离散数学网络课程形成性考核第4次形考任务资料讲解文档格式.docx

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要求：

学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1.可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有

解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2.在线提交word文档

3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结

点，则G的边数是15．

2．设给定图G（如右由图所示），则图G的点割集是

{f}，{c，e}．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则

G的结点度数之和等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且等于出度．

5．设G=<

V，E>

是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和

大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=<

V,E>

中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空

子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|

与W满足的关系式为W（G-V1）V1．

7．设完全图Kn有n个结点（n2），m条边，当n为奇数时，Kn中存在

欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树．

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去

4条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i=5．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．

解：

不正确，缺了一个条件，图G应该是连通图，可以找出一个反例，比

如图G是一个有孤立结点的图。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

不正确，图中有奇数度结点，所以不存在是欧拉回路。

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G

正确

因为图中结点a，b，d，f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。

如果我们沿着（a,d,g,f,e,b,c,a），这样除起点和终点是a外，我们经过每个点

一次仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．

错误

假设图G是连通的平面图，根据定理，结点数v，边数为e，应满足e小于

等于3v-6，但现在16小于等于3*7-6，显然不成立。

所以假设错误。

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

根据欧拉定理，有v-e+r=2，边数v=11，结点数e=6，代入公式求出面

数r=7。

三、计算题

1．设G=<

，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），

（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；

（4）画出其补图的图形．

（1）

v2

（2）邻接矩阵为

00100

00110

11011

01101

（3）v1结点度数为1，v2结点度数为2，v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2

（4）补图图形为

v4

v3

2．图G=<

V,E>

，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形如下：

2）写出G的邻接矩阵

3）G权最小的生成树及其权值

3．已知带权图G如右图所示．

（1）求图G的最小生成树；

（2）计算该生成树的权值．

（2）该生成树的权值为（1+2+3+5+7）=18

4．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优

二叉树的权．

权为2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的

补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：

设GV,E，GV,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E

所得到的．所以对于任意结点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中

的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的

（n1

（2）度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度

结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加k条边才能

2使其成为欧拉图．

由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结

点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变

为偶数，成为欧拉图．

故最少要加k条边到图G才能使其成为欧拉图．

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