二重积分对称性定理证明与应用.docx
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二重积分对称性定理证明与应用
摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...⋯1
要点词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..1
Abstract⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
..⋯1
Keywords⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.1
前言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
...1
1.预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.1
2.二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯2
分地域D关于坐称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2
分地域D关于坐地域内任意直称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.⋯.5
分地域D关于坐原点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.⋯⋯9
分地域D关于坐地域内任意一点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...⋯⋯11
分地域D同关于坐和坐原点称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.12
结束语⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.12
参照文件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
...⋯.13
二重积分对称性定理的证明及应用
摘要:
本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理
的证明并举出了相应例题.
要点词:
对称性;积分区城;被积函数
TheApplicationofSymmetryinDoubleIntegralCalculating
Abstract:
Itisintroducedinthethesissomewaysofhowtocalculatedoubleintegralwiththeapplicationofsymmetry.Itisalsoputforwardinithowtosimplifythecalculatingmethodswithsymmetry.
Keywords:
Symmetry;Integralregion;Integratedfunction
前言
利用对称性计算二重积分,不仅好够使计算简化,有时还可以够防范错误.在一般情
况下,必定是积分地域D拥有对称性,而且被积函数关于地域D也拥有对称性,才能利
用对称性来计算.在特别情况下,诚然积分地域D没有对称性,也许关于对称地域D被
积函数没有对称性,但经过技巧性的办理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都
是很值得我们商议的问题.
1预备知识
关于二重积分f(x,y)dxdy的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在
D
定积分的计算中,假设遇到对称区间,那么有下面特别简洁的结论:
a
f(x)dx
0
当f(x)在区间上为连续的奇函数时,
.
a
a
f(x)dx
2
a
当f(x)在区间上为连续的偶函数时,
f(x)dx.
a
0
这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.
在计算二重积分时,假设积分地域拥有某种对称性,可否也有相应的结论呢?
答复是
必定的.下面,我们将此结论近似地实行到二重积分.
2二重积分对称性定理在不相同条件下的证明及其应用
1
定理1
1
假设二重积分
f(x,y)dxdy满足
D
(1)
地域D可分为对称的两局部D1和D2,对称点P
D1,P
D2;
(2)
被积函数在对称点的值
f(P)与f(P)相同或互为相反数;
那么
0
f(P)
f(P)
f(x,y)dxdy
2
(fP)
.
D
f(x,y)dxdy
(f)P
D1
其中P的坐标依照D的对称性的种类而确定.
积分地域D关于坐标轴对称
积分域D关于x轴对称,f(x,y)为D上的连续函数
定理2
若是积分域D关于x轴对称,f(x,y)为y的奇偶函数,那么二重积分
0
,f(x,
y)
f(x,y)
f(x,y)dxdy
2
f(x,y)dxdy,f(x,
y)
f(x,y)
,
D
D1
其中D1为D在x轴的上半平面局部.
证明
f(x,y)dxdy
f(x,y)dxdy
f(x,y)dxdy
(1)
D
D1
D2
假设地域D对称于x轴(图1),对任意P(x,y)
D1,其对称点P(x,y)
D2
D10y(x),axb,D2
(x)y
0,a
xb,令
2
xx,
yt
那么D2变换为xot坐标面上的D1
0
t
(x),a
xb
,且雅可比行列式
(x,y)
1
0
(x,t)
0
1.
1
故
f(x,y)dxdyf(x,t)
1dxdtf(x,y)dxdy
D2
D1
D1
f(x,
y)dxdy,
(f,x
)y
(f,x)y
D1
,
f(x,y)dxdy,
(f,x
)y
(f,x)y
D1
于是,代入〔1〕式得:
0
f(x,y)
f(x,y)
f(x,y)dxdy
2
f(x,y)dxdy,
f(x,y)
f(x,
y)
.
D
D1
例1
计算
yln(1
x2
y2)dxdy,其中地域D:
x2
y2
1,x0
D
解
f(x,y)
yln(1
x2
y2)是关于y的奇函数且D关于x轴对称,
因此
yln(1x2y2)dxdy0.
