考研数学基础班概率统计讲义汤家凤Word格式文档下载.docx

1、3、设 A1 , A2 ,L, An ,L 为不相容的随机事件，则有 P（ U An ） = P（ An ） （可列可加性）。（二）概率的基本性质1、 P（） = 0 。n=1n n2、设 A1 , A2 ,L, An 为互不相容的有限个随机事件列，则 P（ U Ak ） = P（ Ak ） 。k =13、 P（ A） = 1- P（ A） 。4、（减法公式） P（ A - B） = P（ A） - P（ AB） 。（三）概率基本公式1、加法公式（1） P（ A + B） = P（ A） + P（B） - P（ AB） 。（2） P（ A + B + C） = P（ A） + P（B） + P

2、（C） - P（ AB） - P（ AC） - P（BC） + P（ ABC） 。2、条件概率公式：设 A, B 是两个事件，且 P（ A） 0 ，则 P（B | A） = P（ AB） 。P（ A）3、乘法公式（1）设 P（ A） 0 ，则 P（ AB） = P（ A）P（B | A） 。（2） P（ A1 A2 L An ） = P（ A1 ）P（ A2 | A1 ）P（ A3 | A1 A2 ）L P（ An | A1 A2 L An-1 ） 。三、事件的独立性1、两个事件的独立设 A, B 是两个事件，若 P（ AB） = P（ A）P（B） ，称事件 A, B 相互独立。P（ AB）

3、 = P（ A）P（B）;2、三个事件的独立设 A, B, C 是三个事件，若 P（ AC） = P（ A）P（C）;P（BC） = P（B）P（C）;P（ ABC） = P（ A）P（B）P（C）,，称事件 A, B, C 相互独立。 （1） A, B 相互独立的充分必要条件是 A, B、 A, B 、 A, B 任何一对相互独立。（2）设 P（ A） = 0 或 P（ A） = 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。（3）设 P（ A） 0, P（B） 0 ，若 A, B 独立，则 A, B 不互斥；若 A, B 互斥，则 A, B 不独立。四、全概率公式与 Bayes 公式1、完备事件组设

4、事件组 A1 , A2 ,L, An 满足：（1） Ai Aj = （i, j = 1,2,L, n, i j） ；n（2） U Ai = ，则称事件组 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组。i=12 、全 概率 公式：设 A1 , A2 ,L, An 是一个完备事 件组，且 P（ Ai ） 0（i = 1,2,L, n） ， B 为事件，则 P（B） = P（ Ai ）P（B | Ai ） 。3、贝叶斯公式：设 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组，且 P（ Ai ） 0（i = 1,2,L, n） ， B 为任一随机事件，P（B） 0 ，则 P（ A | B） = P（

5、 Ai ）P（B | Ai ） 。i P（B）例题选讲一、填空题1、设 P（ A） = 0.4, P（ A B） = 0.7 ，（1）若 A, B 不相容，则 P（B） = ；（2）若 A, B 相互独立，则 P（B） = 。2 、设 P（ A） = P（B） = P（C） =。1 , P（ AB） = P（ AC） = P（BC） = 14 6，则事件 A, B, C 全不发生的概率为 3、设两两相互独立的事件 A, B, C 满足： ABC = , P（ A） = P（B） = P（C） 1 ，且有 P（ A + B + C） = 9 ，2 16则 P（ A） = 。4、设事件 A, B

6、满足 P（ AB） = P（ AB） ，且 P（ A） = p ，则 P（B） = 。5、设 A, B 为两个相互独立的随机事件，且 A, B 都不发生的概率为 1 ，A 发生 B 不发生的概率与 A 不发生 B9发生的概率相等，则 P（ A） = 。二、选择题：1、设 A, B 是两个随机事件，且 0 P（ A） 0, P（B | A） = P（B | A） ，则 （ A）P（ A | B） = P（ A | B） ；（B）P（ A | B） P（ A | B） ；（C）P（ AB） = P（ A）P（B） ；（D）P（ AB） P（ A）P（B） 。2、设事件 A, B 满足 0 1,0

