初中数学竞赛教程汇总.docx

1、初中数学竞赛教程汇总七年级第一讲 有理数（一）【能力训练点】1、 正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、 有理数的两种分类：3、 有理数的本质定义，能表成 m （ n 0,m, n互质）。n4、 性质： 顺序性（可比较大小）；2四则运算的封闭性（0不作除数）；3稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。45、绝对值的意义与性质:、【典型例题解析】1 .如果m是大于1的有理数，那么 m 定小于它的（ ）A.相反数 B.倒数 C. 绝对值 D.平方2006 2007 t (a b cd)x (a b) (cd)的值。J,乞二中有几个负数?c a a ba b4.有3个有理数a,b,c，两两不等

2、，那么 b c5.设三个互不相等的有理数，既可表示为 1, a b,a的形式式，又可表示为 0, - , b的形式，求a2006 , 2007a b 。3 2ax bx cx 1的值是多少?| a b | | b c| 的值。7.若 a,b,c 为整数，且 |a b|2007 |c a |2007 1 ,试求 |c a |第二讲有理数（二）、【能力训练点】：1、 绝对值的几何意义|a| |a 0|表示数a对应的点到原点的距离。 |a b|表示数a、b对应的两点间的距离。2、 利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：试化简|x 1| |x 2|1 若 2 a 0,化简 |a

3、2| |a 2| 23.若 | x 5|x 2| 7，求x的取值范围。4.已知 f (x) | x 1|x 2| |x 3| L|x 2002 |求f（x）的最小值。5若 |a b 1| 与(a2b 1）互为相反数，求3a 2b 1的值。6.如果abc 0，求旦凹凹的值。a b c7. x是什么样的有理数时|(x 2) (x 4)| |x 2| |x 4|等式成立?第三讲有理数（三）一、【能力训练点】：1、 运算的分级与运算顺序；2、 有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、 巧算的一般性技巧：凑整（凑0）； 巧用分配律 去、添括号法则； 裂项法二、【典型例题解析】:21 计算：0.7 1

4、-6.6 -2.2 -0.7 3.3 -11731184、 综合运用有理数的知识解有关问题。C 1111 111111111 ,2. (1 -L)(-L)(1 L)(-L2319962 341997231997234119963.计算：Sn22 1 32 1 42 122 1 32 1 42 1n2 1n2 112 3 4 n _ ,4.比较Sn L n与2的大小。24 8 16 23【能力训练点】第四讲代数式(一)(3)代数式的求值(整体代入法)、【典型例题解析】(3)已知1 1 3，求2a 2b ab的值。b a a b 2ab1时，代数式Px3 qx 1的值。(4)已知：当x 1时，代数

5、式Px3 qx 1的值为2007，求当x (5)已知等式(2A 7B)x (3A 8B) 8x 10对一切x都成立，求 A、B的值。7.已知ab 1，比较M N的大小。8.已知x2 x 1 0 ,求x3 2x 1的值。9.已知一 K，求K的值。 y z x z x y5510. a 3 b44 334 , c 5 ,比较a,b,c的大小。11.已知 2a2 3a 54 3 20，求 4a 12a 9a 10 的值。第五讲一元一次方程（一）一、【能力训练点】：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、【典型例题解析】：1

6、.能否从（a 2）x b 3；得到x ，为什么？反之，能否从a 2为什么？得到(a 2)x b 3， a 22.若关于x的方程2kx m3x nk2 ，无论K为何值时，它的解总是 x 1，求m、n的值。65 5 43.若(3x 1) ax a4X Lax a。求 a5 a4 a3 a2 a a 的值。、 14.已知x 1是方程一mx212 20073x 的解，求代数式(m 7m 9) 的值。25.关于x的方程(2 k 1)x6的解是正整数，求整数 K的值。6.关于x的一元一次方程 (m1)x2 (m 1)x 80求代数式200(m x)(x 2m) m的值。7.解方程XXXL x20061 2

