初中数学竞赛教程汇总.docx
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初中数学竞赛教程汇总
七年级
第一讲有理数
（一）
【能力训练点】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成m（n0,m,n互质）。
n
4、性质：
①顺序性（可比较大小）；
2四则运算的封闭性（0不作除数）；
3稠密性：
任意两个有理数间都存在无数个有理数。
4
5、绝对值的意义与性质:
、【典型例题解析】
1.如果m是大于1的有理数，那么m—定小于它的（）
A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方
20062007t
（abcd）x（ab）（cd）的值。
J,乞二中有几个负数?
caab
ab
4.有3个有理数a,b,c，两两不等，那么
bc
5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1,ab,a的形式式，又可表示为0,-,b的形式，求
a
2006,2007
ab。
32
axbxcx1的值是多少?
|ab||bc|的值。
7.若a,b,c为整数，且|ab|2007|ca|20071,试求|ca|
第二讲有理数
（二）
」、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
①|a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。
②|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：
•试化简|x1||x2|
1•若2a0,化简|a2||a2|2
3.若|x5|
|x2|7，求x的取值范围。
4.已知f（x）|x1|
|x2||x3|L
|x2002|求f（x）的最小值。
5•若|ab1|与（a
2
b1）互为相反数，求3a2b1的值。
6.如果abc0，求旦凹凹的值。
abc
7.x是什么样的有理数时
|（x2）（x4）||x2||x4|等式成立?
第三讲有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法
二、【典型例题解析】
:
2
1•计算：
0.71-
6.6-
2.2-
0.7—
3.3-
11
7
3
11
8
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
C1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1,
2.（1-
-L
）
（
-L
）
（1L
）
（-
—
-L
2
3
1996
23
4
1997
2
3
1997
2
3
4
1
1996
3.计算：
Sn
221321421
221321421
n21
n21
1234n_…,
4.比较SnLn与2的大小。
2
48162
3
【能力训练点】
第四讲代数式
（一）
（3）代数式的求值（整体代入法）
、【典型例题解析】
（3）已知113，求2a2bab的值。
baab2ab
1时，代数式Px3qx1的值。
（4）已知：
当x1时，代数式Px3qx1的值为2007，求当x
（5）已知等式（2A7B）x（3A8B）8x10对一切x都成立，求A、B的值。
7.已知ab1，比较MN的大小。
8.已知x2x10,求x32x1的值。
9.已知一^—K，求K的值。
yzxzxy
55
10.a3b
4433
4,c5,比较a,b,c的大小。
11.已知2a23a5
432
0，求4a12a9a10的值。
第五讲一元一次方程
（一）
一、【能力训练点】：
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。
二、【典型例题解析】：
1.能否从（a2）xb3；得到x，为什么？
反之，能否从
a2
为什么？
得到（a2）xb3，a2
2.若关于x的方程
2kxm
3
xnk
2，无论K为何值时，它的解总是x1，求m、n的值。
6
554
3.若（3x1）a§xa4XL
a〔xa°。
求a5a4a3a2a〔a的值。
、1
4.已知x1是方程一mx
2
122007
3x的解，求代数式（m7m9）的值。
2
5.关于x的方程（2k1）x
6的解是正整数，求整数K的值。
6.关于x的一元一次方程（m
1）x2（m1）x8
0求代数式200（mx）（x2m）m的值。
7.解方程XXX
Lx
2006
122334
2006
2007
8.当a满足什么条件时，关于
x的方程|x2||x5|a，①有一解；②有无数解；③无解。
第六讲一元一次方程
（2）
一、【能力训练点】：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、禾U用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、禾U润问题、增长率问题）
二、【典型例题解析】
1.要配制浓度为20%勺硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取
多少千克？
2•一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离
开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天?
3•某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个
0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个,
4.一个三位数，十位上的数比个位上的数大
4,个位上的数比百位上的数小2,若将此三位数的个位与
百位对调，所得的新数与原数之比为7:
4，求原来的三位数?
11
5•一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的-后，用水加满，第二次倒出它的一后用水加满，这时容
42
器中的酒精浓度为25%求原来酒精溶液的浓度。
6.某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的
客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车
日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？
租几辆车？
7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A
型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？
【能力训练点】：
第七讲：
线段和角
数线段——数角——数三角形
问题1直线上有n个点，可以得到多少条线段?
