考研数学基础班概率统计讲义汤家凤Word格式文档下载.docx

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3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P（UAn）=∑P（An）（可列可加性）。

（二）概率的基本性质

1、P（φ）=0。

n=1

2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P（UAk）=∑P（Ak）。

k=1

3、P（A）=1-P（A）。

4、（减法公式）P（A-B）=P（A）-P（AB）。

（三）概率基本公式

1、加法公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

（2）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）。

2、条件概率公式：

设A,B是两个事件，且P（A）>

0，则P（B|A）=P（AB）。

P（A）

3、乘法公式

（1）设P（A）>

0，则P（AB）=P（A）P（B|A）。

（2）P（A1A2LAn）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）LP（An|A1A2LAn-1）。

三、事件的独立性

1、两个事件的独立—设A,B是两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），称事件A,B相互独立。

⎧P（AB）=P（A）P（B）;

2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若⎪P（AC）=P（A）P（C）;

⎪P（BC）=P（B）P（C）;

⎪⎩P（ABC）=P（A）P（B）P（C）,

，称事件A,B,C相互独立。

（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B

、A,B、A,B任何一对相互独立。

（2）设P（A）=0或P（A）=1，则A与任何事件B独立。

（3）设P（A）>

0,P（B）>

0，若A,B独立，则A,B不互斥；

若A,B互斥，则A,B不独立。

四、全概率公式与Bayes公式

1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：

（1）AiAj=φ（i,j=1,2,L,n,i≠

j）；

（2）UAi=∧，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。

i=1

2、全概率公式：

设A1,A2,L,An是一个完备事件组，且P（Ai）>

0（i=1,2,L,n），B为事件，则

P（B）=∑P（Ai）P（B|Ai）。

3、贝叶斯公式：

设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P（Ai）>

0（i=1,2,L,n），B为任一随机事件，

P（B）>

0，则P（A|B）=P（Ai）P（B|Ai）。

iP（B）

例题选讲

一、填空题

1、设P（A）=0.4,P（A⋃B）=0.7，

（1）若A,B不相容，则P（B）=；

（2）若A,B相互独立，则P（B）=。

2、设P（A）=P（B）=P（C）=

。

1,P（AB）=P（AC）=P（BC）=1

，则事件A,B,C全不发生的概率为

3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：

ABC=φ,P（A）=P（B）=P（C）<

1，且有P（A+B+C）=9，

216

则P（A）=。

4、设事件A,B满足P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则P（B）=。

5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与A不发生B

发生的概率相等，则P（A）=。

二、选择题：

1、设A,B是两个随机事件，且0<

P（A）<

1,P（B）>

0,P（B|A）=P（B|A），则[]

（A）P（A|B）=P（A|B）；

（B）P（A|B）≠P（A|B）；

（C）P（AB）=P（A）P（B）；

（D）P（AB）≠P（A）P（B）。

2、设事件A,B满足0<

1,0<

P（B）<

1，且P（A|B）+P（A|B）=1，则[]

（A）事件A,B对立；

（B）事件A,B相互独立；

（C）事件A,B不相互独立；

（D）事件A,B不相容。

三、解答题

1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。

2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。

3、设事件A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19，求事件A

发生的概率p。

4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。

第二章一维随机变量及其分布

一、基本概念

1、随机变量—设∧为随机试验E的样本空间，ξ为定义在∧上的函数，对任意的ω∈∧，总存在唯一确定的ξ（ω）与之对应，称ξ为随机变量，若ξ的可能取值为有限个或可列个，称ξ为离散型随机变量，若ξ在某可区间上连续取值，称ξ为连续型随机变量。

2、分布函数—设ξ为一个随机变量，称函数F（x）=P{ξ≤x}（-∞<

+∞）为随机变量ξ的分布函数。

【注解1】分布函数的四个特征为

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）单调不减。

（3）F（x）右连续。

（4）F（-∞）=0,F（+∞）=1。

【注解2】分布函数的性质

（1）P{X<

a}=F（a-0）。

（2）P{X

=a}=F（a）-F（a-0）。

（3）P{a<

x≤b}=F（b）-F（a）。

（4）P{a<

b}=F（b-0）-F（a）。

3、离散型随机变量的分布律—称P{X=xi}=pi（1≤i≤n）称为随机变量X的分布律。

（1）pi≥0（1≤i≤n）。

（2）p1+p2+L+pn=1。

4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F（x），若存在非负可积函数f（x），使得

F（x）=⎰-∞f（t）dt，称f（x）为X的密度函数。

+∞

（1）f（x）≥0。

（2）⎰-∞f（x）dx=1。

二、常见随机变量及其分布

（一）离散型

1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=Ckpk（1-p）n-k（0≤k≤n），称随机变量X服从二项分布，记为X~B（n,p）。

