平行四边形的特征及同步练习答案.docx
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平行四边形的特征及同步练习答案
学科：
数学
教学内容：
平行四边形的特征
学习目标
1．掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征．
2．能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算．
3．了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理．
4．掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等．
学法指导
在理解的基础上识记平行四边形的概念及其性质，并根据相应的条件选用相应的性质利用平行四边形是中心对称图形来解决一些实际问题更容易．
基础知识讲解
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符合“□”表示，四个顶点分别为A.B.C.D.则这个平行四边形记作□ABCD．
2．平行四边形的特征
（1）平行四边形的两组对边分别平行．
（2）平行四边形的对边相等，对角相等．
（3）平行四边形的对角线互相平分．
（4）平行四边形是中心对称图形．
注意：
特征
（2）（3）利用平行四边形是中心对称图形的性质可推出．
3．平行线的性质
平行线的距离为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离．
由平行线距离的定义可知，每作两条距离与两平行线组成—个平行四边形，为此有无数个平行四边形，根据平行四边形的特征可得，平行线之间的距离处处相等.
重点难点
重点：
平行四边形的定义和特征
难点：
1．运用中心对称图形的特征来理解平行四边形的特征．
2．作适当的辅助线把平行四边形分解成三角形来解决一些问题．
3．平行线之间的距离处处相等，实质是平行四边形对边相等．
易错误区分析
1．利用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形易犯如下错误．
例如：
已知如图12-1-1所示，在□ABCD中，AE＝CF.
求证：
四边形EBFD是平行四边形
错证：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝DC，AD＝BC
∴在△ABE和△CDF中
AB＝DC∠A＝∠CAE＝CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）∴BE＝DF∴四边形EBFD为平行四边形
分析：
BE＝DF不能得出四边形EBFD是平行四边形，而由BE∥DF，再由已知□ABCD才能得出．
正确证：
连结BD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD
BC又∴AE＝CF∴ED＝BF
∴∠1＝∠2∴△BED≌△BFD
∴∠3=∠4∴BE∥DF
又∵ED∥BF∴四边形BEDF为平行四边形
2．运用平行四边形的性质和平行线距离处处相等，易犯下面的错误．
例如：
求证平行四边形对角线上的交点到一组对边的距离相等．
已知：
如图12-1-2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥ABOF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：
OE＝OF
错证：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA＝OCAB∥CD
∴∠3=∠4∵∠2=∠1∴△OAE≌△OCF∴OE＝0F
分析：
错在用∠1＝∠2，即把∠1与∠2当成对顶角了，因为OE，OF是从O点分别向AB、CD作两条垂线，而OE与OF是否是同一条直线还需证明，故不能直接利用∠1=∠2
正确证明：
∵四边形ABCD为平形四边形
∴OA=OCAB∥CD
∴∠3=∠4∵OE⊥ABOF⊥CD
∴∠AE0＝∠CF0＝90°∴△OAE≌△OCF∴OE＝OF
典型例题
例1．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F.
求证BD＝BF
分析：
由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．
证法
（一）：
∵四边形ABCD为平行四边形∴AB
CD
又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB∴AB
CD
∴四边形BECD是平行四形∴BD∥CE∴∠BDF＝∠EMF
∵∠EMF＝∠CMD∴∠BDF＝∠CMD
又∵CM＝CD∴∠CMD=∠CDM∴∠BDF＝∠CDM
∵AF∥CD∴∠CDM＝∠F∴BDF＝∠F
即BD＝BF
证法
（二）：
∵四边形ABCD为平行四边形∴AB
CD
又∵E点在AB延长线上且BE＝AB∴BE
CD
∴四边形BECD是平行四边形∴BD＝CE，BE＝CD
又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM∴∠CMD=∠CDM
∴∠EMF=∠CDM∵BE∥CD∴∠F＝∠EMF∴EF＝EM
∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD
即BF＝BD
例2．如图12-1-5所示：
L1∥L2、AB∥CD、CE⊥L2、FG⊥L2、E、G分别为垂足，则下列说法中错误的是（）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长
D．L1与L2间的距离就是线段CD的长
分析：
根据平行线之间的距离处处相等，推出夹在两平行线之间的平行线段也相等．（由图象的平移也可得到）
答：
选D．
例3．如图12-1-6所示：
已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．
分析：
分别求出六条边的长度，再求六边形的周长显然不可能，从图中可以发现AF分别绕A点，F点旋转60°后分别与BA，EF在同一直线上．同理DC分别绕D，C旋转60°后，分别与ED,BC在同一直线上，如图所示，得到一个平行四边形EMBN，△MFA与△DCN都为等边三角形，所以六边形的周长应等于平行四边形的周长减去AF+DC．
解：
由已知可得∠M＝∠N＝60°，又∠B＝∠E＝120°
所以EN∥MB，EM∥NB，所以四边形MBNE为平行四边形
又因为△AMF，△CDN为等边三角形