7、P（B） 1，且 P（ A | B） + P（ A | B） = 1 ，则 （ A） 事件 A, B 对立；（B） 事件 A, B 相互独立；（C） 事件 A, B 不相互独立；（D） 事件 A, B 不相容。三、解答题1、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是 次品的的概率。2、设工厂 A 与工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 生产的产品分别占 60%和 40%的一批产品 中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是 A 生产的概率。3、设事件 A 在每次试验中的概率为 p ，三次独立重复试验中事件 A 至少

8、出现一次的概率为 19 ，求事件 A27发生的概率 p 。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为 50%和 60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二章 一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量设 为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数 ，对任意的 ，总存在唯一 确定的 （） 与之对应，称 为随机变量，若 的可能取值为有限个或可列个，称 为离散型随机变量，若 在 某可区间上连续取值，称 为连续型随机变量。2、分布函数设 为一个随机变量，称函数 F （x） = P x（- x +） 为随机变量 的分布函数。【注解 1】分布函数的四个特征为（1） 0 F （x） 1 。 （2）

9、 F （x）单调不减 。（3） F （x）右连续 。 （4） F （-） = 0, F （+） = 1 。【注解 2】分布函数的性质（1） PX a = F （a - 0） 。 （2） PX= a = F （a） - F （a - 0） 。（3） Pa x b = F （b） - F （a） 。 （4） Pa X b = F （b - 0） - F （a） 。3、离散型随机变量的分布律称 PX = xi = pi （1 i n） 称为随机变量 X 的分布律。（1） pi 0（1 i n） 。 （2） p1 + p2 +L+ pn = 1。4 、 连 续 型 随机变 量的 密度函 数 设 X 的

10、分 布函 数为 F （x） ，若存 在非负 可积 函数 f （x） ，使得 xF （x） = - f （t）dt ，称 f （x） 为 X 的密度函数。+（1） f （x） 0 。 （2） - f （x）dx = 1。二、常见随机变量及其分布（一）离散型1、二项分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = Ck pk （1 - p）n-k （0 k n） ，称随机变量 X 服从二 项分布，记为 X B（n, p） 。k2、Poisson 分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = e- （k = 0,1,2,L） ，称随机变量 X 服从泊松分k!布，记为 X （） 。3、几何分布若随

11、机变量 X 的分布律为 PX = k = p（1 - p）k -1 （k = 1,2,L） ，称随机变量 X 服从几何分 布，记为 X G（ p） 。（二）连续型 1 , a x b1、均匀分布若随机变量 的密度函数为 f （x） = b - a0, 其他，称随机变量 服从均匀分布，记为0, x 0 U （a, b） ，其分布函数为 F （x） = x - a , a x b 。b - a1, x b-2、正态分布若随机变量 的密度函数为 f （x） = 1 e2（ x- ）22 2（- +） ，称随机变量 服从正态分布，记为 N （, 2 ） ，特别地，若 = 0, = 1，称随机变量服从标

12、准正态分布，记为 N （0,1） ，其密度2为（x） = 1 e- 2 （- 0） ，称随机变量 服从指数分布，记为0, x = 1 。（3）若 N （, 2 ） ，则 - N （0,1） 。（4）若 N （, 2 ） ，则 Pa b = F （b） - F （a） = （b - ） - （ a - ） 。 一、选择题1、设 X1 , X 2 的密度为 f1 （x）, f 2 （x） ，分布函数为 F1 （x）, F2 （x） ，下列结论正确的是 （ A）F1 （x） + F2 （x） 为某随机变量的分布函数；（B） f1 （x） + f2 （x） 为某随机变量的密度函数；（C）F1 （x）F

