《数学分析》第一章集合与函数Word文档格式.docx

1、+（。）称为a的右空心邻域， 称为a的左空心邻域.3.M 是正数，xllxlM（s）,称为8邻域，xlx（g）称为+ 8 邻域，xx 疔，存在x0 e S ,使得凡V0,即纟又是S的最大下界：则称数纟为S的下确界， 记作 = inf S6.确界原理：设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界：若S有下界，则S必有 下确界.7.区间套定理：若an,bn是一个区间套，则在存在惟一的实数 纟 e an,仇,ii = 1,2,3,，即a” 0,存在N0,使得nN时有an,bn u U（）9.（维尔斯特拉Wr（Weierstrass）聚点左理）：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.10.（海涅-波

2、雷（Heine-Borel）有限覆盖左理）设H为闭区间a.b的一个（无限）开覆盖， 则从H中可选岀有限个开区间来覆盖a,b（3）二维平面R?的性质1.全平而上的点所组成的点（x, y） I -co X +co,-oo o），平而点集（x, y）l（x-x0）2 + （y- y0）2 J2）称为点A的5邻 域，记为（A）：平而点集（x,y） I 0 （x-x（）2 + （y- y（）2 J2称为点A的空心邻域。 记为：UA）.3.对于平而点集E,若存在点A的某邻域U（A）U（A）uE,则称点A是E的内点：若点A 的任何空心邻域UA）内都含有E中的点，则称A是E的聚点；若E的每一个点都是内点, 则

3、称E为开集：若E的所有聚点都属于E,则称E是闭集；若E中的任意两点都可以用一条 完全含于E的有限折线相连接，则称E具有连通性；连通的开集叫开域：开域连同苴边界叫 闭域.4.（闭域套泄理）设Dn是R?中的闭域列,它满足：（1）Q二”“ = 12，（2）d尸d（DJ lim dn = 0，则存在惟一的点X = O是一个函数，称为符号函数x ）中的每一个值y, D中有且只有一个值x使得f（x） = y.则按此对应法则得到一个泄义在/（D）上的函数，称这个函数为/的反函数，记作 x = fi（yyef（D）.通常改记作 y = /（）.函数y = /（x）,xeD存在反函数的充分必要条件是：/是D与/

4、（D）之间的一一映 射.5. 常量函数y = c、幕函数y = 指数函数y = Q、对数函数y = bg“x、三角函数 y = sin x, y = cosx, y = tanx, y = cotx、 反 三角函 数 y = arcsin.v, y = arccosx, y = arctanx, y = arccotx统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复 合运算所得到的函数，统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如：y = xJ就不 是初等函数.6.设/为定义在D上的函数.（1）若存在正数M,使得对每一个xe有I/（x） IS M ,则称/为D上的有界函数：（2）若

5、对任意xpx2 e,x, /（x2）,则称/为D上的减函数；（3）若D为 对称于原点的数集，且对xeD.都有/（-x） = = /（x）.则称/为D上的奇（偶）函数：（4）若存在b0,使得对一切xe都有f（xa） = /（x）jij称/为周 期函数.7.设平而点集Du,若按照某对应法则f , D中每一点P（x.y）都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为左义在D上的二元函数记作：z = wD.基本例题解题点击【例1】设x.y为实数,xvy.证明：存在有理数r满足xry：存在无理数a满足xay.【提示及点评】这是实数的稠密性：利用不足近似与过剩近似就可以证明.【证明】由于xvy,故存在非负整数m使

6、得儿（其中易，儿分别为x的n位过剩x9lr yn y 即 xy设是任意一无理数，由xy,则兀-，_，根据上面可知，存在有理数r,使得x-q y-i. 从而 xr + i-sup5（2）证明supS是厂最大下界任意取0,因为supS是S的上确界，因此，存在一个元素一；vwS，使得-x sup5 s 从而 x l,x为有理数。证明:ax = supr I r为有理数,rl,因此对于任意的rx.都有 ，从而/是上界。（2）证明/是最小的上界.任意取一个数b0,则由bax得2,又Q1,于是得到根据实数稠密性存在有理数a,使得ogabx,因此ba而显然aa earr为有理数，且rvx因此，Q是最小的上界

7、.综合以上两点，得到Q=supHjr为有理数,rx【例4】判断（1）函数=丄上工一1,与函数u = 2 + xxeR是否可以复合；1 + /函数y = arcsinw,-l w 1 ,与函数u = 2 + x2 ,x e R是否可以复合.判断两个函数y = = 是否可以复合，关键就看E* =xg（x） e cE是否为空集。是空集则不能复合，不是空集则可以复合.【解】（1）由于兀12 +疋h1c/?h0,因此它们可以复合且复合得到3+ x（2）由于x-2 + x2 R = ,因此它们不能复合。【例5】在什么条件下，函数=上凹的反函数就是它本身？cx + d反函数存在的充分必要条件是：一一对应。对

8、这种类型的题目，首先要保证反函数存在、再在存在的条件下把反函数求岀来.（1）函数要存在反函数，则对于定义内的任意两个值“工忑，必有 /（xj丰/（X,）,从而得到： ”巴1岁工-佟 J 即cxx + d cx2 + clacxx2 + adxx +bcx2 +bd acxxx2 +bcx + adx2 +bcl（ad 一 Z?c）（m 兀）工 0从而 eul-bcO 所以函数存在反函数的条件是：ad - be 0（2）在存在反函数的条件下求反函数ax + b b - dy m -dx + b由y = 解得：x = ,因此反函数为y = ex +（1 cy -a ex-a根据两个函数相等的条件：

