平行四边形的特征及同步练习答案.docx

1、平行四边形的特征及同步练习答案学科：数学教学内容：平行四边形的特征 学习目标 1掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征2能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算3了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理4掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等学法指导在理解的基础上识记平行四边形的概念及其性质，并根据相应的条件选用相应的性质利用平行四边形是中心对称图形来解决一些实际问题更容易基础知识讲解1平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符合“”表示，四个顶点分别为A.B.C.D.则这个平行四边形记作ABCD2平行四边形的特征（1）平行四边形的两组对边分别平行（2）平行四

2、边形的对边相等，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形注意：特征（2）（3）利用平行四边形是中心对称图形的性质可推出3平行线的性质平行线的距离为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离由平行线距离的定义可知，每作两条距离与两平行线组成个平行四边形，为此有无数个平行四边形，根据平行四边形的特征可得，平行线之间的距离处处相等.重点难点重点：平行四边形的定义和特征难点：1运用中心对称图形的特征来理解平行四边形的特征2作适当的辅助线把平行四边形分解成三角形来解决一些问题3平行线之间的距离处处相等，实质是平行四边形对边相等易错误区分析1利用平行四边形

3、的定义判定一个四边形是平行四边形易犯如下错误例如：已知如图12-1-1所示，在ABCD中，AECF.求证：四边形EBFD是平行四边形错证：四边形ABCD是平行四边形ABDC，ADBC在ABE和CDF中ABDC AC AECFABECDF（SAS） BEDF 四边形EBFD为平行四边形分析：BEDF不能得出四边形EBFD是平行四边形，而由BEDF，再由已知ABCD才能得出正确证：连结BD四边形ABCD为平行四边形ADBC 又AECF EDBF12 BEDBFD3=4 BEDF又EDBF 四边形BEDF为平行四边形2运用平行四边形的性质和平行线距离处处相等，易犯下面的错误例如：求证平行四边形对角线

4、上的交点到一组对边的距离相等已知：如图12-1-2，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OEAB OFCD，垂足分别为E，F.求证：OEOF错证：四边形ABCD为平行四边形OAOC ABCD3=4 2=1 OAEOCF OE0F分析：错在用12，即把1与2当成对顶角了，因为OE，OF是从O点分别向AB、CD作两条垂线，而OE与OF是否是同一条直线还需证明，故不能直接利用1=2正确证明：四边形ABCD为平形四边形OA=OC ABCD3=4 OEAB OFCDAE0CF090 OAEOCF OEOF典型例题例1已知如图12-1-4所示，ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BEAB，在CE上取一

5、点M使CMCD，连结DM并延长交AE的延长线于点F.求证BDBF分析：由于BD，BF是BDF的两边，所以要证BDBF，可由证BDF中BDFF入手，易知FCDM=CMDEMF，故只要证BDCE，由此由证法一又注意到BFBE+EF，易知BEABCDCM，EFEM，故BFCE，从而只要证BDCE，由此有证法二证法（一）：四边形ABCD为平行四边形 ABCD又E点在AB延长线上，且BEAB ABCD四边形BECD是平行四形 BDCE BDFEMFEMFCMD BDFCMD又CMCD CMD=CDM BDFCDMAFCD CDMF BDFF即BDBF证法（二）：四边形ABCD为平行四边形 ABCD又E点

6、在AB延长线上且BEAB BECD四边形BECD是平行四边形 BDCE，BECD又EMF=CMD，CDCM CMD=CDMEMF=CDM BECD FEMF EFEMBFBE+EFCD+EM=CM+EMCEBD即BFBD例2如图12-1-5所示：L1L2、ABCD、CEL2、FGL2、E、G分别为垂足，则下列说法中错误的是（ ）AABCDBCEFGCA，B两点的距离就是线段AB的长DL1与L2间的距离就是线段CD的长分析：根据平行线之间的距离处处相等，推出夹在两平行线之间的平行线段也相等（由图象的平移也可得到）答：选D例3如图12-1-6所示：已知六边形ABCDEF的6个内角均为120，CD2