分析：
点线段
21
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
615=1+2+3+4+5
文字语言：
若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点
图形语言：
几何语言：
•••M是线段AB的中点
1
二AMBM—AB,2AM2BMAB
2
【典型例题】：
1•由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）
11
（A）AP=—AB（B）AB=2PB（C）AP=PB（D）AP=PB=—AB
22
1
2.若点B在直线AC上，下列表达式：
①AB-AC:
②AB=BC③AC=2AB④AB+BC=AC
2
其中能表示B是线段AC的中点的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
1
3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=—AB;②AB=2BC③AC=BC④AC+BC=AB^,能表示C是AB中点
2
的有（）
第八讲：
与三角形有关的线段
一、【能力训练点】：
1•三角形的边
三角形三边定理：
三角形两边之和大于第三边
即：
△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）
由上式可变形得到：
a>c—b,b>a—c,c>b—a
即有：
三角形的两边之差小于第三边
2.高：
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3.中线：
连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
4.角平分线：
三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线
二、【典型例题】
1•已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是（）
A.11
2.已知：
△ABC中，AD是BC边上的中线求证：
AD+BD丄（AB+AC
2
3
.已知：
BE,CE分别为△ABC的外角
求：
/E与/A的关系
4
.已知：
BF为/ABC的角平分线,CF为外角/ACG勺角平分线
求：
/F与/A的关系。
思考题：
如图：
/ABC与/ACG的平分线交于F1;/F1BC与/F1CG的平分线交于F2;如此下去,/F2BC
4中的步骤行走，那么该机器人所走的
D.不能确定
第九讲：
与三角形有关的角
一、【能力训练点】：
（一）三角形内角和定理：
三角形的内角和为180°
（二）三角形的外角性质定理：
1.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和
2.
三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
（三）多边形内角和定理：
n边形的内角和为（n2）180
多边形外角和定理：
多边形的外角和为360°
二、【典型例题】
1.多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350。
，求多边形的边数。
2•科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图总路程为（）
A.6米B.8米C.12米
第十讲：
二元一次方程组
一、【能力训练点】：
1•二元一次方程的定义：
经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0,这样的整式方程称为二元
一次方程。
2、二元一次方程的标准式：
axbyc0a0,b0
3、二元一次方程的解的概念：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对x、y的值，叫做这个方程的一个解。
4、二元一次方程组的定义：
方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
二、【典型例题】
1.若下列三个二元一次方程：
3x-y=7;2x+3y=1;y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（）
A、
k=-4
B
、k=4
C
、
k=-3
D、
k=3
2a
3b
13
a
8.3
2x
2
3y
113
2.已知方程组
的解是
1.2’
则方程组
的解是（
）
3a
5b
30.9
b
3x
2
5y
130.9
x
8.3
x
10.3
x6.3
x
10.3
A
B
C
D
y
1.2
y
2.2
y2.2
y
0.2
4
5
—
一
13
y3：
:
2
1
3.解方程组
x
y
4
x・
•解方程组■
4
5
3
3x
5y
3
2
5•字母系数的二元一次方程组：
（1）当a为何值时，方程组ax2y1有唯一的解
3xy3
（2）当m为何值时，方程组
x2y1
2xmy2
有无穷多解
第十一讲：
一兀一次不等式
一、【能力训练点】：
1.不等式的基本性质
通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。
性质1：
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。
若a>b，贝Ua+c>b+c（a-c>b-c）。
性质2:
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b且c>0，则ac>bc。
性质3:
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
若a>b且c<0，则ac2.同解不等式
如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。
3.一元一次不等式的定义：
1,系数不为
像2x76x,3x9等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是0，这样的不等式叫做一元一次不等式。
4.一元一次不等式的标准形式
一元一次方程的标准形式：
axb0（a0）或axb0（a0）。
5•一元一次不等式组的解集确定
若a>b
xa
则
（1）当时，贝yxa，即“大大取大”
xb
xa
（2）当时，贝Uxb，即“小小取小”
xb
xb
xa
（4）当时，则无解，即“大大小小取不了
xb
、【典型例题】
1.右不等式ax>b的解集是
x>—，则a的范围是（
a
）
A、a》0
B、a<0
C
、a>0
D、av0
2.解关于x
的不等式mx
2
3m
5x
m5
3.若不等式mx2
x1和3x50是同解不等式，求m的值。
4.若不等式组
x84x1
的解是x>3，则m的取值范围是（
m3C.m3D.m3
xm
2x
3（x
3）
1
5.
