二重积分对称性定理证明与应用.docx

1、二重积分对称性定理证明与应用摘 要 . 1要点词 . .1Abstract .1Keywords .1前言 .11预备知识 .12二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用 .2 分地域 D 关于坐 称 .2 分地域 D 关于坐 地域内任意直 称 . .5 分地域 D 关于坐 原点 称 . 9 分地域 D 关于坐 地域内任意一点 称 . 11 分地域 D 同 关于坐 和坐 原点 称 . .12结束语 .12参照文件 . .13二重积分对称性定理的证明及应用摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题 要点词：对称性；积分区城；被积函数The

2、 Application of Symmetry in Double Integral CalculatingAbstract：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry.Keywords： Symmetry; Integral region; Integ

3、rated function前言利用对称性计算二重积分，不仅好够使计算简化，有时还可以够防范错误在一般情况下，必定是积分地域 D 拥有对称性，而且被积函数关于地域 D 也拥有对称性，才能利用对称性来计算在特别情况下，诚然积分地域 D 没有对称性，也许关于对称地域 D 被积函数没有对称性，但经过技巧性的办理，化为能用对称性来简化计算的积分这些都是很值得我们商议的问题1预备知识关于二重积分 f (x, y)dxdy 的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在D定积分的计算中，假设遇到对称区间，那么有下面特别简洁的结论：af ( x) dx0当 f ( x) 在区间上为连续的奇函数时，aaf

4、( x)dx2a当 f ( x) 在区间上为连续的偶函数时，f ( x)dx a0这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分在计算二重积分时，假设积分地域拥有某种对称性，可否也有相应的结论呢？答复是必定的下面，我们将此结论近似地实行到二重积分2二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用1定理 11假设二重积分f (x, y) dxdy 满足D(1)地域 D 可分为对称的两局部 D1 和 D2 ，对称点 PD1， PD2 ；(2)被积函数在对称点的值f (P) 与 f ( P ) 相同或互为 相反数 ；那么0,f ( P )f ( P)f ( x, y) d x d y2,

5、(f P)Df ( x , y ) d x d y(f )PD1其中 P 的坐标依照 D 的对称性的种类而确定积分地域 D 关于坐标轴对称积分域 D 关于轴对称， f ( x, y) 为 D 上的连续函数定理 2若是积分域 D 关于 x 轴对称， f (x, y) 为 y 的奇偶函数，那么二重积分0， f ( x,y)f ( x, y)f ( x, y) dxdy2f (x, y) dxdy ， f ( x,y)f ( x, y)，DD1其中 D1 为 D 在 x 轴的上半平面局部证明f ( x, y)dxdyf (x, y)dxdyf ( x, y)dxdy(1)DD1D2假设地域 D 对称

6、于 x 轴 ( 图 1 ) ，对任意 P(x, y)D1 ，其对称点 P ( x, y)D2D1 0 y(x), a x b ， D2(x) y0, ax b ，令2xx ，y t那么 D 2 变换为 xot 坐标面上的 D10t( x)，ax b，且雅可比行列式(x, y)10(x,t )011故f ( x, y) d x d y f ( x, t)1 d x d t f ( x, y) d x d yD2D1D1f ( x,y) d x d y,(f ,x)y(f ,x )yD1，f ( x, y) d x d y,(f ,x)y(f ,x )yD1于是，代入 1式得：0,f ( x, y

7、)f ( x, y)f (x, y) dxdy2f (x, y)dxdy ,f ( x, y)f ( x,y)DD1例 1计算y ln(1x2y2 )dxdy ，其中地域 D ： x2y21,x 0D解f ( x, y)y ln(1x2y2 ) 是关于 y 的奇函数且 D 关于 x 轴对称，因此y ln(1 x2 y2 )dxdy 0 D例 2 计算 sin( x2 y2 )dxdy ，其中地域 D ： x2 y2 4, x 0D解 由于 f (x, y) sin( x2 y2 ) 是关于 y 的偶函数，且 D 关于 x 轴对称，因此sin(x2y2 )dxdy 2sin( x2y2 )dxd

8、yDx2y24x0采用极坐标22sin( x2y2 )dxdy22 dr sin r 2x2y2 400x0. y 03(1 cos4)22.1.2 积分域 D 关于 y 轴对称， f ( x, y) 为 D 上的连续函数定理 3若是积分域 D 关于 y 轴对称， f ( x, y) 为 x 的奇偶函数，那么二重积分0， f (x, y)f ( x, y)f ( x, y) d x d y，2(f ,x )y(f ,x )yf (x , y )d x d yDD1其中 D1 为 D 在 y 轴的右半平面局部证明 假设地域 D 对称于 y 轴 ( 图 2 ) ，对任意 P( x, y) D1 ，

9、对称点 P ( x, y) D 2 ，类似定理 2 的证明可得0,f (x, y)f ( x, y)Df ( x, y) dxdy2 f (x, y) dxdy ,f (x, y)f ( x, y) D1例 3计算2(x x3 y 2 )dxdy ，其中 D ： x2y24, y0D解f ( x, y) x x3 y2 ，f ( x, y)x x3 y2( x x3 y 2 )f ( x, y) ，且地域 D 关于 y 轴对称，因此(x x3 y2 )dxdy0 D例 4计算x2 ydxdy ，其中地域 D ： 1 x1,0 y 1D4解 f ( x, y) x2 y 是关于 x 的偶函数，且