D
例2计算sin(x2y2)dxdy,其中地域D:
x2y24,x0
D
解由于f(x,y)sin(x2y2)是关于y的偶函数,且D关于x轴对称,
因此
sin(x2
y2)dxdy2
sin(x2
y2)dxdy
D
x2
y2
4
x
0
采用极坐标
2
2
sin(x2
y2)dxdy
2
2d
rsinr2
x2
y24
0
0
x
0.y0
3
(1cos4)
2
2.1.2积分域D关于y轴对称,f(x,y)为D上的连续函数
定理3
若是积分域D关于y轴对称,f(x,y)为x的奇偶函数,那么二重积分
0
,f(
x,y)
f(x,y)
f(x,y)dxdy
,
,
2
(f,x)y
(f,x)y
f(x,y)dxdy
D
D1
其中D1为D在y轴的右半平面局部.
证明假设地域D对称于y轴(图2),对任意P(x,y)D1,对称点P(x,y)D2,类
似定理2的证明可得
0
f(
x,y)
f(x,y)
D
f(x,y)dxdy
2f(x,y)dxdy,
f(
x,y)
f(x,y).
D1
例3
计算
2
(xx3y2)dxdy,其中D:
x2
y2
4,y
0
D
解
f(x,y)xx3y2,
f(x,y)
xx3y2
(xx3y2)
f(x,y),
且地域D关于y轴对称,因此
(xx3y2)dxdy
0.
D
例4
计算
x2ydxdy,其中地域D:
1x
1,0y1
D
4
解f(x,y)x2y是关于x的偶函数,且地域D关于y轴对称,
因此
1
1
1
1
2dx
1.
x2ydxdy2dy
x2ydx
2ydy
x
0
0
0
0
3
D
2.2积分地域D关于坐标地域内任意直线对称
将积分地域D关于坐标轴对称的情况实行到积分地域
D关于坐标地域内任意直线
对称,那么有下面定理:
定理4若是积分域D关于直线yax
b对称,那么二重积分
0
2a(y
ax
b)
(a2
1)(y
ax
b)
f(x
1a2
axb
1a2
)
f(x,y)dxdy
(a2
f(x,y)dxdy,
f(x
2a(y
ax
b)
1)(y
ax
b)
D
2
1
a2
axb
1
a2
)
D1
f(x.y)
f(x.y)
其中D1为D在以直线yaxb为轴的右半平面局部
图3
证明
假设地域D对称于直线yax
b,不如设a
0,即倾斜角
为锐角.
第一,平移坐标轴,得坐标系
xoy,如(图3)
x
b
x
,
a
yy
即
5
x
x
b
〔2〕
a
.
y
y
其次,将坐标系xoy沿逆时针方向旋转,旋转角为
(tan
a),使x轴与直线yaxb
重合.得新坐标系uov:
x(uvtan)cosuav
1
a2
〔3〕
au
y(uvtan)sinv
v
sec
a2
1
由〔2〕,〔3〕得
x
u
av
b
1
a2
a
au
v
,
y
1
a2
即
u
1a2(x
b)
a(yaxb)
a
1a2
y
ax
b
.
v
1
a2
xoy坐标面内对称于直线y
ax
b的地域D,在新坐标系uov内对应的地域D关于u轴
对称.xoy面内任意点P(x,y)
D1,在uov面内对应点P1(u,v)
D1.
u
1a2(x
b)
a(yaxb),v
yaxb,
a
1
a2
1a2
点P1(u,v)关于u轴对称点P1
(u,
v)
D2
,P1(u,
v)在xoy面内对应点为
P(ua(v)
b,au(v))D2,
1
a2
a
1
a2
将u,v代入,化简得:
P(x
2a(y
ax
b),ax
b
(a21)(y
axb))
D2.
