特征值二次型Word文档下载推荐.docx

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4.6.2方法应用举例

1.求方阵的特征值与特征向量.⎡-1⎢

例1求矩阵A=-4

⎢⎢⎣1

130

0⎤

⎥

0的特征根及特征向量.⎥2⎥⎦

解:

A的特征方程为

-1-λ

13-λ0

002-λ

A-λE=-41

=（λ-2）（λ-1）2=0

解得特征根λ1=2λ2=λ3=1.

对应于λ1=2,由齐次方程组（A-2E）X=0得

⎡-3⎢-4⎢⎢⎣1

110

0⎤⎡x1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥0x2=0⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

解得特征向量

⎡0⎤

⎢⎥

η=0

⎢⎥⎢⎣0⎥⎦

于是k1η1（k1是不为零的任意常数）是A对应于λ1=2的全部特征向量.对应于λ1=λ2=1,由齐次方程组（A-E）X=0得

⎡-2⎢-4⎢⎢⎣1

120

⎥⎢⎥⎢⎥

0x2=0⎥⎢⎥⎢⎥1⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

解得特征向量η2

⎡1⎤⎢⎥

=2⎢⎥⎢⎣-1⎥⎦

于是k2η2（k2是不为零的任意常数）是A对应于λ2=λ3=1的全部特征向量.2.将方阵对角化的方法:

（1）一般矩阵对角化.例2将矩阵

⎡4⎢A=-3

⎢⎢⎣-3

6-5-6

⎥0⎥1⎥⎦

对角化.

由

4-λ

6-5-λ-6

001-λ

=-（λ-1）（λ+2）=0

2

|A-λE|=-3-3

解得特征值λ1=-2,λ2=λ3=1.

对λ1=-2,,（A+2E）X=0得

⎡6⎢-3⎢⎢⎣-3

T

6-3-6

⎥⎢⎥⎢⎥0x2=0⎥⎢⎥⎢⎥3⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

解得基础解系为η1=[-111],即为A对于λ1=-2的特征向量.对λ2=λ3=1,由齐次方程组（A-E）X=0得

⎡3

⎢-3⎢⎢⎣-3

6-6-6

1

0],η3=[0

解得基础解系为η2=[-2向量.

1],即为A对应于λ2=λ3=1的特征

容易验证向量η1,η2,η3线性无关,所以取可逆矩阵⎡-1⎢

P=（η1η2η3）=1

⎢⎢⎣1⎡-2⎢-1

则有PAP=0

⎢⎢⎣0

010

-2100⎤

⎥0.⎥1⎥⎦

（2）实对称矩阵对角化.

例3将实对称矩阵⎡2

⎢

A=2

⎢⎢⎣-2

25-4

-2⎤

⎥-4⎥5⎥⎦

由特征方程

⎡2-λ

|A-λE|=2

25-λ-4

⎥2

-4=-（λ-10）（λ-1）=0

⎥5-λ⎥⎦

解得特征值λ1=10,λ2=λ3=1.

对λ1=10,由齐次方程组（A-10E）X=0得

⎡-8⎢2⎢⎢⎣-2

2-5-4

-2⎤⎡x1⎤⎡0⎤

⎥⎢⎥⎢⎥-4x2=0⎥⎢⎥⎢⎥-5⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

⎤

-11⎥,即为A对应于λ1=10的特征向量.将其标准化得

⎦23

2⎤

.⎥3⎦

⎡1

解得基础解系η1=-

⎢2⎣⎡1

β1=-

⎢3⎣

-

对于λ2=λ3=1,由齐次方程组（A-E）X=0得

⎡1⎢2⎢⎢⎣-2

24-4

⎥⎢⎥⎢⎥-4x2=0⎥⎢⎥⎢⎥4⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

1],η3=[-2

解得基础解系η2=[2

0],即为A对应于λ2=λ3=1的特征向量.

将其正交化,由施密特正交法,令α2=η2=2

1]

α3=η3-

（η3,α2）（α2,α2）

α2

⎡2⎤

-22⎡⎤⎡⎤⎢-⎥

5

⎢⎥4⎢⎥⎢=1+0=1⎥.⎢⎥5⎢⎥⎢

4⎥

⎢⎢⎥⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦⎢

⎢⎣5⎥⎦

再将其标准化得β2为此求得正交矩阵

⎡2

=⎢⎣5

⎡1⎤2

β=-3⎥⎢5⎦⎣35

535

4⎤

⎥.35⎦

⎡⎢-⎢

P=（β1β2β3）=⎢-

⎢⎢⎢⎣

132323

25015

2⎤⎥35⎥5⎥

⎥354⎥⎥35⎦

使得

⎡10⎢-1

PAP=0

3.将二次型化为标准形方法:

（1）正交变换法.例4化二次型

22

f（x1,x2,x3）=2x12+5x2+5x3+4x1x2-4x1x3-8x2x3

标准形,并给出所用的正交变换.

二次型的矩阵为⎡2

由例3可得一正交变换

⎡

⎢-

⎡x1⎤⎢⎢⎥⎢x=-⎢2⎥⎢⎢⎣x3⎥⎦⎢

⎢⎣

2⎤⎥

35⎥⎡y1⎤5⎥⎢⎥

y2,⎢⎥⎥35

⎢⎥4⎥⎣y3⎦⎥35⎦

在该变换作用下,有

f（x1,x2,x3）=10y1+y2+y3.

（2）配方法.

例5用配方法化二次型

f（x1,x2,x3）=x1+4x1x2+4x1x3+4x2x3

为标准形,并求出所作的可逆线性变换.

首先进行配方

f（x1,x2,x3）=x1+4x1（x2+x3）+4x2x3

=[x1+4x1（x2+x3）+4（x2+x3）]-4（x2+x3）+4x2x3=（x1+2x2+2x3）-4x2-4x2x3-4x3=（x1+2x2+2x3）-4（x2+

12

x3）-3x3

令

⎧y1=⎪

⎨y2=

⎪

⎩y3=

x1+2x2+2x3

1x2+x3

2x3

得标准形

f（x1,x2,x3）=y1-4y2-3y3

并得所作的可逆变换为

⎧x1=⎪

⎨x2=⎪

⎩x3=

y1-2y2-y3

1y2-y3

2y3

4.判定正定二次型:

用定理4.5.1,定理4.5.2及推论进行判定.例6判定矩阵⎡1⎢

A=1

123

1⎤

⎥3⎥6⎥⎦

的正定性.

由于A的顺序主子式

=1>

0,123

3=1>

06

1>

0,

所以A是正定的.

例7判定二次型

因为

⎡-5⎢

⎢⎢⎣2

2-60

⎥0⎥-4⎥⎦

f（x1,x2,x3）=-5x1-6x2-4x3+4x1x2+4x1x

有顺序主子式

-52

2-6

-5

=26>

0,2

20-4

=-80

所以二次型为负定二次型.