离散数学网络课程形成性考核第4次形考任务资料讲解文档格式.docx

1、要求： 学生提交作业有以下三种方式可供选择：1.可将此次作业用 A4 纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅2.在线提交 word 文档3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传1已知图 G 中有 1 个 1 度结点， 2 个 2 度结点， 3 个 3 度结点， 4 个 4 度结点，则 G 的边数是 15 2设给定图 G（如右由图所示 ），则图 G 的点割集是f ， c， e 3设 G 是一个图，结点集合为 V，边集合为 E，则G 的结点 度数之和 等于边数的两倍4无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且 等于出度 5设 G=是具有 n

2、个结点的简单图，若在 G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在 G 中存在一条汉密尔顿路6若图 G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集 V的每个非空子集 S，在 G 中删除 S 中的所有结点得到的连通分支数为 W，则 S中结点数 |S|与 W 满足的关系式为 W（G-V1） V1 7设完全图 Kn有 n 个结点 （n 2）， m条边，当 n 为奇数 时， Kn中存在欧拉回路8结点数 v 与边数 e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树9 设图 G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，则可从 G 中删去4 条边后使之变成树10设正则 5 叉树的树叶数为 17，则分支数为

3、i = 5 二、判断说明题 （ 判断下列各题，并说明理由）1 如果图 G 是无向图， 且其结点度数均为偶数， 则图 G 存在一条欧拉回路解：不正确，缺了一个条件，图 G 应该是连通图，可以找出一个反例，比如图 G 是一个有孤立结点的图。2如下图所示的图 G 存在一条欧拉回路不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。3如下图所示的图 G 不是欧拉图而是汉密尔顿图G正确因为图中结点 a， b， d， f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。如果我们沿着 （a,d,g,f,e,b,c,a），这样除起点和终点是 a外，我们经过每个点一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图。4设 G 是一个有

4、 7 个结点 16 条边的连通图，则 G 为平面图错误假设图 G 是连通的平面图，根据定理，结点数 v，边数为 e，应满足 e 小于等于 3v-6，但现在 16小于等于 3*7-6，显然不成立。所以假设错误。5设 G是一个连通平面图，且有 6个结点 11 条边，则 G有 7个面根据欧拉定理，有 v-e+r=2，边数 v=11，结点数 e=6，代入公式求出面数 r=7。三、计算题1 设 G=， V= v1， v2， v3， v4， v5， E= （v1,v3）， （v2,v3）， （v2,v4）， （v3,v4），（v3,v5）， （v4,v5） ，试（1）给出 G 的图形表示； （2） 写出其

5、邻接矩阵；（3） 求出每个结点的度数； （4） 画出其补图的图形 （1）v2（2）邻接矩阵为00100001101101101101（3）v1 结点度数为 1 ， v2 结点度数为 2， v3 结点度数为 3， v4结点度数为 2， v5结点度数为 2（4）补图图形为v4v32图 G=，其中 V= a, b, c, d, e， E= （a, b）, （a, c）, （a, e）, （b, d）, （b, e）, （c, e）, （c, d）, （d, e） ，对应边的权值依次为 2、 1、 2、 3、 6、 1、 4及 5，试（ 1）画出 G 的图形； （ 2）写出 G 的邻接矩阵；（ 3）求

6、出 G 权最小的生成树及其权值（ 1） G 的图形如下：2）写出 G 的邻接矩阵3） G 权最小的生成树及其权值3已知带权图 G 如右图所示（1） 求图 G 的最小生成树； （2）计算该生成树的权值（2） 该生成树的权值为 （1+2+3+5+7）=184设有一组权为 2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131四、证明题1设 G 是一个 n 阶无向简单图， n 是大于等于 3 的奇数证明图 G 与它的补图 G 中的奇数度顶点个数相等证明：设 G V,E ， G V,E 则 E 是由 n 阶无向完全

7、图 Kn 的边删去 E所得到的所以对于任意结点 u V ， u 在 G 和 G 中的度数之和等于 u 在 Kn 中的度数由于 n 是大于等于 3 的奇数，从而 K n的每个结点都是偶数度的（ n 1 （ 2） 度），于是若 u V 在 G 中是奇数度结点，则它在 G 中也是奇数度结点故图 G 与它的补图 G 中的奇数度结点个数相等2 设连通图 G 有 k 个奇数度的结点， 证明在图 G 中至少要添加 k 条边才能2 使其成为欧拉图由定理 3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知 k 是偶数又根据定理 4.1.1 的推论，图 G是欧拉图的充分必要条件是图 G不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图 G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加 k 条边到图 G 才能使其成为欧拉图2