷收敛定理