关于x
的不等式组3x
2
有四个整数解，则
a的取值范围是（
）
x
a
4
11
5
11
5
11
5
11
5
A.
—a—B.
—
a
—
C.a
—
D
a
—
4
2
4
2
4
2
4
2
6.
已知关于
x、y的方程组
x
2y
a
1
的解适合不等式
2x
y
1，求a的取值范围
x
y
2a
1
Am3B
第十二讲：
一元一次不等式（组）的应用
一、【能力训练点】：
1•能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关冋题。
2.能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。
3•能够用分类讨论思想解有关问题。
4•能利用不等式解决实际问题
二、【典型例题】
1
1.m取什么样的负整数时，关于x的方程—x1m的解不小于一3.
2
、22
3•比较a3a1和a2a5的大小
4•某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，
现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产AB两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？
写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60
元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明
x取何值会使成本总额最低？
原料名称甲乙
20克30克
5•某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器,
彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
问：
每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时（个）
1
1
1
2
3
4
产值（万元/台）
0.4
0.3
0.2
八年级
第一讲全等三角形的性质与判定
一、【能力训练点】：
1•能够完全重合的两个三角形叫全等三角形•全等三角形的形状和大小完全相同；
2•全等三角形性质：
①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3•全等三角形判定方法有：
SAS,ASA,AAS,SSS对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，
还有HL法；
4•证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等•
二、【经典练习】
1•（绍兴）如图，DE分别为△ABC的AGBC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处•若/CDE=48°，则/APD等于（）
A.42°B.48°C.52°D.58°
2
.如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF下列结论中错误的是（
3•一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点
B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：
AB丄ED
⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明
6.如图，△ABC中，/BCA=90°,AC=BC,AE是BD丄BC交CF的延长线于D.
⑴求证：
AE=CD
⑵若AC=12cm,求BD的长.
7•如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点AB分别作I的垂线，垂
足分别为DE.
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE=a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：
补形法）
&如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.⑴求证：
BE!
AC;
⑵若把条件“BF=AC和结论“BE!
AC互换，这个命题成立吗？
证明你的判定
9.如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD=AB,/BDA=ZBAD人丘是厶ABD的中线.求证：
AC=2AE.
AF、EF与DE之间的关系,
10.如图，在凸四边形ABCD中,EACD内一点，满足AC=AD,AB=AE,/BA冉/BCE=90°,/BAC=/EAD.求证：
/CED=90°.
11.（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中/ACB=/DEB=90°,/A=/D
=30°，点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：
AF+EF=DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角a,且0°VaV60°,其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出
（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角B,且60°<3<180°,其他条件不变，如图③你
认为
（1）中结论还成立吗？
若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时
12.（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△AB=5，AC=13,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E,使得
DE=AD,再连接BE把ABAC2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2VAE<8,贝U1vAD<4.
感悟：
解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加
ABC中,
倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中•
第二讲角平分线的性质与判定
一、【能力训练点】：
1•角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等
2•角平分线的判定定理：
角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
3
•有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形
1
1.如图，在△ABC中，/BAC=90°,AB=ACBE平分/ABCCELBE.求证：
CE=—BD
2.如图，已知AC//BD,EAEB分别平分/CAB/DBACD过点E,求证：
AB=AC+BD.
3.如图，在△ABC中，/B=60°,ADCE分别是/BAG/BCA的平分线，ADCE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；B
⑵求证：
AE+CD=AC.
4.如图，AD是/BAC的平分线，DEIAB于E,DF丄AC于F,且DB=DC.求证：
BE=CF
5.如图，在△ABC中，AD是/BAC的平分线，DEIAB于点E,DF丄AC于点F.求证：
AD±EF.
第三讲等腰三角形
【能力训练点】:
1.等腰三角形及其性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：
⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）
2•等腰三角形的判定
证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：
⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边.
3
.构造等腰三角形的常用方法
1.如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边ABAC交于
点E、F,当/EPF绕顶点P旋转时（点E不与AB重合），“PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由.
2.如图，在等腰三角形ABC中，/ACB=900,D是BC的中点，DELAB垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G.
⑴求证：
ADLCF;
⑵连接AF,试判断"ACF的形状，并说明理由.
3.如图，在_ABC中，/B=2/C,AD为/BAC的平分线.求证：
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