7、cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长分析：分别求出六条边的长度，再求六边形的周长显然不可能，从图中可以发现AF分别绕A点，F点旋转60后分别与BA，EF在同一直线上同理DC分别绕D，C旋转60后，分别与ED,BC在同一直线上，如图所示，得到一个平行四边形EMBN，MFA与DCN都为等边三角形，所以六边形的周长应等于平行四边形的周长减去AF+DC解：由已知可得MN60，又BE120所以ENMB，EMNB，所以四边形MBNE为平行四边形又因为AMF，CDN为等边三角形所以MA=AFMF5cm，CDCNDN2cmMBEN8+513cm，MEBN8+210cm故ED13-21

8、1cm，EFME-MF10-55cm得六边形的周长为8+8+2+11+5+539cm例4把边长为3cm，5cm和7cm的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼成几种不同的四边形？其中有几种是平形四边形？分析：由于要拼成四边形，故两个三角形一定有两条边重合在一起，这条重合的边即为四边形的对角线因此找出问题的突破口，分三种情况讨论不难得出正确的答案（1）以3cm长的边为对角线，有两种拼法，得到两个四边形中有一个是平行四边形如图所示：（2）以7cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中有一个平行四边形如图所示：（3）以5cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中也有一个是平行四边

9、形，如图所示：答：总共拼成6种不同的四边形，其中有3种是平行四边形创新思维例1一块平行四边形菜地，若它的面积是144，测得相邻两边上的高分别为8和9，请你用平行四边行形的特征和有关的知识计算出它的周长分析：如图12-1-7所示：要求周长必须求出BC，CD的长从面积入手得BCAE144 CDAF144 因而可求出周长解：因为BCAE144，AE8，所以BC18因为DCAF144，AF9，所以DC16所以平行四边形菜地的周长=2（BC+DC）2（18+16）68例2如图12-1-8，ABC中ABAC，点P在BC上任一点，PEAC，PFAB分别交AB，AC于E、F，试问线段PE，PF，AB之间有什么

10、关系？试证明你的结论分析：对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，其解题思路一般是从给的条件出发探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明答：由线段PE，PF，AB之线段长度，不难得出三线段之间的关系为PE+PFAB证明：PEAC EPBC又ABAC BCEPBB PEEBPEAC PFAB 四边形AEPF是平行四边形 PFAE由+得PE+PFEB+AE，即PE+PFAB例3如右图：田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设想，若能，请你画出

11、图形，若不能，请说明理由（画图要留下痕迹，不写作法）分析：由平行四边形的特征可知，四棵树应在平行四边形的边上，面积要扩大一倍，则把BOA、BOC、COD、AOD的面积扩一倍即可，分别过点B，点D作AC的平行线；过点A，点C分别BD的平行线，不难证明四边形ABCD就是符合条件的平行四边形的池塘答：能，画法如图中考练兵1已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BEDF，AC与EF交于点O求证：OE=OF证明：四边形ABCD是平行四边形ADBC 12BEDF BC-BEAD-DF即ECAF在AOF和COE中AOFCOE（AAS） OFOE2如图12-1-10，AB

12、CD中，对角线AC和BD交于O，若AC8，BD6，则AB长的取什范围是（ ）A1AB7 B2AB4C6AB8 D3AB4解：由平行四边形的性质对角线互相平分得OA=4 OB3，由三角形三边关系得OA-OBABOA+OB即1AB7答：故选A3如图12-1-12，将ABCD沿AC折叠点B落在B处，AB交DC于点M，求证：折叠后重合的部分（即MAC）是等腰三角形证明：BACBAC ABAB，BC=BC又AD=BC CD=AB ADBC CDABADCCBA(SSS) ACD=CABMA=MC 即MAC是等腰三角形4如图12-1-13，E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，且AECF，求证：ABF

