二次根式易错题集.docx
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二次根式易错题集
二次根式易错题集
一、二次根式的概念：
二次根式的性质：
易错点：
1.在计算或求值时，容易疏忽aa0是
1.aa
0是一个非负数
一个非负数。
2.在开方时，易出现a2aa0的错误。
2.a2
aa
3.a2
3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运
算的重要依据。
它们的结构相似，极易混淆，因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
错题：
4.36
5.62
2.32－（－3）=3
2
32?
69654或
36
326
6.52
7.根据条件，请你解答下列问题：
1）
解：
首先二次根式有意义，则满足
20
是一个平方数，即20n必定可化为
3.25
1
5
12
5454
1
52
2
125－1=4
已知20n是整数，求自然数n的值；
n0,所以n20,又因为20
n是整数，所以根号内的数一定
20na2a为整数,且a0
这种形式，即
9，16。
所以n20,19,16,11,4.
20na2a为整数,且a0。
所以满足条件的平方数a2有0，1，4，
（2）已知20n是整数，求正整数n的最小值
解：
因为20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20n必定可化为20na2a为整数
这种形式，即20na2a为整数，而20n45a2a为整数，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，
所以正整数n的最小值就是5，因5552能被开平方。
所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能开平方的数。
7-2.
（2）已知12n是正整数，求实数n的最大值；
解：
因为20n是正整数，所以满足12n0,所以n12,所以根号内的数一定是一个平方数，即
20n必定可化为20na2a为整数,且a0这种形式，即20na2a为整数,且a0。
所以满足条件的平方数a2有1，4，9。
所以n11,8,3.最大值为11.
2
8.计算x
9.计算：
若
a4b90,则
22
a2b2
10.已知y2x5
52x3，则2xy的值为
1成立，则x的取值范围是
11.若等式
11-1.已知aa3
0，若b2a，则b的取值范围是
22
a2b2
对于本题，首先有根式a，
0，a3，所以0a3.
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件则应考虑根式成立的条件是a0。
又题目aa30，所以a3
不等式两边都乘以－1得3a0，不等式两边同加2得，232a211-2.已知aa30，若b2a，则b的取值范围是。
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。
对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a0。
又题目aa30，所以a0,所以a30，得a3，所以0a3.不等式两边都乘以－1得3a0，不等式两边同加2得，232a2
11
12.已知a,b,c满足ab22bcc2c0，求abc的值。
24
13.已知实数a,b,c满足ab88ab3abca2bc3，请问：
长度分别为a,b,c的三条线段能否组成一个三角形？
如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。
14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a28b，则ab=。
15.选择：
已知实数m,n为两个连续的整数mn，qmn，设pqnqm，则p=。
A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数
16.在实数范围内分解因式
（1）a25
（2）x222x2
17.化简求值：
（1）2aabab，其中a2012，b2013；
2
（2）a1a222a11，其中a15
aaa
19.（2010江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是
A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根
【答案】C
20.（2010浙江杭州）4的平方根是
A.2答案】B
B.2
C.16
D.16
21.（2010浙江嘉兴）设a0
b0，则下列运算中错误．．的是（
▲）
A）abab
B）abab
C）（a）a
b
答案】B
A.235
B.23
6C.62
3
D.
（2）22
【答案】A
23.（2010江苏淮安）
下面四个数中与
11最接近的数是
A．2
B
．3
C．
4D
．5
【答案】B
23.（2010湖北荆门）
若a、
b为实数，
且满足│
a－2│+
b2=0，
则b－a的值为
A．2
B．0
C．－2
D．以上都不对
22.（2010江苏常州）
列运算错误的是
【答案】C
2
3
D．若x3=8，则x=±2
24.（2010湖北恩施自治州）42的算术平方根是
A.4B.4
C.
2
D.2
【答案】A
25.下列命题是真命题的是（
）
22
A．若a=b，则a=b
B．若x=y，则2－3x﹥2－3y
C．若x=2，则x=±2
【答案】C
26.（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（）
A．
16的平方根是±2
B．
2是无理数
C．
327是有理数
D．
2是分数
2
答案】
27.（2010湖北襄樊）
计算32
25的结果估计在（
A．6至7之间答案】B
B．7至8之间
C．8至9之间
D．9至10之间
28.（2010四川绵阳）
A．1≤x≤3
2
要使3x1有意义，则x应满足（
2x1
11
B．x≤3且x≠C．22
）．
D．12
【答案】D
29.
