考研高等数学知识点归纳总结Word格式.docx
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⋅±
=
=±
1
）
（1）（sinsincoscos）cos（sincoscossin）sin（x
x
arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx
xx
x-+=-+±
=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21）
1ln（1ln（:
:
2:
22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2）11（lim1sinlim0==+=∞→→ex
xxxxx
倍角公式:
半角公式:
α
αααααααααααα
ααα
cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12
cos12cos2cos12
sin-=
+=-+±
=+=-=+-±
=+±
=-±
=ctgtg
正弦定理:
RC
c
BbAa2sinsinsin===·
余弦定理:
Cabbaccos2222-+=
反三角函数性质:
arcctgxarctgxxx-=
arccos2
arcsinπ
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:
）
（）
（）（）2（）1（）（0
（）（）
（!
）1（）1（!
2）1（）
（nkknnnnn
kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++'
'
-+
+==---=-∑
值定理与导数应用:
拉格朗日值定理。
时,柯西值定理就是当柯西值定理:
拉格朗日值定理:
xxFfaFbFafbfabfafbf='
---'
=-）（F）
（）（）（）（）（））（（）（）（ξξξ
曲率:
.1
;
0.）
1（limMsMM:
.,13202a
KaKyydsdsKMMs
Ktgydxydss=
+'
==∆∆='
∆'
∆∆∆=
+=→∆的圆:
半径为直线:
点的曲率:
弧长。
化量;
点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:
其弧微分公式:
αααα
αα
ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=
-=-=α
αααααααααα
αα22222212221
2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=
-=-=-==
定积分的近似计算:
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
nnnb
nnb
anyyyyyyyyn
bxfyyyynabxfyyyn
bxf）]（4）
（2）[（3）（]）（2
[）（）（）（1312420110110抛物线法:
梯形法:
矩形法:
定积分应用相关公式:
⎰⎰--==⋅=⋅=b
badttfabdxxfabykr
m
mkFA
pFs
FW）
（1）（1
2221均方根:
函数的平均值:
为引力系数引力:
水压力:
功:
空间解析几何和向量代数:
。
代表平行六面体的体积为锐角时,
向量的混合积:
例:
线速度:
两向量之间的夹角:
是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影:
点的距离:
空间ααθθθϕϕ,cos）（][..sin,cos,,cosPrPr）（Pr,cosPr）（）（）（22
212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak
ji
ba
cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM
dz
y
xzyx
z
yx
zyx
yxzyxz
zyyxxzzyyxxuu
⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面:
单叶双曲面:
、双曲面:
同号）
（、抛物面:
、椭球面:
二次曲面:
参数方程:
其空间直线的方程:
面的距离:
平面外任意一点到该平、截距世方程:
、一般方程:
其、点法式:
平面的方程:
3,,2221
1};
,{,1
30
2）,,（},,,{0）（）（）（122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt
zznt
yymt
xxpnmstpzznyymxxCBAD
CzByAxdcz
byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA
多元函数微分法及应用
yzxyxyxyxyxFFyz
FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy
v
dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux
vzxuuzxzyxvyxufzt
vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz
udyyudxxududyyzdxxzdz-
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
==∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
, 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式:
时,,当
多元复合函数的求导法全微分的近似计算:
全微分:
0）,,（）（）（0）,（）,（）,（）],（）,,（[）]（）,（[）,（）,（22
（）,
（1）,（）,
（1）,（）,
（1）,（）,
（1）,（）,（0）,,,（0）,,,（yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv
Gu
GvF
u
F
vuGFJvuyxGvuyxFv
uvu∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩
⎨⎧== 隐函数方程组:
微分法在几何上的应用:
,（）,,（）,,（30
））（,,（））（,,（））（,,
（2）},,（）,,,（）,,,（{1）,,（0）,,（},,{,0）,,（0）,,（0））（（））（（））（（）（）（）（）,,（）
（000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy
xy
xxzxzzyzy-=
-=-=-+-+-==⎪⎩
⎪⎨
⎧====-'
+-'
-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程:
、过此点的切平面方程、过此点的法向量:
则:
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:
处的法平面方程:
在点处的切线方程:
在点空间曲线
ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度:
上的投影。
在是单位向量。
方向上的
为,其:
它与方向导数的关系是的梯度:
在一点函数的转角。
轴到方向为其的方向导数为:
沿任一方向在一点函数lyxflf
ljieeyxfl
fjy
fixfyxfyxpyxfzlxyf
xflflyxpyxfz）,（gradsincos）,（grad）,（grad）,（）,（sincos）,（）,（∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=
ϕϕϕϕ
ϕ
多元函数的极值及其求法:
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-<
-⎩⎨⎧>
<
>
-===== 不确定时值时, 无极
为极小值为极大值时,则:
,令:
设,00）,（,0）,（,00）,（,）,（,）,（0）,（）,（22
000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx
重积分及其应用:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>
===
==
⎪⎪⎭
⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+==='
D
zD
yD
xzyxD
xD
DD
ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM
MydyxdyxxM
MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2
3
22
22D
（）,（）
（）,（},,{）0（）,,0,0（）,（,）,（）,（）,（,）,（）,
（1）,（）sin,cos（）,（σ
ρσ
ρσρσρσ
ρθ
θθ, , ,其:
的引力:
轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量:
平面薄片的重心:
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
yxIdvzxIdvzyIdv
xMdvzM
zdvyM
ydvxM
xdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz
zryrxzyxrρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ）（）（）（1,1,1
sin）,,（sin）,,（）,,（sinsincossinsincossin）
sin,cos（）,,（,）,,（）,,（,sincos22222220
（0
, 转动惯量:
其 重心:
球面坐标:
其:
柱面坐标:
曲线积分:
⎩⎨
⎧==<
=≤≤⎩⎨
⎧==⎰
⎰）（）（）（）（）]（）,（[）,（）,（,）
（）（）,（2
2tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
特殊情况:
则:
的参数方程为:
上连续,在设长的曲线积分）:
第一类曲线积分（对弧
通常设的全微分,其:
才是二元函数时,=在:
二元函数的全微分求积注意方向相反!
