二次根式易错题集.docx

1、二次根式易错题集二次根式易错题集一、二次根式的概念：二次根式的性质：易错点： 1.在计算或求值时，容易疏忽 a a 0 是1. a a0 是一个非负数一个非负数。2.在开方时，易出现 a2 a a 0 的错误。2. a2aa3. a23.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、 运算的重要依据。 它们的结构相似， 极易混淆， 因此同 学们必须弄清它们之间的区别与联系错题：4. 3 65. 6 22. 3 2 （ 3） =3232 ? 6 9 6 54 或3632 66. 5 27.根据条件，请你解答下列问题：1)解：首先二次根式有意义，则满足20是一个平方数，即 20 n 必定可化为3. 2

2、5151254 5415221 2 5 1=4已知 20 n 是整数，求自然数 n 的值；n 0,所以 n 20, 又因为 20n 是整数，所以根号内的数一定20 n a2 a为整数 , 且a 0这种形式，即9，16。所以 n 20,19,16,11,4.20 n a2 a为整数 ,且a 0 。所以满足条件的平方数 a2有 0，1，4，(2)已知 20n是整数，求正整数 n 的最小值解：因为 20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即 20n 必定可化为 20n a2 a为整数这种形式，即 20n a2 a为整数 ，而 20n 4 5 a2 a为整数 ，4 可以开平方，剩下不能开平方的数

3、 5，所以正整数 n的最小值就是 5，因5 5 52能被开平方。 所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的 数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。7-2.(2)已知 12 n是正整数，求实数 n 的最大值；解：因为 20 n是正整数，所以满足 12 n 0,所以 n 12,所以根号内的数一定是一个平方数，即20 n 必定可化为 20 n a2 a为整数 ,且a 0 这种形式，即 20 n a2 a为整数 ,且a 0 。所以满 足条件的平方数 a2有1，4，9。所以 n 11,8,3.最大值为 11.28.计算 x9.计算：若a 4

4、 b 9 0, 则22a 2 b 210.已知 y 2x 55 2x 3，则 2xy 的值为1成立，则 x 的取值范围是11.若等式11-1.已知 a a 30，若 b 2 a ，则b的取值范围是22a 2 b 2对于本题， 首先有根式 a ，0，a 3，所以 0 a 3.解：对于含字母的代数式， 首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件 则应考虑根式成立的条件是 a 0 。又题目 a a 3 0 ，所以 a 3不等式两边都乘以 1得 3 a 0，不等式两边同加 2得， 2 3 2 a 2 11-2.已知 a a 3 0，若 b 2 a ，则b的取值范围是 。解：对于含字母的代数式， 首先应考

5、虑使它有意义或使代数式成立的条件。 对于本题， 首先有根式 a ， 则应考虑根式成立的条件是 a 0。又题目 a a 3 0，所以 a 0,所以a 3 0，得a 3，所以 0 a 3 .不等式两边都乘以 1 得 3 a 0 ，不等式两边同加 2 得， 2 3 2 a 21112.已知 a,b,c满足 a b 2 2b c c2 c 0，求 a b c 的值。2413.已知实数 a,b,c满足 a b 8 8 a b 3a b c a 2b c 3 ，请问：长度分别为 a,b,c 的三 条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。14.已知实数 a,b为两个连续

6、的整数，且 a 28 b，则 a b= 。15.选择：已知实数 m,n为两个连续的整数 m n ，q mn，设p q n q m，则 p= 。A. 总是奇数 B.总是偶数 C. 有时是奇数，有时是偶数 D.有时是有理数，有时是无理数16.在实数范围内分解因式（ 1） a2 5 （2） x2 2 2x 217.化简求值：（1）2a a b a b ，其中 a 2012 ，b 2013 ；2（2）a 1 a22 2a 1 1，其中a 1 5a a a19.（ 2010 江苏南京 ）如图，下列各数中，数轴上点 A表示的可能是A.4 的算术平方根 B.4 的立方根 C.8 的算术平方根 D.8 的立方

7、根【答案】 C20.（2010 浙江杭州） 4 的平方根是A. 2 答案】 BB. 2C. 16D. 1621.（2010 浙江嘉兴） 设 a 0b 0 ，则下列运算中错误的是（）A ) ab a bB) a b a bC) ( a) ab答案】 BA. 2 3 5B. 2 36 C. 6 23D.( 2)2 2【答案】 A23.（ 2010 江苏淮安）下面四个数中与11 最接近的数是A 2B3C 4 D5【答案】 B23.（ 2010 湖北荆门）若 a 、b 为实数，且满足a2+b2 =0，则 ba 的值为A2B0C2D以上都不对22.（ 2010 江苏常州）列运算错误的是【答案】 C23D