）．
（2010四川绵阳）下列各式计算正确的是（
433
A．m2·m3=m6B．161161
33
1a（a<1）
32333235D．（a1）11a（1a）211a
【答案】D
30.（2010湖南湘潭）下列计算正确的是
23
A.2323B.aa2a3C.（2a）（3a）6aD.2
【答案】D
31.（2010贵州贵阳）下列式子中，正确的是（A）10<127<11（B）11<127<12
（C）12<127<13（D）13<127<14
【答案】B
32.（2010四川自贡）已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是（）。
A．3B．5C．15D．25
解：
135n是整数，那么135n肯定能化为135na2的形式，所以135na2，将的135分解因式22
1353593532，要使135na2，那么必须再乘以3×5=15才行，所以n=15.【答案】C
33.（2010天津）比较2，5，37的大小，正确的是
（A）257（B）275
（C）725（D）572
解：
2=3837，而25，所以3725【答案】C
34.（2010福建德化）若整数m满足条件（m1）2＝m1且m<2，则m的值是．
5
【答案】0
35.（2010福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：
0，3，6,3,23,
⋯⋯那么第10个数据应是。
解：
003，313，62323，333，2322343，第
n个数应为n13，第10个数为10139333
答案】33
36.已知：
a、b为两个连续的整数，且a<1515
16，即3
154，所以a3,b4，ab7
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
因为9
【答案】7
37.已知x13，求代数式（x1）24（x
【答案】解法一：
原式＝（x12）2
＝（x1）2当x13时原式＝（3）2
＝3
解法二：
由x13得x31
化简原式＝x22x14x4
1）4的值．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
4分
＝x22x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
＝（31）22（31）1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
＝32312321⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
＝3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
其中
38.（2010山东烟台）（本题满分6分）先简化，再求值：
答案】
222解：
xy2x2y22=xy（x2y）2
x2y
xy
39.
2010福建晋江）（8分）
先化简，
再求值：
时，
原式=122（12）321
3xx
x1x1
x21，
x
其中x
22
答案】解一：
原式
3x
x1
x1
1
xx
1x1
x21
3x2
3x
x1x
x2yx24xy4y2x2y（xy）（xy）
2x24x
x1x1
x
1x
1
x
2x
2
当x
2
2时，
原式=
22
2
原式
3x
2x
1
2xx
1
x1
x
x
1
x
3x
x
1x
1
x
x
1
x
x
1
3x
1
x1
3x
3x
1
2x
4
当x
2
2时，
原式=
（22
2）
2xx2
2=22
解二：
4=22
x1x
x1x1
40.（2010湖北武汉）先化简，再求值:
（x25）x2
2xx34，其中x=23.
答案】答案:
原式=（x24
x2
5）?
2（x2）
x2）?
x3
2
x
x2
9?
2（x2）=（x3）（x3）?
2（x
x3x2
2）=2x+6.x3
当x=23时，原式
=2（23）+6=22.
41.若等式（3x2）0
1成立，则x的取值范围是
0次幂的底数不能为0，为0时无意义。
a0ab
b
a，若
a0，则有000b
0b
0b
0b
0无意义。
0
【答案】x0且x12
42.已知63m（n5）23m6（m3）n2，则
解：
使m3n2有意义的条件是
63m3m6，所以原式为3m
3n20，而
2
n5
0，所以只需m3
所以m3n20,所以得m3,所以mn35【答案】－243.已知x，y为实数，且满足解：
使1y有意义，则y所以（y1）1y【答案】－2；
2m3n22
3m6
2
0,所以n5
0，所以n
1x（y
1,则
y1
0,1x
0,求得
1）1y=0，
0,所以（yx1,y1.所以
那么x2011
44.已知a、b为有理数，分析：
只需首先对51进行计算．2<7<3，所以237．
37代入amn16b72a6b
amnbn2解：
因为n=57
把m=2，n化简得6a
0，
2
52
3。
所以63m0,所以
22
m3n2。
因n50，
5，代入m3n20,得m3520,
，即n
y2011=
1）1y0，又1xx2011－y2011=－2.
m、n分别表示5
7估算出大小，从而求出其整数部分
7的整数部分和小数部分，且amn
a，其小数部分用
372,所以5
等式两边相对照，因为结果不含
所以6a+16b=1
2a+6b=0，解得
bn21得，
1，
7，
3
a=，b=
2
237a
即m
0,且1x（y1）1y=0，
bn2
57
5752,所以
7b1
所以2a+b=3
1，则2ab。
a表示．再分别代入
2<5
<3，故m=2，
【答案】5
2
2011
45.若m
20121，则
543
m52m42011m3的值是
解：
如果直接代入计算，
将会非常复杂。
必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。
2011可得
20121
201120121
m20121,则m12012.则m122012120121
2012.又可将
m5
2m4
2011m3因式分
解得m3m22m2011m3m22m12012m3m12012
m32012
20120.【答案】0
46.已知m12，A.9解：
像这种两个数为到两个字母的
2m
C.3
b,yab.的形式，
2
n2就要想
n12，则代数式
B.±3xa平方和m2
2
n23mn的值为（D.5
可化成xy2a从而消去b，化成xy到用完全平方公式进行配方
2
b2可消去根式。
一看22
m2n2的形式。
m2n23mn
【答案】C
47.（2011山东烟台，19,6分）先化简再计算：
2x1
2x1，其中x是一元二次方程x
m2n22mn5mnm
5mn22
51212
x21
2
xx
x2
2x
0的正数根
原式
2
（x1）（x1）x2x1x
解方程得
x（x
2x20得：
x113
1）
（x
0，
x2
x
1）2
1
1
=x1.