7、 2 3 3 4200620078.当a满足什么条件时，关于x的方程|x 2| |x 5| a，有一解；有无数解；无解。第六讲一元一次方程(2)一、 【能力训练点】：1、 列方程应用题的一般步骤。2、 禾U用一元一次方程解决社会关注的热点问题(如经济问题、禾U润问题、增长率问题)二、 【典型例题解析】1.要配制浓度为 20%勺硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2一项工程由师傅来做需 8天完成，由徒弟做需 16天完成，现由师徒同时做了 4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天?3 某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以

8、每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了 12个,4 .一个三位数，十位上的数比个位上的数大4,个位上的数比百位上的数小 2,若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4，求原来的三位数?1 15 一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的 -后，用水加满，第二次倒出它的 一后用水加满，这时容42器中的酒精浓度为 25%求原来酒精溶液的浓度。6.某中学组织初一同学春游，如果租用 45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的 60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用 45座的客车日租金为每辆车 250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车

9、更合算？租几辆车？7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用 21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多 只能用多少部 A型抽水机抽水？【能力训练点】：第七讲：线段和角数线段数角数三角形问题1直线上有n个点，可以得到多少条线段? 分析： 点 线段2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言： M是线段AB的中点1二 AM BM AB , 2AM 2BM AB2【典型例题】

10、：1由下列条件一定能得到“ P是线段AB的中点”的是（ ）1 1（A） AP=AB （ B） AB= 2PB （ C） AP= PB （ D） AP= PB=AB2 212.若点B在直线AC上，下列表达式： AB - AC :AB=BCAC=2ABAB+BC=AC2其中能表示B是线段AC的中点的有（ ）A.1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个13.如果点C在线段AB上,下列表达式 AC=AB;AB=2BCAC=BCAC+BC=AB ,能表示C是AB中点2的有（）第八讲：与三角形有关的线段一、 【能力训练点】：1三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即： ABC中，a+bc

11、,b+ca,c+ab （两点之间线段最短）由上式可变形得到： ac b, ba c, cb a即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3.中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4.角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角 平分线二、 【典型例题】1已知三角形三边分别为 2,a-1,4,那么a的取值范围是（）A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4ab，贝U a+cb+c (a-cb-c )。性质2:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不

12、等号方向不变。若 ab 且 c0，则 acbc。性质3:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变。若 ab 且 c0，则 acbx a则(1)当 时，贝y x a，即“大大取大”x bx a(2 )当 时，贝U x b，即“小小取小”x bx bx a（4 ）当 时，则无解，即“大大小小取不了x b、【典型例题】1 .右不等式ax b的解集是x ，则a的范围是（a)A、a0B 、a0D 、av 02 .解关于x的不等式 mx23m5xm 53 .若不等式m x 2x 1和3x 5 0是同解不等式，求 m的值。4 .若不等式组x 8 4x 1的解是x3，则m的取值范围是（m 3

13、C . m 3 D . m 3x m2x3(x3)15.关于x的不等式组 3x2有四个整数解，则a的取值范围是（)xa4115115115115A.a B .aC . aDa424242426.已知关于x、y的方程组x2ya1的解适合不等式2xy1，求a的取值范围xy2a1A m 3 B第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、 【能力训练点】：1能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有 关冋题。2.能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的 能力。3能够用分类讨论思想解有关问题。4能利用不等式解决实际

14、问题二、 【典型例题】11.m取什么样的负整数时，关于 x的方程x 1 m的解不小于一3.2、 2 23 比较a 3a 1和a 2a 5的大小4某饮料厂开发了 A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800克进行试生产，计划生产 A B两种饮料共100瓶，设生产 A种饮料x瓶， 解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； （2）如果A种饮料每瓶的成本为 2.60元，B种饮料每瓶的成本为 2.80元，这两种饮料成本总额为 y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称 甲 乙20克 30克5某家

