微积分总结下册.docx

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微积分总结下册

　　微积分（BII）总结

ｃhapter8多元函数微分学

8、1多元函数得极限

先瞧极限就是否存在（一个方向组（y=kx）或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时，ｙ也满足极限过程））。

如果存在,能先求得先求,能用等价无穷小替换得就替换,最后考虑夹逼准则。

8、2偏导数

点导数定义（多用于分段函数得分界点）

例:

求，就就是求分段函数得点偏导数

在连续,但偏导数不一定存在（如:

锥）

８、3　全微分

函数可微,则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微,证明时,把右边前两项移到左边,瞧它就是不就是得高阶无穷小）

例：

对于某一点处得全微分,也可能要用到点导数。

８、4多元复合函数求导

8、4、1链式求导法则

链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。

而所谓函数对第一中间变量求偏导就就是说另外把两个中间变量瞧做不变。

小心:

中间变量要带入,例：

（在计算z对ｕ得偏导时,相当于把ｖ,t瞧做不变）

这里得u,v要带入（第三行）,并且z就是具体得函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来

8、4、２隐函数求偏导

全微分性质得不变性

例:

①用全微分形式得不变性

两边同时取全微分,相当于（－xy）为中间变量,求出全微分后,直接出偏导

②想象ｚ＝z（x,y）即z就是复合函数,两边对x，y求导也能得出来（较慢）

8、5隐函数求导公式

8、5、1一个方程

分母上得做函数,分子上得做一个自变量,对分子上得求偏导

如:

若求偏x,那就把方程瞧成z=z（x,ｙ）对z求导。

注意,ｘ,yy独立,然而ｚ对ｘ,y求导不就是0

8、5、２方程组

观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自由变量。

让求，就就是把方程组瞧成u=u（x,y）,v＝ｖ（x,y）,上下对ｙ求导。

（把分母上得变量瞧做函数）

8、6空间曲线得几何应用

8、６、1空间曲线得切线与法平面

特殊地，

无论方程如何给出,弄出对x或对t得导数十分关键。

注意,在某点处得切线方程在瞧方向向量时要把那个点带入

8、６、2曲面得切平面与法线

特殊地

8、6、3方向导数与梯度

即梯度与所给方向ｌ得方向向量得点积

记住,如果求某一点得方向导数,要求得两个偏导数就就是点偏导数

如果用此公式，需要z有一阶连续偏导数。

当ｌ得方向与梯度得方向一致时,方向导数得值最大,为梯度得摸

8、７多元函数得极值

8、７、1多元函数极值

极值取在驻点处，或者在不可微得点处

如果出现（3）得情况,需要回归定义,

8、7、2多元函数最值

加上定义域边界上得值,与函数得极值比较

对于定义域无界得情况,要考虑x,y逼近于无穷

8、７、3拉格朗日乘数法（条件极值）

构造方程,其中（x,y）

为驻点

记住:

相当于构造,每一个方程就就是对每个自变量求导,然后再加上约束条件（也就就是对lambｄa求偏导）。

求导时,一定要对也求偏导。

至于这里得驻点如何为极值点，需要人为验证（回归定义）

如何解方程:

对于只有一个约束条件得方程前几个不带约束条件得方程对称性很好,因此先通过第一个方程解出lamｂda,然后带入后面几个方程（不包含带有约束条件得方程）,可以解出ｘ,ｙ,z得关系（一般就是比例关系）。

可以把ｙ与z都用x表示。

然后带入含有约束条件得方程。

（稳赚不赔得傻瓜解法）

对于由两个约束条件得方程,可以通过前面（不包含约束条件得）方程解出lambda1与2得关系，然后削去其中一个,然后再按只有一个约束条件处理。

（但这样得问题更需要具体分析）

chapter９重积分

９、１二重积分

判断二重积分得符号:

如果被积函数在D中处处小于0，那么积分值小于0

二重积分相当于求平面片得质量,而被积函数相当于某一点处得密度。

这样,根据被积函数得对称性与积分区域得对称性很容易理解二重积分得对称性。

如果被积函数为1,相当于求平面片得面积。

（直角坐标）

极坐标

9、2二重积分得应用

9、2、1求曲面得面积

如果可以投影到xoy面，即可以有函数z=z（x,y）

如果偏导数不好求，直接求法向量,直接求方向角带入第一个等式即可。

其她面同理,求曲面面积时,一定要把曲面所在得卦限想全。

如下图,曲面在一二五六卦限都有。

如果只就是用上面公式向xｏｙ投影，就只能得出一半得答案。

这两个面围成得曲面并不就是ｚ得函数,分成上下两片每一片才就是z得函数,这就就是错误得原因。

对于用参数方程表示得区域得二重积分

先设ｙ对于x得函数为ｙ（x）,把二重积分用直角坐标表示出来。

把二重积分化为定积分后,再用二重积分换元法,换成t,记住,换元必换限。

９、2、2转动惯量

９、３三重积分

解三重积分考虑几个问题:

直角坐标、柱面坐标、球坐标?