2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=λ

e-λ（k=0,1,2,L），称随机变量X服从泊松分

布，记为X~π（λ）。

3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=p（1-p）k-1（k=1,2,L），称随机变量X服从几何分布，记为X~G（p）。

（二）连续型

⎧1,a≤x≤b

⎨

1、均匀分布—若随机变量ξ的密度函数为f（x）=⎪b-a

⎪⎩0,其他

，称随机变量ξ服从均匀分布，记为

⎧0,x<

ξ~U（a,b），其分布函数为F（x）=⎪x-a,a≤x<

b。

⎪b-a

⎪⎩1,x≥b

2、正态分布—若随机变量ξ的密度函数为f（x）=1e

2πσ

（x-μ）2

2σ2

（-∞<

+∞），称随机变量ξ服从正态

分布，记为ξ~N（μ,σ2），特别地，若μ=0,σ=1，称随机变量服从标准正态分布，记为ξ~N（0,1），其密度

为ϕ（x）=1e-2（-∞<

+∞），其分布函数为

2π

Φ（x）=⎰-∞ϕ（t）dt。

⎧λe-λxx≥

3、指数分布—若随机变量ξ的密度为f（x）=⎨

（λ>

0），称随机变量ξ服从指数分布，记为

⎩0,x<

ξ~E（λ），其分布函数为F（x）=⎨

⎩1-e

-λx

x≥0

（1）Φ（0）=1,Φ（-a）=1-Φ（a）。

（2）若ξ~N（μ,σ2），则P{ξ≤μ}=P{ξ>

μ}=1。

（3）若ξ~N（μ,σ2），则ξ-μ~N（0,1）。

（4）若ξ~N（μ,σ2），则P{a<

ξ≤b}=F（b）-F（a）=Φ（b-μ）-Φ（a-μ）。

一、选择题

1、设X1,X2的密度为f1（x）,f2（x），分布函数为F1（x）,F2（x），下列结论正确的是[]

（A）F1（x）+F2（x）为某随机变量的分布函数；

（B）f1（x）+f2（x）为某随机变量的密度函数；

（C）F1（x）F2（x）为某随机变量的分布函数；

（D）f1（x）f2（x）为某随机变量的密度函数。

2、设随机变量X的密度函数f（x）为偶函数，其分布函数为F（x），则[]

（A）F（x）为偶函数；

（B）F（-a）=2F（a）-1；

a1a

（C）F（-a）=1-⎰0

f（x）dx；

（D）F（-a）=-

f（x）dx。

3、设X~N（μ,42）,Y~N（μ,52），令p=P{X≤μ-4},q=P{Y≥μ+5}，则[]

（A）对任意实数μ都有p=q；

（B）对任意实数μ都有p<

q；

（C）对个别μ，才有p=q；

（D）对任意实数μ，都有p>

q。

4、设X~N（μ,σ2），则随σ的增大，概率P{|X-μ|<

σ}[]

（A）单调增大；

（B）单调减少；

`（C）保持不变；

（D）增减不确定。

二、填空题

1、设X~N（μ,σ2）,方程y2+4y+X=0无实根的概率为1,则μ=。

2、设X~B（2,p）,Y~B（3,p）,若P{X≥1}=5,则P{Y≥1}=。

1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。

（1）写处X的分布律；

（2）求红球个数不少于2个的概率。

-1

2、设离散型随机变量X的分布函数为F（x）=⎪0.3,-1≤x<

1，求X的分布律。

⎪0.7,1≤x<

⎪⎩1,x≥2

⎧Aex,x<

3、设X的分布函数为F（x）=⎪B,0≤x<

1，

⎩1-Ae

-（x-1）

x≥1

（1）求A,B；

（2）求密度函数f（x）；

（3）求P{X>

1}。

4、设X~U（0,2），求随机变量Y=X2的概率密度。

5、设X~N（0,1），且Y=X2，求随机变量Y的概率密度。

第三章二维随机变量及其分布

1、联合分布函数—设（X,Y）为二维随机变量，称F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}为（X,Y）的联合分布函数。