13、2 （x） 为某随机变量的分布函数；（D） f1 （x） f2 （x） 为某随机变量的密度函数。2、设随机变量 X 的密度函数 f （x） 为偶函数，其分布函数为 F （x） ，则 （ A）F （x） 为偶函数；（B）F （-a） = 2F （a） -1 ；a 1 a（C）F （-a） = 1 - 0f （x）dx ；（D）F （-a） = -2 0f （x）dx 。3、设 X N （,42 ）,Y N （,52 ） ，令 p = PX - 4, q = PY + 5，则 （ A） 对任意实数 都有 p = q ；（B） 对任意实数 都有 p q 。4、设 X N （, 2 ） ，则随 的增大

14、，概率 P| X - | （ A） 单调增大；（B） 单调减少； （C） 保持不变；（D） 增减不确定。二、填空题1、 设X N （, 2 ）,方程y 2 + 4 y + X = 0无实根的概率为1 ,则 = 。2、 设X B（2, p）,Y B（3, p）,若PX 1 = 5 ,则PY 1 = 。1、有 3 个盒子，第 1 个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第 2 个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第 3 个盒子有 2 个红 球 3 个黑球，若任取一个盒子，从中任取 3 个求，以 X 表示红球个数。（1）写处 X 的分布律； （2）求红球个数不少于 2 个的概率。 -12、设离散型随机变量

15、X 的分布函数为 F （x） = 0.3,-1 x 1，求 X 的分布律。0.7,1 x 21, x 2Aex , x 3、设 X 的分布函数为 F （x） = B,0 x 1。34、设 X U （0,2） ，求随机变量 Y = X 2 的概率密度。5、设 X N （0,1） ，且 Y = X 2 ，求随机变量 Y 的概率密度。第三章 二维随机变量及其分布1、联合分布函数设 （ X ,Y ） 为二维随机变量，称 F （x, y） = PX x,Y y为 （ X ,Y ） 的联合分布函数。2、二维离散型随机变量的联合分布律设 （ X ,Y ） 为二维离散型随机变量，称PX = xi ,Y = y

16、 j = pij （i = 1,2,L, m, j = 1,2,L, n）为 （ X ,Y ） 的联合分布律，称n mPX = xi = pij = pi （i = 1,2,L, m）, PY = y j = pij = p j （ j = 1,2,L, n）j =1分别为随机变量 X ,Y 的边际分布律。3 、连续型随机变量的联合密度函数 设 （ X ,Y ） 为二维连续型随机变量，若存在 f （x, y） 0 ，使得 duF （x, y） = PX x,Y y = -y- f （u, v）dv ，称 f （x, y） 为随机变量 （ X ,Y ） 的联合密度函数，称+ +f X （x） =

17、 - f （x, y）dy, fY （ y） = - f （x, y）dx分别为随机变量 X ,Y 的边际密度函数。【注解】联合分布函数的特征有（1） 0 F （x, y） 1 。 （2） F （x, y） 关于 x, y 为单调不减函数。（3） F （x, y） 关于 x 或者 y 都是右连续。（4） F （-,-） = 0, F （-,+） = 0, F （+,-） = 0, F （+,+） = 1 。二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布设二维连续型随机变量 （ X ,Y ） 的联合密度为f （x, y） 1 ,（x, y） D= A，其中 A 为区域 D 的面积，称 （ X ,Y ）

18、 在区域 D 上服从均匀分布。0, （x, y） D2、正态分布设二维连续型随机变量 （ X ,Y ） 的联合密度为f （x, y） = 1 exp- 1 （ x - 1 ）2 - 2 （x - 1 ）（ y - 2 ） + （ y - 2 ）2 则称 （ X ,Y ） 服21 21 - 22（1 - 2 ） 1 2 2从二维正态分布，记为 （ X ,Y ） N （ , , 2 , 2 , ） ，其中 0, 0 。1 2 1 2 1 2【注解】若 （ X ,Y ） N （ , , 2 , 2 , ） ，则 X N （ , 2 ）,Y N （, 2 ） 。1 2 1 21 1 2 2二、随机变量