9、立义域相同，对应法则相同当CHO时，原函数的左义域为X丰一一、反函数的泄义域为,因此两者要相同, C C必须要a = -d，而在a = -d时，两个函数的表达式也相同，因此这时原函数与反函数相同.当住=0时，由反函数存在条件ad-bcQ.则皿工0,这时原函数为y = -x + -9反 d d函数为：y = -x-：泄义都是xe/?：只要表达式相同，两个函数就相同因此，必须有 a a=- 解得：a = d 或者 a = d,h = 0d ad a综上述得到：函数y =巴凹的反函数就是它本身的条件是：（1） adbe H 0, cHO, a = -d 或 （2） cut be 0, c = 0,

10、a = d 或（3）adbe 工 0, a = d.b = c = 0 【例6判断函数y = x-2的奇偶性.函数要是奇函数或偶函数，必须具备两个条件：定义域必须关于原点对称，是奇 函数还必须满足/（-X）= -/（x）,是偶函数还必须满足/（-A-） = f（x） 左义域要求关于原点对称的，很容易被忽略.【解】由于该函数的泄义域不关于原点对称，因此它没有奇偶性。【例7】设（“”,）是一个严格开区间套，即满足 a2 - all -hii b2 b且lim（0d”）= O。证明：存在唯一的一点使得5小=1,2,这个题目表明对于严格的开区间套也有类似于闭区间套泄理的结论，但是要求一 定要是严格开区

11、间套，不是严格的就不一定成立：首先把它看作闭区间套，利用闭区间套立理证明，再证明所存在的点满足题目要 求.【证明滞虑闭区间序列%,由条件2 an -bbx且lim（仇一y） = 0,可知它是闭区间套，因此存在唯一的点满足an bn9n = ly29-因为 %化利曲=12而an an bn 则-1,取 = -： 则： 当 n=l ,必有 一! r 2 时， n + 2 /? +1 n n + 2 n /! ,这时re（!丄）。因此H能否该（0J）.+ 2 n + n n- （n -1） + 2 /z -1（2）不能选出有限个覆盖（0,1）.反证法2设可以/7人=（一1,丄）|也=12灯这k个能覆

12、盖（0丄），令心+2 % 2p = max厲 +2ji2 +2,y + 2）显然（0,召）上的点不属于中的任何一个区间，矛盾因此不能选出有限个覆盖（0,|）.可以选出有限个覆盖（丄,1）,首先选一个覆盖端点1附近的，选取的区间为：（丄）100 1 + 2 考虑闭区间丄丄.则H中可以选出有限个覆盖丄丄,这有限个再加上（丄100 2 100 2 1 + 2 则它们能覆盖由于（丄） 100【例10】设I为有限区间.证明：若/在I上一致连续，则/在I上有界举例说明此结 论当I为无限区间时未必成立. 这是实数的完备性证明函数的性质：【证明】设区间I的左、右端点为a、b,不妨设区间是开区间。由f（x）在I

13、上一致连续,h （I所以对于 = ,存在0vSv,使得当且l#lvd时，就有考虑闭区间S+“-一,则/（X）在该闭区间上亦连续，从而有界，设这时有 2 25 5I /（x）Mxea + -.b一一2 2对于任意xe（a.a + -,由于I %-（+ -） 1 J ,从而2 2 2I /（x） -f（a +1） 1 1, I 11 f（a + ）丨 +1 W +1同理可以证明xeb-,h）,有 l/3lvl/（d + ?）l+lSM|+l因此，任意的xe（a,b）都有f（x）Mi+t即函数有界.若区域不是有界时，则结论未必成立，例如函数y = 2x.xeR是一致连续，但不是有界 函数.【例11试

14、用有限覆盖左理证明根的存在左理. 利用有限覆盖圮理证明问题的最关键是：构造一个开覆盖.【证明】设f（x）在a,b连续，且/与/（b）异号，证明方程f（x） = 0在（a,b）内至 少有一个根.反证法：假设方程f（x） = 0在（a,b）内没有根,则任意的x w （a,b）,都有/（a） H 0 ,根 据连续的局部保号性，因此存在一个邻域（兀,），使得函数在该邻域内的函数值同号. 构造开覆盖H =U（xx）x&a,b，则H覆盖H,由有限覆盖泄理得到，存在有限个 邻域 U（x, ）, t/（x2, ）, t/（xn, ）覆盖a.b；且不妨设 x, x2 sup5设x,y为实数，x inf f（x）

15、 + inf g（x）xeD xeD aD（2） sup/（x） + g（x） sup/（x） + Si】pg（x）.vD xsD .teD 这是关于上下确界和的运算法则：直接利用左义就可以证明.【证明】对任意x e D有:inf f（x） /（x）,inf g（x） g（x），因此xeD xeDinf f（x） + inf g（x） inf /（x） + infvD vcD xeD同理可以证明（2） 【知识扩展提示】上下确界的证明是本章的难点。掌握上下确界的一些运算性质，对证明英他的问题将带来很大的帮助（2） sup f（x） + g（x） sup/（x） + inf g（x）.VO xgD V/; 直接利用上面的例4就可以很简洁地证明.【证明由于 inf/（x） + g（x） + inf-g（x） inf/（x） + g（x） 一 g（x） xeD .xeD .xeDinf/W + g（x） inf /（x） - inf-g（x）即.veD .veD xeDinf/（x） + g（x） inf /（x）-inf g（x）.veD .vcD .veD（2） sup/（x）g（x） sup/（x）-supg（x）xeD xel） xeD【提示及点