所以MA=AF＝MF＝5cm，CD＝CN＝DN＝2cm
MB＝EN＝8+5＝13cm，ME＝BN＝8+2＝10cm
故ED＝13-2＝11cm，EF＝ME-MF＝10-5＝5cm
得六边形的周长为8+8+2+11+5+5＝39cm
例4．把边长为3cm，5cm和7cm的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼成几种不同的四边形？
其中有几种是平形四边形？
分析：
由于要拼成四边形，故两个三角形一定有两条边重合在一起，这条重合的边即为四边形的对角线．因此找出问题的突破口，分三种情况讨论不难得出正确的答案．
（1）以3cm长的边为对角线，有两种拼法，得到两个四边形中有一个是平行四边形．
如图所示：
（2）以7cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中有一个平行四边形．如图所示：
（3）以5cm长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中也有一个是平行四边形，如图所示：
答：
总共拼成6种不同的四边形，其中有3种是平行四边形．
创新思维
例1．一块平行四边形菜地，若它的面积是144，测得相邻两边上的高分别为8和9，请你用平行四边行形的特征和有关的知识计算出它的周长．
分析：
如图12-1-7所示：
要求周长必须求出BC，CD的长．从面积入手得．BC·AE＝144CD·AF＝144因而可求出周长．
解：
因为BC·AE＝144，AE＝8，所以BC＝18
因为DC·AF＝144，AF＝9，所以DC＝16
所以平行四边形菜地的周长=2（BC+DC）＝2（18+16）＝68
例2．如图12-1-8，△ABC中AB＝AC，点P在BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于E、F，试问线段PE，PF，AB之间有什么关系？
试证明你的结论．
分析：
对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，其解题思路一般是从给的条件出发探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明．
答：
由线段PE，PF，AB之线段长度，不难得出三线段之间的关系为PE+PF＝AB
证明：
∵PE∥AC∴∠EPB＝∠C
又∵AB＝AC∴∠B＝∠C
∴∠EPB＝∠B∴PE＝EB①
∵PE∥ACPF∥AB∴四边形AEPF是平行四边形∴PF＝AE②
由①+②得PE+PF＝EB+AE，即PE+PF＝AB
例3．如右图：
田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设想，若能，请你画出图形，若不能，请说明理由．（画图要留下痕迹，不写作法）
分析：
由平行四边形的特征可知，四棵树应在平行四边形的边上，面积要扩大一倍，则把△BOA、△BOC、△COD、△AOD的面积扩一倍即可，分别过点B，点D作AC的平行线；过点A，点C分别BD的平行线，不难证明四边形A′B′C′D′就是符合条件的平行四边形的池塘．
答：
能，画法如图．
中考练兵
1．已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF，AC与EF交于点O．
求证：
OE=OF
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD
BC∴∠1＝∠2
∵BE＝DF∴BC-BE＝AD-DF即EC＝AF
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（AAS）∴OF＝OE
2．如图12-1-10，□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则AB长的取什范围是（）
A．1＜AB＜7B．2＜AB＜4
C．6＜AB＜8D．3＜AB＜4
解：
由平行四边形的性质对角线互相平分得OA=4OB＝3，由三角形三边关系得
OA-OB＜AB＜OA+OB即1＜AB＜7
答：
故选A
3．如图12-1-12，将□ABCD沿AC折叠点B落在B′处，AB′交DC于点M，求证：
折叠后重合的部分（即△MAC）是等腰三角形．
证明：
∵△BAC≌B′AC∴AB′＝AB，B′C=BC
又∵AD=BCCD=AB∴AD＝B′CCD＝AB′
∴△ADC≌△CB′A（SSS）∴∠ACD=∠CAB′
∴MA=MC即△MAC是等腰三角形
4．如图12-1-13，E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF，求证：
△ABF≌△CDE
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，∠CAB=∠DCA
∵AE二CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
∴△ABF≌△CDE
随堂演练
一、判断题
1．平行四边形的对边分别相等（）
2．平行四边形的对角线相等（）
3．平行四边形的邻角互补（）
4．平行四边形的对角相等（）
5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（）
6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（）
二、选择题
1．已知□ABCD中：
AB=4cm，BC=7cm，则周长为（）
A．11cmB．22cmC．28cmD．44cm
2．在□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）
A．60°B．80°C．100°D．120°
3．在□ABCD中，∠A：
∠B：
∠C：
∠D的值可以是（）
A．1：
2：
3：
4B．3：
4：
4：
3
C．3：
3：
4：
4D．3：
4：
3：
4
4．平行四边形两条对角线分成全等的三角形（）
A．2对B．4对
C．6对D．8对
5．如图12-1-14中，□ABCD的内角∠BAD的平分线AE交BC于E，且AE＝BE，则∠BCD的度数是（）
A．60°B．30°
C．120°D．60°或120°
6．如图12-1-15，以A、B、C三点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形一共可以作（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
三、填空题
1．□ABCD中AB：
BC=4：
3，周长为28cm，则AD=cm，CD＝cm.