13、CDE证明：四边形ABCD为平行四边形ABCD，CAB=DCAAE二CF AE+EF=CF+EF即AF=CE ABFCDE随堂演练一、判断题1平行四边形的对边分别相等（ ）2平行四边形的对角线相等（ ）3平行四边形的邻角互补（ ）4平行四边形的对角相等（ ）5平行四边形的对角线互相平分一组对角（ ）6对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ ）二、选择题1已知ABCD中：AB=4cm，BC=7cm，则周长为（ ）A11cm B22cm C28cm D44cm2在ABCD中，A比B大20，则C的度数为（ ）A60 B80 C100 D1203在ABCD中，A：B：C：D的值可以是（ ）A1：

14、2：3：4 B3：4：4：3C3：3：4：4 D3：4：3：44平行四边形两条对角线分成全等的三角形（ ）A2对 B4对C6对 D8对5如图12-1-14中，ABCD的内角BAD的平分线AE交BC于E，且AEBE，则BCD的度数是（ ）A60 B30C120 D60或1206如图12-1-15，以A、B、C三点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形一共可以作（ ）A1个 B2个C3个 D4个三、填空题1ABCD中AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD= cm，CD cm.2ABCD中A+C=140，则C= 度，B= 度.3ABCD中周长为6Ocm，对角线相交于点O，AOB的周长比BOC的周

15、长多8cm，则AB= cm，BC cm.4ABCD中BD是对角线，且BCBD，CBD=70，则ADC= 度四、解答题1已知平行四边形中相邻两边长度比是5：3，其中较小边的长是6cm，求这个平行四边形的周长2如图12-1-16所示，在ABCD中，AD2DC，M为BC边的中点，连结AM、DM，试问直线AM与DM有何位置关系？说明你的理由？3如图12-1-17，ADBC，AD8，BC13，AB6，CD5，B=53求D的度数五、证明题1已知：如图12-1-18，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AECF（2）AECF2已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边

16、形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DEBF，求证AECF参考答案一、判断题1 2点拨：对角线不一定相等，但互相平分3 45点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6二、选择题1B 点拨：周长=2（AB+BC）21122cm2C 点拨：由A与B互补，A比B大20，可求出A，而A与C为对角，可得C的度数3D 点拨：由平行四边形的性质可得AC，BD，满足这关系的只有D4B点拨：对角线与平行四边形的两条邻边构成2对三角形全等，两条对角线的一半与平行四边形的一边组成2对三角形全等5C点拨：AE平分BAD，则BAEEAD，AEBE，则BBAE，因为ADBC，则AEBEAD，即BBEABAE60，

17、所以BCD1206C 点拨：将某一条边为对边，另外两条边为邻边，共有3种画法三、填空题16；8 点拨：由AB+BC14cm，AB：BC4：3得AB8cm，BC6cm，因为ABCD，BCAD，即AD6cm，CD8cm270；110 点拨：A=C所以C=70，B180-70110319；11 点拨：AOB为周长比BOC的周长多8cm，即AB比BC多8cm，又因为AB+BC=cm，就可求出AB和BC.4125四、解答题1解：如图（1）所示AB6cm，AD：AB5：3AD=10cm 平行四边形的周长为32cm2答：互相垂直点拨：由已知得ABBM，故BMA=BAM又ADBC，故BAMMAD，同样的道理C

18、DMMDA又ABCD，故BAD+CDA18O，即2DAM+2ADM180即DAM+ADM90，AMD90，AMDM3解：如图（2）所示，过A作AEDC交BC于E.ADBC，AEDC四边形AECD为平行四边形 ECAD8BEBC-EC13-85，EACD5BAEB53AECBBAE106DAEC=106五、证明题1证明：四边形ABCD为平行四边形ABDC ABECDF在ABE和CDF中ABECDF（SAS） AECF AEBCFDAEDBFC（等角的补角相等） AECF2证明：如图（3）所示四边形ABCD是平行四边形ADBC，ADBC 12BD是直线 1+3180，2+418034ADECBF AECF