8、若 x3=8，则 x=224. （2010湖北恩施自治州） 4 2 的算术平方根是A. 4 B. 4C.2D. 2【答案】 A25.下列命题是真命题的是（）22A 若 a =b ，则 a=bB若 x= y ，则 23x23 yC若 x =2，则 x= 2【答案】 C26. （ 2010 湖北襄樊） 下列说法错误的是（ ）A16 的平方根是 2B2 是无理数C3 27 是有理数D2是分数2答案】27. （ 2010 湖北襄樊）计算 3225 的结果估计在（A6 至 7 之间 答案】 BB7至 8之间C 8 至 9 之间D9至 10之间28.（ 2010 四川绵阳）A 1 x32要使 3 x 1

9、有意义，则 x 应满足（2x 111B x3 且 x C x 322）D 1 x32【答案】 D29.）（ 2010 四川绵阳） 下列各式计算正确的是（43 3Am2 m3 = m6 B 161 16 1331 a （a 1）3 23 33 2 3 5 D （a 1） 11a （1 a）2 11a【答案】 D30.（ 2010 湖南湘潭） 下列计算正确的是23A. 2 3 2 3 B.a a2 a3 C.（2a） （3a） 6a D. 2【答案】 D31.（ 2010 贵州贵阳） 下列式子中，正确的是 （A）10 127 11 （B）11 127 12（C）12 127 13 （D）13 12

10、7 14【答案】 B32.（2010 四川自贡） 已知 n 是一个正整数， 135n 是整数，则 n 的最小值是（ ）。A3 B 5 C15 D25解： 135n 是整数， 那么 135n 肯 定能化 为 135n a2 的形式 ，所以 135n a2 ，将 的 135 分解 因式 22135 3 5 9 3 5 32，要使 135n a 2 ，那么必须再乘以 35=15 才行，所以 n=15.【答案】 C33.（2010 天津） 比较 2， 5 ， 3 7的大小，正确的是（A） 2 5 7 （B） 2 7 5（C） 7 2 5 （ D） 5 7 2解 ：2=3 8 3 7 ，而 2 5 ，所

11、以 3 7 2 5 【答案】 C34.（2010 福建德化） 若整数 m满足条件 （m 1）2 m 1且 m 2 ，则 m的值是 5【答案】 035.（2010 福建三明） 观察分析下列数据，寻找规律： 0， 3 ， 6,3,2 3,那么第 10 个数据应是 。解： 0 0 3， 3 1 3， 6 2 3 2 3，3 3 3， 2 3 22 3 4 3，第n 个数应为 n 1 3 ，第 10 个数为 10 1 3 9 3 3 3答案】 3 336.已知：a、b 为两个连续的整数，且 a 15 b，则 a + b =1516，即 315 4 ，所以 a 3,b 4， a b 7 6 分 8 分

12、1 分4 3 分因为 9【答案】 737. 已知 x 1 3 ，求代数式 (x 1) 2 4(x【答案】 解法一：原式 (x 1 2)2 (x 1)2 当 x 1 3时 原式 ( 3) 23解法二：由 x 1 3 得 x 3 1化简原式 x2 2x 1 4x 41) 4 的值 2 分4分 x2 2x 1 4 分 ( 3 1)2 2( 3 1) 1 5 分 3 2 3 1 2 3 2 1 7 分 3 8 分其中38.( 2010 山东烟台) (本题满分 6 分)先简化，再求值：答案】2 2 2 解： x y 2 x2 y2 2= x y (x 2y)2x 2yxy39.2010 福建晋江）（8

13、分）先化简，再求值：时，原式 =1 2 2(1 2) 3 2 13x xx 1 x 1x2 1 ，x其中 x22答案】 解一：原式3xx1x11xx1 x 1x2 13x23xx 1 xx 2y x2 4xy 4y2 x 2y (x y)(x y)2x2 4xx 1 x 1x1x1x2x2当x22 时，原式 =222原式3x2 x12 xx1x1xx1x3xx1x1xx1xx13 x1x13x3x12x4当x22 时，原式 =(2 22）2x x 22 =2 2解二：4= 2 2x 1 xx 1 x 140.( 2010 湖北武汉) 先化简，再求值 :(x 2 5 ) x22xx 34 ，其中

14、 x= 2 3.答案】答案 : 原式=(x2 4x25 )? 2(x 2)x 2)? x 32xx29 ?2(x 2)=(x 3)(x 3) ?2(xx 3 x 22) =2x+6. x3当 x= 2 3 时，原式=2( 2 3)+6= 2 2 .41.若等式 ( 3x 2)01成立，则 x 的取值范围是0 次幂的底数不能为 0，为 0 时无意义。 a0 abba ，若a 0 ，则有 00 0b0b0b0b0 无意义。0【答案】 x 0 且 x 1242.已知 6 3m (n 5)2 3m 6 (m 3)n2 ，则解：使 m 3 n2 有意义的条件是6 3m 3m 6 ，所以原式为 3m3 n