30.
所以原式=131=3=
13
3
★★48.（2011山东日照，
18，6分）化简，求值：
m2
2m1m21
（m
m1
）其中m=3
m1
2
答案】原式=m22m1m21（m1）2
（m1）（m1）（m1）
m1
2
（m1）（m1）m2m1m1
=?
=
2
m1m2m
m11．==．m（m1）m
1
∴当m=3时，原式=
3
1
1m1
m1
2
mm
49.（2011?
青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）2011=
考点：
非负数的性质：
算术平方根；非负数的性质：
绝对值。
分析：
根据题意得+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
解答：
解：
依题意，得
+|a﹣2|=0，
根据非负数的意义，得，
2b+6=0，
解得：
b=﹣3，
a﹣2=0，
解得：
a=2，
20112011
∴（a+b）2011=（﹣1）2011=﹣1．
故答案为为：
﹣1．
a2≥0，
点评：
此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：
|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．
50.在下列二次根式中，与ab是同类二次根式的是（
A.1（ab）3
5
1
B.12ab
3
D.ab
解：
使ab有意义，则ab0,所以15ab3
abab,1ab4
5ab
ab2ab,
ab
33ab.所以答案为A.abab
51.若最简二次根式xx3与23x5是同类二次根式，
x的值为
-1[提示：
根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.]
52.在
2x,23,ab,a2b2,ax中，是最简二次根式的有
个.
3[提示：
23,ab,ab是最简二次根式.]
x
y的值.
53.已知xy5,xy3,求
y
解：
Qxy5,xy3,x>0,y>0,原式
xyxy
xyyxxy
xy53
54.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
2
2一样的式子，其实我
们可以将其进一步化简
53
3333；
（一）
6；
；
3
2
3
2（31）3
（3）2123
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
31
2（31）
（31）（31）
2还可以用以下方法化简：
31
31
3213131
31
31（四）
1）请用不同的方法化简
2
①参照（三）式得2
53
C.1（ab）4ab
2
②参照（四）式得2
53
1
化简1
2）315375
2n12n1
2
解：
（1）①
53
2（53）
（53）（53）
53.
53
53
（5）2（3）253
（53）（53）53.
5353.
2）315
2n12n131537
2n12n11.
111...1
315375...2n12n1
315375...2n12n1
313153537575...2n12n12n12n1
31
5
3
75
...2n12n1
31
5
3
75
...2n12n1
131
5
3
75...
2n12n1
2
12n1
1
2
55.在实数范围内分解因式：
x49,x222x2
答案：
x23x3x3;x2
56.把a1的根号外的因式移到根号内等于。
解：
使二次根式有意义则a0,所以a10,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使a
其小于0.即a1a21a,
答案：
a
57.在式子xxf0,2,y1y2,2xxp0,33,x21,xy中，二次根式有（C）
A.2个B.3个C.4个D.5个
解：
根据二次根式定义:
式子a（a≥0）叫做二次根式。
满足两个条件，第一根指数是2，第二被开方数大于等于
0.所以2xx0,2,2xx
0,x21满足条件，y1y
2的被开方数小于0，33的根指数为3，xy
不是根式。
故选C.
58.下列各式一定是二次根式的是（C
A.7B.32mC.a21D.
解：
只有a21一定满足二次根式的两个条件：
第一根指数是2，第二被开方数大于等于0.故选C.
59.计算：
2a1212a2的值是（D）
A.0B.4a2C.24aD.24a或4a2
【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本章在运用公式a2|a|进行化简时，若字
母的取值范围不确定，应进行分类讨论.
解:
2a1212a2=2a112a
1令2a10,12a0,得a.
2
于是实数集被分为a
1
和a
1
两部分。
2
2
当a
12时，
2a1
0,12a
0.所以原式=2a1
2a14a2.
当a
12时，
2a1
0,12a
0.所以原式=1
2a12a24a.
规律
·方法
对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，
用这种方法解题分为以下步骤：
首先，求出绝对值为零
时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
60.下面的推导中开始出错的步骤是（）
Q23223121
2322312L2
2323LLLLLL3
22LLLLLLLL4
A.1B.2C.3D.4
解：
第
（2）步出错了。
正确的应为
2322312
61.★★★★已知x23x10，求
x2122的值。
解：
此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。
可对已知方程和要求的根式进行适当变形
后再代入求解更简单。
观察根式x2122中含有x212，是这是典型的a2b2的形式，可使用完全平方公式进行配方
为a2b2a2b22ab2abab2ab。
于是可将二次根式变形为
2
1
x
也可变形为
2.20216220162016
36462226212
已知方程x23x10要变成x1或x1的形式就必须降次，因为方程隐含x0.所以将方程两边xx
同时除以x进行降次得x13，
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