特征值二次型Word文档下载推荐.docx

1、 4.6.2方法应用举例 1. 求方阵的特征值与特征向量. -1 例1 求矩阵 A =-4 1 130 0 0 的特征根及特征向量. 2 解: A 的特征方程为 -1- 13-0 002- A -E =-41 =（-2）（-1）2=0 解得特征根1=22=3=1. 对应于1=2, 由齐次方程组（A -2E ） X =0得 -3-41 110 0x 10 0x 2=0 0x 30 解得特征向量 0 =0 0 于是k 11（k 1是不为零的任意常数）是A 对应于1=2的全部特征向量. 对应于1=2=1, 由齐次方程组（A -E ） X =0得 -2-41 120 0x 2=0 1x 30 解得特征

2、向量 2 1 =2 -1 于是k 22（k 2是不为零的任意常数）是A 对应于2=3=1的全部特征向量. 2. 将方阵对角化的方法: （1）一般矩阵对角化. 例2 将矩阵 4A =-3 -3 6-5-6 0 1 对角化.由 4- 6-5-6 001- =-（-1） （+2） =0 2 |A -E |=-3-3 解得特征值1=-2, 2=3=1. 对1=-2, , （A +2E ） X =0得 6-3-3 T 6-3-6 0x 2=0 3x 30 解得基础解系为1=-111, 即为A 对于1=-2的特征向量. 对2=3=1, 由齐次方程组（A -E ） X =0得 3 -3-3 6-6-6 1

3、0, 3=0 解得基础解系为 2=-2向量. 1, 即为A 对应于2=3=1的特征 容易验证向量1, 2, 3线性无关, 所以取可逆矩阵 -1 P =（123） =1 1-2-1 则有 P AP =0 0 010 -2100 0. 1 （2）实对称矩阵对角化. 例3将实对称矩阵 2 A =2 -2 25-4 -2 -4 5由特征方程 2- |A -E |=2 25-4 2 -4=-（-10）（-1） =0 5- 解得特征值 1=10, 2=3=1. 对1=10, 由齐次方程组（A -10E ） X =0得 -8 2-2 2-5-4 -2x 10 -4x 2=0 -5x 30 -11, 即为A

4、对应于1=10的特征向量. 将其标准化得 23 2 . 3 1 解得基础解系1=- 21 1=- 3 - 对于2=3=1, 由齐次方程组（A -E ） X =0得 12-2 24-4 -4x 2=0 4x 30 1, 3=-2 解得基础解系2=2 0, 即为A 对应于2=3=1的特征向量. 将其正交化, 由施密特正交法, 令2=2=2 1 3=3- （3, 2） （2, 2） 2 2 -22- 5 4=1+0=1. 5 4 01 5 再将其标准化得2为此求得正交矩阵 2 =5 12 , =-3535 535 4 . 35 - P =（123） =- 132323 25015 2355 3543

5、5 使得 10-1 P AP =0 3. 将二次型化为标准形方法: （1）正交变换法. 例4化二次型 22 f （x 1, x 2, x 3） =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3 标准形, 并给出所用的正交变换. 二次型的矩阵为 2 由例3可得一正交变换 - x 1x =-2x 3 2 35y 15 y 2, 35 4y 335 在该变换作用下, 有 f （x 1, x 2, x 3） =10y 1+y 2+y 3. （2）配方法. 例5用配方法化二次型 f （x 1, x 2, x 3） =x 1+4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3

6、为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.首先进行配方 f （x 1, x 2, x 3） =x 1+4x 1（x 2+x 3） +4x 2x 3 =x 1+4x 1（x 2+x 3） +4（x 2+x 3） -4（x 2+x 3） +4x 2x 3=（x 1+2x 2+2x 3） -4x 2-4x 2x 3-4x 3=（x 1+2x 2+2x 3） -4（x 2+ 12 x 3） -3x 3 令 y 1= y 2= y 3= x 1+2x 2+2x 3 1x 2+x 3 2x 3 得标准形 f （x 1, x 2, x 3） =y 1-4y 2-3y 3 并得所作的可逆变换为 x 1= x 2= x 3= y 1-2y 2-y 3 1y 2-y 3 2y 3 4. 判定正定二次型:用定理4.5.1, 定理4.5.2及推论进行判定. 例6判定矩阵 1 A =1 123 1 3 6 的正定性.由于A 的顺序主子式 =10, 123 3=10 6 10, 所以A 是正定的. 例7判定二次型 因为 -5 2 2-60 0 -4 f （x 1, x 2, x 3） =-5x 1-6x 2-4x 3+4x 1x 2+4x 1x 有顺序主子式 -52 2-6 -5 =260, 2 20-4 =-80 所以二次型为负定二次型.