减去对此奇点的积分,,应。
注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;
、无关的条件:
平面上曲线积分与路径的面积:
时,得到,即:
当格林公式:
格林公式:
的方向角。
上积分起止点处切向量分别为
和,其系:
两类曲线积分之间的关,则:
的参数方程为设标的曲线积分）:
第二类曲线积分（对坐0）,（）,（）,（）,（·
）0,0（）,（）,（21·
21
2,）（）（）coscos（）}（）]（）,（[）（）]（）,（[{）,（）,（）（）（00
（）
（00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-==
=∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=
=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰yx
dyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxy
PxQy
P
xQGyxQyxPGydx
xdydxdyADyPxQxQyPQdy
PdxdxdyyP
xQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdt
tttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD
L
DL
DLL
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
曲面积分:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
++=++±
=++++=
ds
RQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydz
zyzyxPdydzzyxPdxdy
yxzyxRdxdyzyxRdxdy
zyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdy
yxzyxzyxzyxfdszyxfzx
yz
xy
DDDDyx）coscoscos（]）,,（,[）,,（],）,,（[）,,（）],（,,[）,,（）,,（）,,（）,,（）,（）,
（1）]
（,,[）,,（2
2γβα系:
两类曲面积分之间的关号。
取曲面的右侧时取正
号;
取曲面的前侧时取正号;
取曲面的上侧时取正,其:
对坐标的曲面积分:
对面积的曲面积分:
高斯公式:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑=++==⋅<
∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
AdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnn
div）coscoscos（...
0div,div）coscoscos（）（
成:
因此,高斯公式又可写,通量:
则为消失的流体质量,若即:
单位体积内所产生散度:
—通量与散度:
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑∑
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
tARdzQdyPdxAR
QPzyxAyP
xQxRzPzQyRR
Q
zyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyP
xQdzdxxRzPdydzzQyR
的环流量:
沿有向闭曲线向量场旋度:
, 关的条件:
空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:
k
jirotcoscoscos）（）（）（
γβ
常数项级数:
是发散的
调和级数:
等差数列:
等比数列:
n
nnnqqqqqnn1
312112
）1（3211111
+++++=
++++--=
++++-
级数审敛法:
散。
存在,则收敛;
否则发、定义法:
时,不确定
时,级数发散
时,级数收敛
则设:
、比值审敛法:
时,不确定时,级数发散
别法）:
—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎨⎧=>
=⎪⎩
=lim;
3111lim2111lim1211ρρρρρρρρ
的绝对值其余项,那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理:
—的审敛法或交错级数111
3214321,0lim）0,（+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>
+-+-+-+-nnnn
nnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:
∑∑∑∑>
≤-+++++++++时收敛
1时发散p 级数:
收敛;
级数:
收敛;
发散,而调和级数:
为条件收敛级数。
收敛,则称发散,而如果收敛级数;
肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;
其11
）1
（1）1（）1（）2（）1（）2（）2（）1（232121pnpnnnuuuuuuuupn
nnn
幂级数:
01
0）3（lim）3（111
1111221032=+∞=+∞
≠==>
+++++≥-<
++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn
nnnnn时,时,时,的系数,则是,,其求收敛半径的方法:
设称为收敛半径。
其时不定
时发散时收敛
使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全
如果它不是仅在原点 对于级数时,发散
时,收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数:
+++'
+===-+=+-++-'
+-=∞→++n
nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!
）0（!
2）0（）0（）0（）（00
lim）（,）（）!
1（）（）（!
）（）（!
2）（））（（）（）（2010）1（00）（2
0000时即为麦克劳林公式:
充要条件是:
可以展开成泰勒级数的余项:
函数展开成泰勒级数:
ξ一些函数展开成幂级数:
（）!
12（）1（!
5!
3sin）
11（!
2）1
（1）1（121532+∞<
-∞+--+-+-=<
-++--++-++=+--xnx
xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn
欧拉公式:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin2cossincosixixix
ixixe
exeexxixe 或三角级数:
上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:
,,其,0]
[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin）sincos
（2）sin（）（001
010ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞=∞=nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatn
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