1
a2
1
a2
因此,xoy面内点P(x,y)
D1关于直线y
ax
b的对称点为
6
P(x
2a(y
axb)
axb
(a21)(y
axb))D2,
1
a2
1
a2
雅可比行列式为
1
a
(x,y)
1
a2
1
a2
(u,v)
a
1,
1
1
a2
1
a2
于是
由定理2知
f(x,y)dxdy
f(u
av
b,au
v)dudv.
D
D
1
a2
a1
a2
0
2
f(u
av
D1
1
a2
f(
u
av
1
a2
D1
f(
b,auv)dudv
f(
a1a2
bauv
)dudv
a1a2
uav
b,auv)
f(uav
b,auv)
1
a2
a
1a2
1a2
a
1a2
uav
b,auv)f(uav
b,auv)
1
a2
a
1a2
1a2
a
1a2
即
0
f(x2a(y
ax
b),ax
b
(a2
1)(y
ax
b))
f(x.y)
f(x,y)dxdy
1
a2
(a2
1
a2
D
f(x,y)dxdy,
2a(y
ax
b)
b
1)(y
ax
b)
f(x.y)
2
f(x
a2
ax
1
a2
)
D
1
1
例5计算3
二重积分[(x
1)3
y]d,
D
其中D是抛物线y
(x1)2,y
4(x
1)2及直线y
1所围成的地域
图4
7
解
由于积分地域D关于直线x
1对称,被积函数中(x
1)3在地域D上关于(x1)
为奇函数,y在地域D上关于(x1)为偶函数,见(图4
),由定理4,
得:
[(x
1)3
y]d
0
2
yd
2
1
ydy
y1
dx
2.
0
y
1
D
D1
2
5
当积分域D关于直线y
x轴对称时,有下面推论:
推论14
若是积分域D关于直线y
x轴对称,那么二重积分
f(x,y)dxdy
f(y,x)dxdy.
D
D
例6
设f(x)为恒正的连续函数,计算积分
af(x)bf(y)dxdy
x2y2r2f(x)
f(y)
解
由于积分地域x2
y2
r2关于y
x对称,因此由推论
2,可得:
af(x)
bf(y)dxdy
af(y)
bf(x)dxdy,
x2y2r2
f(x)
f(y)
x2y2r2f(y)
f(x)
于是
2
af(x)
bf(y)dxdy
x2
y2r2
f(x)
f(y)
af(x)
bf(y)dxdy
af(y)
bf(x)dxdy
x2y2r2
f(x)f(y)
x2y2r2
f(y)
f(x)
(ab)dxdy
(a
b)r2.
x2
y2
r2
故
af(x)
bf(y)dxdy
(a
b)r2.
x2y2r2
f(x)
f(y)
2
当积分地域关于yx对称时,被积分函数的两个变量能够互换地址的特别性质能够
使二重积分计算化简.
近似的,假设积分地域关于直线yx对称且满足f(x,y)f(x,y),那么
8
f(x,y)dxdy0,
D
或满足f(x,y)
f(x,y),那么有
f(x,y)dxdy
2f(x,y)dxdy.
D
D1
〔其中D1为D的一半〕
积分地域D关于坐标原点对称
定理5若是积分域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇偶函数,那么二重积
分
0
,f(
x,
y)
f(x,y)
f(x,y)dxdy
2
f(x,y)dxdy,f(
x,
y)
f(x,y)
,
D
D1
其中D1为D的上半平面局部.
图5
证明
假设地域D对称于原点(图5),对任意P(x,y)
D1,对称点P(x,y)
D2,
D1(x)
y(x),axb,D2
(x)
y
(
x),b
xa,令
x
u
y
,
v
那么地域D2变换为uov坐标平面内陆域D1
(x)
y
(x),ax
b,雅可比行列式
(x,y)
1
0
,
(u,v)
0
1
1
因此
9
f(x,y)dxdy
f(u,v)dudv
f(x,y)dxdy
D2
D1
D1
f(x,y)dxdy
f(
x,
y)
f(x,y)
D1
,