考研高等数学知识点归纳总结Word格式.docx

1、=1）（1）（sin sin cos cos ）cos（sin cos cos sin ）sin（ xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx -+=-+=+=+-=+=-=-11ln21）1ln（1ln（:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2）11（lim 1sin lim 0=+=e xx x x x x倍角公式:半角公式:cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 12co

2、s 2cos 12sin -=+=-+=+=-=+-=+=-=ctg tg正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin = 余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -=arccos 2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式:）（）（）（）2（）1（）（0（）（）（!）1（）1（!2）1（）（n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +-+-+=-=-值定理与导数应用:拉格朗日值定理。时,柯西值

3、定理就是当柯西值定理:拉格朗日值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =-=-）（F ）（）（）（）（）（）（）（）（曲率:.1;0.）1（lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =+=+=的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其弧微分公式: 23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg -=-=-=222222122212sin cos sin 211cos 22cos co

4、s sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=定积分的近似计算:-+-+-+-ban n n bn n ba n y y y y y y y y nb x f y y y y n a b x f y y y nb x f ）（4）（2）（3）（）（2）（）（）（1312420110110 抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式:-=bb a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W ）（1）（1,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积为锐角时

5、,向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。是向量在轴上的投影:点的距离:空间,cos ）（.sin ,cos ,cos Pr Pr ）（Pr ,cos Pr ）（）（）（22212121*c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xz y xy x z y x zz y y x x z z y y

6、 x x u u=+=+=+=+=-+-+-=（马鞍面）双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:同号）（、抛物面:、椭球面:二次曲面:参数方程:其空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其、点法式:平面的方程:3,22211;,1302）,（,0）（）（）（1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=+=+=+=-=-=-+=+=+=-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n

7、y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用y z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xv z x u u z x z y x v y x u f z tv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x

8、 y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=-=-=-=+=+=+=+=+=+=+=,隐函数+,隐函数隐函数的求导公式:时,当多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0）,（）（）（0）,（）,（）,（）,（）,（）（）,（）,（）,（22,（）,（1）,（）,（1）,（）,（1）,（）,（1）,（）,（0）,（0）,（y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F

9、 vu v u -=-=-=-=隐函数方程组:微分法在几何上的应用:,（）,（）,（30）（,（）（,（）（,（2）,（）,（）,（1）,（0）,（,0）,（0）,（0）（）（）（）（）（）（）,（）（000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G

10、z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-=-+-=、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线方向导数与梯度:上的投影。在是单位向量。方向上的,为,其:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。轴到方向为其的方向导数为:沿任一方向在一点函数l y x f l fl j i e e y x f lf

11、j yf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l f l y x p y x f z ）,（grad sin cos ）,（grad ）,（grad ）,（）,（sin cos ）,（）,（+=+=+=多元函数的极值及其求法:=-=不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00）,（,0）,（,00）,（,）,（,）,（0）,（）,（22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x重积分及其应用:+-=+=+=

12、+ +=Dz Dy Dx z y x Dx DD Da y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y MM y d y x d y x x MM x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 232222D（）,（）（）,（,）0（）,0,0（）,（,）,（）,（）,（,）,（）,（1）,（）sin ,cos （）,（,其:的引力:轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄

13、片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:+=+=+=dvy x I dv z x I dv z y I dvx M dv z Mz dv y My dv x Mx dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f zz r y r x z y x r ）（）（）（1,1,1sin ）,（sin ）,（）,（sin sin cos sin sin cos sin ）,sin ,cos （）,（,）

14、,（）,（,sin cos 22222220,（0,转动惯量:,其重心:,球面坐标:其:柱面坐标:曲线积分:=）（）（）（）（）（）,（）,（）,（,）（）（）,（22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L特殊情况:则:的参数方程为:上连续,在设长的曲线积分）:第一类曲线积分（对弧,通常设的全微分,其:才是二元函数时,=在:二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;、无关的条件:平面上曲线积分与路径的面积:时,得到,即:当格林公式:格林公式:的方向角。上

15、积分起止点处切向量分别为和,其系:两类曲线积分之间的关,则:的参数方程为设标的曲线积分）:第二类曲线积分（对坐0）,（）,（）,（）,（）0,0（）,（）,（21212,）（）（）cos cos （）（）（）,（）（）（）,（）,（）,（）（）（00,（）,（00=+=+-=-=-=+=-+=-+=+=y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yP x Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P QdyPdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q

16、 P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x DLD LD L L曲面积分:+=+=+=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydzz y z y x P dydz z y x P dxdyy x z y x R dxdy z y x R dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdyy x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyD D D D y x ）cos

17、cos cos （）,（,）,（,）,（）,（）,（,）,（）,（）,（）,（）,（）,（1）,（,）,（22系:两类曲面积分之间的关号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正,其:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:=+=lim ;3111lim 2111lim 1211 的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理:的审敛法或交错级数1113214321,0lim ）0,（+=+-+-+-+-n n n nn n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛:-+时收敛1时发散p 级数:

18、收敛;级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其11）1（1）1（）1（）2（）1（）2（）2（）1（232121p n p n n n u u u u u u u u p nn n n幂级数:010）3（lim ）3（1111111221032=+=+=+-+R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时,时,时,的系数,则是,其求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必

19、存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点对于级数时,发散时,收敛于函数展开成幂级数:+=-+=+-+-+-=+nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !）0（!2）0（）0（）0（）（00lim ）（,）（）!1（）（）（!）（）（!2）（）（）（）（2010）1（00）（20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数: 一些函数展开成幂级数:（）!12（）1（!5!3sin ）11（!2）1（1）1（121532+-+-+-+-=-+-+-+=+-x n xx x x x x x n n m m m x m m m x x n n n欧拉公式:-=+=+=-2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix ee x e e x x i x e 或 三角级数:上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:,其,0,cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin ）sin cos （2）sin（）（001010-=+=+= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n