通过积分区域与被积函数选择

直角坐标:

Steｐ1：

先一后二还就是先二后一?

先二后一:

一般情况下当被积函数只有一个变量，积分采用先二后一。

含谁,谁就作为“一”。

然后即可解出。

对于先一后二，进入下一步。

Steｐ2:

对称性有没有？

瞧被积函数整体有没有,或者整理后某一项有没有（如果有且这一项积出来就是0,那很好）,如:

打开后如果被积区域就是关于ｙoz面对称,那么含ｘ得交叉项就为０、

记住,如果积分变得复杂,那么可能就是刚开始没有考虑对称性。

被积函数只要出现了加减法,就对每一个部分考虑对称性。

Steｐ3：

选择一个投影面,最好这个投影面上得每一点引出这个面得垂线与区域边界面相交不多于两点。

Ｓｔep4：

画出投影面

直角坐标:

画出xoy或yoz或xoz投影，在确定另一个变量得范围。

另一个变量如果范围在投影区域内不相同,那么要把投影面分片

柱面坐标:

先,后定下来了,瞧r得范围,如果对于不同得、r有不同得值，那么就要把分段。

对于其她变量也就是,d了它,它就定了。

ｒ：

投影面上点距坐标原点得距离

球坐标:

ﻫｒ:

空间上得点距坐标原点距离

与柱坐标相同,球坐标先，再,最后dr,注意,如果对于每个前面得变量,后面得变量得范围不同,就需要分段

ｃhaｐter１0　曲线积分与曲面积分

记住,曲线积分，关键就是找曲线得参数方程。

——方法论

尤其就是当曲线由两个三元方程组甚至三个四元方程组给出时,除了要想通过其中一个方程把积分表达式化繁为简以外，还要想到用参数方程。

10、1第一类曲线积分

求曲线弧段得质量，求准线为曲线得柱面得面积

f（x,y）为曲线得线密度

一代二定限,上界一定大于下界

所谓代，可以全换成x，可以全换成y,可以曲线得直角坐标方程化为以ｔ为自由变量得参数方程,可以在一般式（方程组）中带入一个方程。

一代二定限三ds

10、２第二类曲线积分

基本计算法:

一代（代参数方程,代ｙ与ｘ得关系方程,代一般式方程），二定向,三定限

两类曲线积分也有关系，如果曲线与得每一点得有向曲线元为定值或者特别好算,就可以直接把第二类曲线积分化为第一类曲线积分。

10、3格林公式

格林公式沟通了封闭曲线得第二类曲线积分与二重积分

前提:

封闭得在坐标平面上得曲线

用格林公式时，必保证P,Q有定义,否则要扣除无定义得点。

以此为考点很容易出分类讨论,此类问题中,所给曲线一般不固定。

如：

（Ｌ不经过原点），就要讨论原点在区域内得情况。

应用格林公式还能计算平面得面积

第二类曲线积分与路径无关得条件:

Ｇ为但连通区域,函数P、Ｑ在Ｇ内有一阶连续偏导数。

又因为曲线积分与路径无关,所以求u得最简单方法就就是选取一条路径，求曲线积分得值（Ｌ起点为（0,０）,终点为（x,y））,求出来得原函数要+C

１0、4第一类曲面积分

一代（比如,如果向xｏy面投影带入ｚ）,二投,三dS（这一步一定要记住,这不就是平面积分）

10、５第二类曲面积分

曲面得侧:

非封闭曲面向坐标轴正向得一面为正侧。

如:

上正下负,正负在曲面积分被化为二重积分时取。

注意,如果在这里认为取正负号,那么在算法向量时,z得系数一定为-１（一代二投三定侧）

第二类曲面积分得物理意义就是以被积区域为曲面得流量。

Ｐ，Ｑ,Ｒ为流速场向量。

两类曲面积分之间得关系

此后,ｄＳ可以只用dｘdy或dｙdz或dxdz表示,于就是把混合型得曲面积分化成了单一型。

１0、6　高斯公式通量与散度

这里暗取了曲面得外侧，如果取内侧,需要加负号

散度:

某一点得散度就是一个数

称为向量场向正向穿过得通量

１０、7斯托克斯公式、环流量与旋度

封闭空间曲线（当然包含平面曲线）得曲线积分与曲面得曲面积分之间得关系

等式左右两边就表示向量场（P,Ｑ，Ｒ）沿曲线Ｃ所取方向得环流量

旋度就是一个向量

1０、８几种曲面积分得解题方法

第一类曲面积分

第一类曲面积分就就是再求一个以密度为被积函数得曲面得质量,那么,解法如下:

①如果被积函数就是两种形式相加,瞧其中一个，有可能它就是0（对称性）、

②把曲面瞧成就是以其中两个变量为自变量,另外一个就是因变量得函数。

如果不能瞧成函数或者这个函数很复杂,再考虑对称性,只取这个曲面得一个重复单元,变成函数。

③求面积元素带入,化为二重积分，完成。

第二类曲面积分

①如果曲面封闭或者接近封闭，直接进入下一步。

否则进入第五步。

②曲面就是否封闭？

如果不封闭要添加辅助曲面

③用高斯公式,小心符号

④还没有完!

!

！

再算辅助曲面得曲面积分!

!

！

相加减完成。

⑤用对称性或可加性,把曲面变成函数

⑥如果瞧成ｚ＝z（ｘ,ｙ）,那么要投影并带入ｚ,而且把组合形式化成ｄxｄy得形式,此时,再瞧符号。

（再算法向量时,不考虑符号,令Ｆ（x,y,z）=ｚ-z（x,ｙ））

chaｐter11无穷级数

11、1常数项级数

1１、1、1几个常见得常数项级数

①等比级数

否则发散

②p级数

p<＝１发散

ｐ>１收敛

11、1、2级数收敛性质

收敛,则收敛

收敛,则收敛，且逆亦真

没括号收敛,则加括号收敛;加括号发散,则没括号发散

收敛必要条件=>（反过来不对，调与级数一般项为0,但发散）

1１、2　常数项级数审敛法

操作方法,直到判断完成:

1就是正项级数吗？

如果就是交错级数或任意项级数可不可以加一个绝对值来证明绝对值收敛?

2可以拆分吗？

如果一般项由两项之与相加形成,且预期两项都可以使级数发散或收敛,把她们拆开。

审敛法一般审单项式

对于每一个单项式,要进行以下操作:

3收敛级数得必要条件

4比值审敛法,根值审敛法

有阶乘得,有不带多余项得指数项得都好用

如：

根值适合有指数项得一般项

5极限审敛法

乘以ｎ,乘以n得p次方,对于：

这种形式非常有用

6放缩、比较审敛法

比较审敛法得极限形式

考虑多项式中当n趋于无穷时得主要项，与主要项做比值

如：

与做比值

比较审敛法放缩：

在这里,把n换成与n相关得结果大于等于０得多项式,依然要会用

放缩技巧,想证明发散就往小了放:

，亦然

ｋ<0改成小于号就行了

如果从某项（有限项）之后,这个不等式才成立,那么扔掉前面那些项

7继续进入第③步

11、2、１正项级数

正项级数收敛⇔部分与数列有界

级数收敛得必要条件——

比较审敛法

放缩级数,大得收敛,小得收敛；小得发散，大得发散

比较审敛法极限形式：

极限审敛法

比值审敛法（达郎贝尔判别法）

根值审敛法

、

11、2、２交错级数

交错级数就是指一正一负,如果一般项并不单调减小,而就是在某个n之后单调减小，那么把前面得那些项扔掉

11、2、３任意项级数

同样，若去掉绝对值发散,加上绝对值发散

加上绝对值后瞧敛散性，可以用正项级数审敛法

１1、３函数项级数

瞧发散域

求发散域

求收敛域

边界处带入ｘ,转化为常数项级数探讨收敛性

幂级数

注意幂级数得这几项特征:

首先,an部分不能与x有关,还有（x-ｘ0）处得幂就是ｎ次幂,如果不就是,需要把这个级数还原转化。

解决幂级数收敛半径Ｒ

１、后项与前项系数之比得绝对值,或一般项系数得开n次方,一定要取倒数

２、用达朗贝尔判别法,解,求出来得x范围直接对应收敛半径。

等于１处要特殊判断

幂级数求与可拆开,也可逐项求导求积分

11、4泰勒级数

泰勒级数得一般表示:

展开式（ｘ0＝0）

与式极限

收敛区间

就是否能泰勒展开：

11、5　傅里叶级数

傅里叶级数使我们用连续函数近似代替一个周期函数

狄利克雷收敛定理