19、的条件分布与随机变量的独立性（一）二维离散型随机变量的条件分布1、设 PY = y j 0 ，在事件Y = y j 发生的情况下，事件X = xi 发生的条件概率为PX = xi | Y = y j =pij p j（i = 1,2,L） ；2、设 PX = xi 0 ，在事件X = xi 发生的情况下，事件Y = y j 发生的条件概率为PY = y j | X = xi =（二）二维连续型随机变量的条件密度pij pi（ j = 1,2,L） 。1、设 fY （ y） 0 ，则在“ Y = y ”的条件下， X 的条件概率密度为 f X |Y （x | y） = 。fY （ y）2、设 f

20、 X （x） 0 ，则在“ X = x ”的条件下， Y 的条件概率密度为 fY |X （ y | x） = 。f X （x）（三）随机变量的独立性1、定义设 （ X ,Y ） 为二维随机变量，若对任意的 x, y 都有 F （x, y） = FX （x）FY （ y） ， 称随机变量 X ,Y 相互独立。2、独立的充分必要条件（1）离散型随机变量设 （ X ,Y ） 为二维离散型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是pij = pi. p. j （i = 1,2,L; j = 1,2,L 。（2）连续型随机变量设 （ X ,Y ） 为二维连续型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件

21、是f （x, y） =f X （x） fY （ y） （可以除去有限个点）。【注解】若 （ X ,Y ） 为二维连续型随机变量，求 （ X ,Y ） 的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f （x, y） ，一般有如下三种情况：（1）题中直接给出 f （x, y） （若其中含参数，用归一性求出）。（2） X ,Y 服从的分布已知且 X ,Y 独立，则 f （x, y） =f X （x） fY （ y） 。（3） X 的边缘分布已知，且 Y 的条件密度已知，则 f （x, y） =f X （x） fY | X （ y | x） 。三、随机变量函数的分布已知 （ X ,Y ） 的分布， Z =

22、（ X ,Y ） ，关于 Z 的分布有以下几种情形：情形一：设 （ X ,Y ） 为离散型随机变量， Z = （ X ,Y ） ，则 Z 为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的 概率即可。情形二： （ X ,Y ） 为连续型随机变量， Z = （ X ,Y ） ，其中 为连续函数，则 Z 为连续型随机变量，可用分 布函数定义求 Z 的分布。情形三： X ,Y 中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求 Z = （ X ,Y ） 的分布1、设相互独立的随机变量 X ,Y 分别服从 N （0,1） 及 N （1,1） ，则 （ A）PX + Y 0 = 1 ；（B）PX + Y 1 = 1

23、 ； （C）PX - Y 0 = 1 ；（D）PX - Y 1 = 1 。1 、 设X ,Y为 两 个 随 机 变 量 ， 且PX 0,Y 0 = 3 , PX 0 = PY 0 = 4 ， 则7 7Pmax（X ,Y ） 0 = 。1、袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次抽取 1 个，定义如下两个随机1, 第1次抽到红球1, 第2次抽到红球变量： X = ,Y = , 第1次抽到白球，, 第2次抽到白球0 0就下列两种情况，求 （ X ,Y ） 的联合分布律：（1）每次抽取后放回； （2）每次抽取后不放回。Ae-（ x+2 y ） , x 0, y 2、设 （ X ,Y ） 的联合密度为 f （x, y） = ，求0, 其他（1）常数 A ； （2） （ X ,Y ） 的分布函数； （3） Z = X + 2Y 的分布函数；（4） PX + 2Y 1及PX Y。3、设随机变量 X E（） ，求随机变量 Y = minX ,2 的分布函数。4、设 X E（1 ）,Y E（2 ） 且 X ,Y 独立。（1）设 Z = maxX ,Y，求 Z 的密度函数。 （2） Z