15、电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按 120个工时计算）生产空调器,彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产 40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？家电名称空调器彩电冰箱工时（个）111234产值（万元/台）0.40.30.2八年 级第一讲 全等三角形的性质与判定一、【能力训练点】：1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相 等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3

16、全等三角形判定方法有： SAS,ASA,AAS,SSS对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找 出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对 它们进行证明；5.证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需 要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、 截取等等二、【经典练习】1（绍兴）如图，D E分别为 ABC的AG BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠

17、，使点C落在AB边上的 点 P处若/ CDE= 48，则/ APD等于（ ）A. 42 B. 48 C. 52 D. 582.如图，Rt ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到 DEF下列结论中错误的是（3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：AB丄ED若PB= BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明6.如图， ABC中，/ BCA= 90, AC= BC, AE是 BD丄BC交CF的延长线于 D.求证：AE= CD若AC= 12cm,求BD的长.7如图，将等腰直角三角板 ABC的直角顶点C放在

18、直线l上，从另两个顶点 A B分别作I的垂线，垂足分别为D E.找出图中的全等三角形，并加以证明；若DE= a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）& 如图，AD为在 ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF= AC, FD= CD. 求证：BE! AC;若把条件“ BF= AC和结论“ BE! AC互换，这个命题成立吗？证明你的判定9 .如图，D为在 ABC的边BC上 一点，且 CD= AB,/ BDA=Z BAD人丘是厶ABD的中线.求证：AC= 2AE.AF、EF与DE之间的关系,10.如图，在凸四边形 ABCD中, EACD内一点，满足 AC= AD, AB= AE

19、, / BA冉/ BCE= 90 , / BAC =/ EAD.求证：/ CED= 90 .11.（沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC和DBE按图方式摆放，其中/ ACB=/ DEB= 90,/ A=/D=30，点E落在AB上, DE所在直线交AC所在直线于点F.求证：AF+ EF= DE;若将图中 DBE绕点B顺时针方向旋转角 a,且0VaV 60,其他条件不变，请在图中 画出变换后的图形，并直接写出（1 ）中结论是否仍然成立；若将图中 DBE绕点B按顺时针方向旋转角 B,且603 180 ,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时12.（嵊

20、州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 AB= 5，AC= 13,求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD到E,使得DE= AD,再连接BE把AB AC 2AD集中在 ABE中，利用三角形的三边关系 可得 2V AE 8,贝U 1v AD 4.感悟：解题时，条件中若出现“中点” “中线”等条件，可以考虑中线加ABC 中,倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形 中第二讲角平分线的性质与判定一、【能力训练点】：1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等2角平分线的判定定理

21、：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形11.如图，在 ABC中，/ BAC= 90 ,AB = AC BE平分/ ABC CEL BE.求证：CE= BD2.如图，已知 AC/ BD, EA EB分别平分/ CAB / DBA CD过点E,求证：AB= AC+ BD.3.如图，在 ABC中，/ B= 60, AD CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD CE相交于点F. 请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由； B求证：AE+ CD= AC.4.如图，AD是/ BAC的平分线，DEI AB于E, DF丄AC于F,且DB=

22、DC.求证：BE= CF5.如图，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，DEIAB于点E, DF丄AC于点F.求证：AD EF.第三讲等腰三角形【能力训练点】:1.等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：等腰三角形的 两个底角相等（即等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即 等腰三角形三线合一）2 等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入 手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边.3.构造等腰三角形的常用方法1 .如图，在等腰直角三角形 ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边 AB AC交于点E、F,当/ EPF绕顶点P旋转时（点E不与A B重合），“ PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由.2 .如图，在等腰三角形 ABC中，/ ACB= 900, D是BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF/ AC交DE 的延长线于点F,连接CF交AD于G.求证：ADL CF;连接AF,试判断ACF的形状，并说明理由.3.如图，在_ABC中，/ B= 2/C, AD为/BAC的平分线.求证：