2、二维离散型随机变量的联合分布律—设（X,Y）为二维离散型随机变量，称

P{X=xi,Y=yj}=pij（i=1,2,L,m,j=1,2,L,n）

为（X,Y）的联合分布律，称

P{X=xi}=∑pij=pi⋅（i=1,2,L,m）,P{Y=yj}=∑pij=p⋅j（j=1,2,L,n）

j=1

分别为随机变量X,Y的边际分布律。

3、连续型随机变量的联合密度函数—设（X,Y）为二维连续型随机变量，若存在f（x,y）≥0，使得

F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}=⎰-∞

⎰-∞f（u,v）dv，称f（x,y）为随机变量（X,Y）的联合密度函数，称

+∞+∞

fX（x）=⎰-∞f（x,y）dy,fY（y）=⎰-∞f（x,y）dx

分别为随机变量X,Y的边际密度函数。

【注解】联合分布函数的特征有

（1）0≤F（x,y）≤1。

（2）F（x,y）关于x,y为单调不减函数。

（3）F（x,y）关于x或者y都是右连续。

（4）F（-∞,-∞）=0,F（-∞,+∞）=0,F（+∞,-∞）=0,F（+∞,+∞）=1。

二、常见的二维连续型随机变量

1、均匀分布—设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度为

f（x,y）

⎧1,（x,y）∈D

⎨A

，其中A为区域D的面积，称（X,Y）在区域D上服从均匀分布。

⎪⎩0,（x,y）∉D

2、正态分布—设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度为

f（x,y）=1exp{-1[（x-μ1）2-2ρ（x-μ1）（y-μ2）+（y-μ2）2]}则称（X,Y）服

2πσ1σ2

1-ρ2

2（1-ρ2）σ

σ1σ2σ2

从二维正态分布，记为（X,Y）~N（μ,μ

σ2,σ2,ρ），其中σ

0,σ

0。

121212

【注解】若（X,Y）~N（μ,μ

σ2,σ2,ρ），则X~N（μ,σ2）,Y~N（μ

σ2）。

1212

1122

二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性

（一）二维离散型随机变量的条件分布

1、设P{Y=yj}>

0，在事件{Y=yj}发生的情况下，事件{X=xi}发生的条件概率为

P{X=xi|Y=yj}=

pijp⋅j

（i=1,2,L）；

2、设P{X=xi}>

0，在事件{X=xi}发生的情况下，事件{Y=yj}发生的条件概率为

P{Y=yj|X=xi}=

（二）二维连续型随机变量的条件密度

pijpi⋅

（j=1,2,L）。

1、设fY（y）>

0，则在“Y=y”的条件下，X的条件概率密度为fX|Y（x|y）=。

fY（y）

2、设fX（x）>

0，则在“X=x”的条件下，Y的条件概率密度为fY|X（y|x）=。

fX（x）

（三）随机变量的独立性

1、定义—设（X,Y）为二维随机变量，若对任意的x,y都有F（x,y）=FX（x）FY（y），称随机变量X,Y相互独立。

2、独立的充分必要条件

（1）离散型随机变量—设（X,Y）为二维离散型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是

pij=pi.⨯p.j（i=1,2,L;

j=1,2,L。

（2）连续型随机变量—设（X,Y）为二维连续型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是

f（x,y）=

fX（x）fY（y）（可以除去有限个点）。

【注解】若（X,Y）为二维连续型随机变量，求（X,Y）的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数

f（x,y），一般有如下三种情况：

（1）题中直接给出f（x,y）（若其中含参数，用归一性求出）。

（2）X,Y服从的分布已知且X,Y独立，则f（x,y）=

fX（x）fY（y）。

（3）X的边缘分布已知，且Y的条件密度已知，则f（x,y）=

fX（x）fY|X（y|x）。

三、随机变量函数的分布

已知（X,Y）的分布，Z=ϕ（X,Y），关于Z的分布有以下几种情形：

情形一：

设（X,Y）为离散型随机变量，Z=ϕ（X,Y），则Z为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的概率即可。

情形二：

（X,Y）为连续型随机变量，Z=ϕ（X,Y），其中ϕ为连续函数，则Z为连续型随机变量，可用分布函数定义求Z的分布。

情形三：

X,Y中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求Z=ϕ（X,Y）的分布

1、设相互独立的随机变量X,Y分别服从N（0,1）及N（1,1），则[]

（A）P{X+Y≤0}=1；

（B）P{X+Y≤1}=1；

（C）P{X-Y≤0}=1；

（D）P{X-Y≤1}=1。

1、设

X,Y

为两个随机变量，且

P{X≥0,Y≥0}=3,P{X≥0}=P{Y≥0}=4，则

P{max（X,Y）≥0}=。

1、袋中有10个大小相同的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次抽取1个，定义如下两个随机

⎧1,第1次抽到红球

⎧1,第2次抽到红球

变量：

X=⎨

Y=⎨

第1次抽到白球

，

第2次抽到白球

⎩0⎩0

就下列两种情况，求（X,Y）的联合分布律：

（1）每次抽取后放回；

（2）每次抽取后不放回。

⎧Ae-（x+2y）,x>

0,y>

2、设（X,Y）的联合密度为f（x,y）=⎨，求

⎩0,其他

（1）常数A；

（2）（X,Y）的分布函数；

（3）Z=X+2Y的分布函数；

（4）P{X+2Y≤1}及P{X<

Y}。

3、设随机变量X~E（λ），求随机变量Y=min{X,2}的分布函数。

4、设X

~E（λ1）,Y~E（λ2）且X,Y独立。

（1）设Z=max{X,Y}，求Z的密度函数。

（2）Z

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