10、地域 D 关于 y 轴对称，因此11112dx1 x2 ydxdy 2 dyx2 ydx2 ydyx00003D2.2 积分地域 D 关于坐标地域内任意直线对称将积分地域 D 关于坐标轴对称的情况实行到积分地域D 关于坐标地域内任意直线对称，那么有下面定理：定理 4 若是积分域 D 关于直线 y axb 对称，那么二重积分0,2a( yaxb)(a21)(yaxb)f ( x1 a2, ax b1 a2)f ( x, y) dxdy(a2f ( x, y) dxdy ,f ( x2a( yaxb)1)(yaxb)D21a2, ax b1a2)D1f( x.y)f ( x.y)其中 D1 为 D

11、 在以直线 y ax b 为轴的右半平面局部图 3证明假设地域 D 对称于直线 y axb ，不如设 a0 ，即倾斜角为锐角第一，平移坐标轴，得坐标系x o y ,如 ( 图 3 )xbx，ay y即5xxb2ayy其次，将坐标系 x o y 沿逆时针方向旋转， 旋转角为(tana) ，使 x 轴与直线 y ax b重合得新坐标系 uo v ：x ( u vt a n ) c o s u a v1a23a uy ( u vt a n ) s i n vvs e ca21由2， 3得xuavb1a2aauv，y1a2即u1 a2 (xb )a( y ax b)a1 a2yaxbv1a2xoy 坐

12、标面内对称于直线 yaxb 的地域 D ，在新坐标系 uo v 内对应的地域 D 关于 u 轴对称 xoy 面内任意点 P(x, y)D1 ，在 uo v 面内对应点 P1(u, v)D1 u1 a2 (xb )a( y ax b) ， vy ax b ，a1a21 a2点 P1(u, v) 关于 u 轴对称点 P1(u,v)D2， P1 (u,v) 在 xoy 面内对应点为P (u a( v)b , au ( v) ) D 2 ，1a2a1a2将 u, v 代入，化简得：P ( x2a( yaxb) , axb(a2 1)( yax b) )D2 1a21a2因此， xoy 面内点 P( x

13、, y)D1 关于直线 yaxb 的对称点为6P ( x2a( yax b), ax b(a2 1)( yax b) ) D2 ，1a21a2雅可比行列式为1a( x, y)1a21a2(u, v)a1 ，11a21a2于是由定理 2知f (x, y)dxdyf ( uavb , auv )dudv DD1a2a 1a202f ( uavD11a2f (uav1a2D1,f (b , au v )dudv,f (a 1 a2b au v,)dudva 1 a2u avb , au v )f ( u avb , au v )1a2a1 a21 a2a1 a2u avb , au v ) f (

14、u avb , au v )1a2a1 a21 a2a1 a2即0,f ( x 2a( yaxb) , axb(a21)(yaxb) )f ( x.y)f ( x, y)dxdy1a2(a21a2Df (x, y)dxdy ,2a( yaxb)b1)(yaxb)f ( x.y)2f ( xa2,ax1a2)D11例5 计算3二重积分 ( x1)3yd ，D其中 D 是抛物线 y( x 1)2 ， y4( x1)2 及直线 y1所围成的地域图 47解由于积分地域 D 关于直线 x1对称，被积函数中 ( x1)3 在地域 D 上关于 ( x 1)为奇函数， y 在地域 D 上关于 ( x 1) 为

15、偶函数，见 ( 图 4) ,由定理 4，得：( x1)3y d02yd21ydyy 1dx2 0y1DD125当积分域 D 关于直线 yx 轴对称时，有下面推论：推论1 4若是积分域 D 关于直线 yx 轴对称，那么二重积分f (x, y)dxdyf ( y, x)dxdy DD例 6设 f ( x) 为恒正的连续函数，计算积分af (x) bf ( y)dxdyx2 y2 r 2f ( x)f ( y)解由于积分地域 x2y2r 2 关于 yx 对称，因此由推论2，可得：af ( x)bf ( y)dxdyaf ( y)bf ( x)dxdy ，x2 y2 r 2f ( x)f ( y)x2

16、 y2 r 2f ( y)f ( x)于是2af (x)bf ( y)dxdyx2y2 r 2f (x)f ( y)af ( x)bf ( y)dxdyaf ( y)bf ( x) dxdyx2 y2 r 2f ( x) f ( y)x2 y2 r 2f ( y)f ( x)(a b)dxdy(ab)r 2 x2y2r 2故af ( x)bf ( y)dxdy(ab) r 2 x2 y2 r 2f ( x)f ( y)2当积分地域关于 y x 对称时，被积分函数的两个变量能够互换地址的特别性质能够使二重积分计算化简近似的，假设积分地域关于直线 y x 对称且满足 f ( x, y) f ( x

17、, y) ，那么8f ( x, y)dxdy 0 ，D或满足 f ( x, y)f ( x, y) ，那么有f ( x, y)dxdy2 f (x, y)dxdy DD1其中 D1 为 D 的一半 积分地域 D 关于坐标原点对称定理 5 若是积分域 D 关于原点对称， f ( x, y) 同时为 x ， y 的奇偶函数，那么二重积分0， f (x,y)f ( x, y)f ( x, y)dxdy2f ( x, y)dxdy ， f (x,y)f (x, y)，DD1其中 D1 为 D 的上半平面局部图 5证明假设地域 D 对称于原点 ( 图 5 ) ，对任意 P( x, y)D1 ，对称点 P ( x, y)D2 ，D1( x)y(x)， a x b , D2( x)y(x)， bx a ,令xuy，v那么地域 D 2 变换为 uov 坐标平面内陆域 D1( x)y(x)， a xb ，雅可比行列式( x, y)10，(u, v)011因此9f ( x, y)dxdyf ( u, v) dudvf ( x, y)dxdyD 2D1D1f (x, y)dxdy,f (x,y)f (x, y)D1，