2．□ABCD中∠A+∠C=140°，则∠C=度，∠B=度.
3．□ABCD中周长为6Ocm，对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB=cm，BC＝cm.
4．□ABCD中BD是对角线，且BC＝BD，∠CBD=70°，则∠ADC=度．
四、解答题
1．已知平行四边形中相邻两边长度比是5：
3，其中较小边的长是6cm，求这个平行四边形的周长．
2．如图12-1-16所示，在□ABCD中，AD＝2DC，M为BC边的中点，连结AM、DM，试问直线AM与DM有何位置关系？
说明你的理由？
3．如图12-1-17，AD∥BC，AD＝8，BC＝13，AB＝6，CD＝5，∠B=53°．求∠D的度数．
五、证明题
1．已知：
如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：
（1）AE＝CF
（2）AE∥CF
2．已知：
如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF
参考答案
一、判断题
1．√2．×点拨：
对角线不一定相等，但互相平分
3．√4．√
5．×点拨：
对角线不平分一组对角，只是自己互相平分6．√
二、选择题
1．B点拨：
周长=2（AB+BC）＝2×11＝22cm
2．C点拨：
由∠A与∠B互补，∠A比∠B大20°，可求出∠A，而∠A与∠C为对角，可得∠C的度数．
3．D点拨：
由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，满足这关系的只有D．
4．B点拨：
对角线与平行四边形的两条邻边构成2对三角形全等，两条对角线的一半与平行四边形的一边组成2对三角形全等．
5．C点拨：
AE平分∠BAD，则∠BAE＝∠EAD，AE＝BE，则∠B＝∠BAE，因为AD∥BC，则∠AEB＝∠EAD，即∠B＝∠BEA＝∠BAE＝60°，所以∠BCD＝120°
6．C点拨：
将某一条边为对边，另外两条边为邻边，共有3种画法．
三、填空题
1．6；8点拨：
由AB+BC＝14cm，AB：
BC＝4：
3得AB＝8cm，BC＝6cm，因为AB＝CD，BC＝AD，即AD＝6cm，CD＝8cm
2．70°；110°点拨：
∠A=∠C所以∠C=70°，∠B＝180°-70°＝110°
3．19；11点拨：
△AOB为周长比△BOC的周长多8cm，即AB比BC多8cm，又因为AB+BC=
cm，就可求出AB和BC.
4．125
四、解答题
1．解：
如图
（1）所示
∵AB＝6cm，AD：
AB＝5：
3
∴AD=10cm∴平行四边形的周长为32cm
2．答：
互相垂直
点拨：
由已知得AB＝BM，故∠BMA=△BAM
又AD∥BC，故∠BAM＝∠MAD，同样的道理∠CDM＝∠MDA
又AB∥CD，故∠BAD+∠CDA＝18O°，即2∠DAM+2∠ADM＝180°
即∠DAM+∠ADM＝90°，∠AMD＝90°，AM⊥DM
3．解：
如图
（2）所示，过A作AE∥DC交BC于E.
∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD为平行四边形∴EC＝AD＝8
∴BE＝BC-EC＝13-8＝5，EA＝CD＝5
∴∠BAE＝∠B＝53°
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝106°∴∠D＝∠AEC=106°
五、证明题
1．证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB
DC∴∠ABE＝∠CDF
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF∴∠AEB＝∠CFD
∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等）∴AE∥CF
2．证明：
如图（3）所示
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC∴∠1＝∠2
∵BD是直线∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°
∴∠3＝∠4
∴△ADE≌△CBF∴AE＝CF
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