15、2 0 ，而2n50 ，所以只需 m 3所以 m 3 n2 0, 所以 得 m 3, 所以 m n 3 5 【答案】 2 43.已知 x，y 为实数，且满足 解：使 1 y有意义，则 y 所以 (y 1) 1 y 【答案 】 2；2 m 3 n2 23m 620, 所以 n 50 ，所以 n1 x (y1,则y10, 1 x0,求得1) 1 y =0，0, 所以 (y x 1, y 1. 所以那么 x201144.已知 a、 b为有理数， 分析：只需首先对 5 1进行计算 2 7 3，所以 2 3 7 3 7 代入 amn 16b 7 2a 6bamn bn2 解：因为 n=5 7把 m=2

16、， n 化简得 6a0，2523 。所以 6 3m 0, 所以22m 3 n2 。因 n 5 0 ，5 ，代入 m 3 n2 0, 得 m 3 52 0,，即 ny2011=1) 1 y 0 ，又 1 x x2011y2011=2.m、n 分别表示 57 估算出大小，从而求出其整数部分7 的整数部分和小数部分， 且 amna，其小数部分用3 7 2, 所以 5等式两边相对照，因为结果不含所以 6a+16b=12a+6b=0，解得bn2 1 得，1，7，3a= ， b=223 7 a即m0,且 1 x (y 1) 1 y =0，bn2575 7 5 2, 所以7b1所以 2a+b= 31 ，则

17、2a b 。a 表示再分别代入250, y0, 原式xy xyxy y x xyxy 5 354. 阅读下列材料，然后回答问题 . 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如22 一样的式子，其实我们可以将其进一步化简533 3 3 3 ；（一）6；3232（ 3 1） 3（ 3） 2 12 3以上这种化简的步骤叫做分母有理化 .2312 ( 3 1)( 3 1)( 3 1)2 还可以用以下方法化简： 31313 2 1 3 1 3 1313 1 （四）1）请用不同的方法化简2参照（三）式得 253C. 1 (a b)4 ab2参照（四）式得 2531化简 12) 3 1 5 3 7 52n 1

18、2n 12解：（1）532( 5 3)( 5 3)( 5 3)5 3.5353( 5)2 ( 3) 2 53( 5 3)( 5 3) 5 3.5 3 5 3.2) 3 1 52n 1 2n 1 3 1 5 3 72n 1 2n 1 1.11 1 . 13 1 5 3 7 5 . 2n 1 2n 13 1 5 3 7 5 . 2n 1 2n 13 1 3 1 5 3 5 3 7 5 7 5 . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1315375. 2n 1 2n 1315375. 2n 1 2n 11 3 1537 5 .2n 1 2n 121 2n 11255.在实数范围内分解因式： x4 9

19、 , x2 2 2x 2 答案： x2 3 x 3 x 3 ; x 256.把a 1 的根号外的因式移到根号内等于 。解：使二次根式有意义则 a 0,所以 a 1 0,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使 a其小于 0. 即 a 1 a2 1 a,答案： a57.在式子 x xf 0 , 2, y 1 y 2 , 2x xp 0 , 3 3, x2 1,x y 中，二次根式有（ C ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个解：根据 二次根式定义 :式子 a （ a0）叫做二次根式。满足两个条件，第一根指数是 2，第二被开方数大于等于0.所以 2x x 0, 2, 2

20、x x0, x2 1满足条件， y 1 y2 的被开方数小于 0，3 3 的根指数为 3，x y不是根式。故选 C.58.下列各式一定是二次根式的是（ CA. 7 B. 3 2m C. a2 1 D.解：只有 a2 1 一定满足二次根式的两个条件：第一根指数是 2，第二被开方数大于等于 0.故选 C.59.计算： 2a 1 2 1 2a 2 的值是（ D ）A. 0 B. 4a 2 C. 2 4a D. 2 4a或 4a 2【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论 . 本章在运用公式 a2 | a |进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论 .解: 2a 1 2

21、 1 2a 2 = 2a 1 1 2a1 令 2a 1 0,1 2a 0, 得 a .2于是实数集被分为 a1和a1两部分。22当a12时，2a 10,1 2a0.所以原式 =2a 12a 1 4a 2.当a12 时，2a 10,1 2a0. 所以原式 =12a 1 2a 2 4a.规律方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即 把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法” .60. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

22、Q 2 3 22 3 12 123 2 2 3 12L 22 3 2 3L L L L L L 32 2L L L L L L L L 4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：第（ 2）步出错了。正确的应为2 3 22 3 1261. 已知 x2 3x 1 0 ，求x2 12 2 的值。解：此题如果直接解方程求出 x 的值后再代入计算非常繁琐。 可对已知方程和要求的根式进行适当变形后再代入求解更简单。观察根式 x2 12 2中含有 x2 12 ，是这是典型的 a2 b2 的形式，可使用完全平方公式进行配方为 a 2 b2 a 2 b2 2ab 2ab a b 2ab 。于是可将二次根式变形为21x也可变形为2. 202 162 20 16 20 1636 4 62 22 6 2 12已知方程 x2 3x 1 0要变成x 1或x 1的形式就必须降次， 因为方程隐含 x 0.所以将方程两边 xx同时除以 x 进行降次得 x 1 3，