《数学分析》第一章集合与函数Word文档格式.docx
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+（。
）称为a的右空心邻域，称为a的左空心邻域.
3.M是正数，{xllxl>
M}¥
（s）,称为8邻域，{xlx>
（g）称为+8邻域，
{x\x<
-M}At/（-O0）称为一00邻域.
4•设S是R中的一个数集，若数〃满足：
（1）对一切有即〃是上界；
（2）
对任何av〃，存在x0eS,使得即〃又是S的最小上界；
则称数〃为S的上确
界，记作〃=supS・
5.设S是R中的一个数集，若数纟满足：
（1）对一切x"
有即纟是下界；
（2）对任何0>
疔，存在x0eS,使得凡V0,即纟又是S的最大下界：
则称数纟为S的下确界，记作§
=infS・
6.确界原理：
设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界：
若S有下界，则S必有下确界.
7.区间套定理：
若｛[an,bn]｝是一个区间套，则在存在惟一的实数纟e[an,仇],ii=1,2,3,…，即a”<
^<
bn,n=1,2,3,….
8.区间套定理的推论:
若壮[心，»
]（几=1，2,…）是区间套｛["
”“]｝所确定的,则对任
给的£
>
0,存在N>
0,使得n>
N时有[an,bn]uU（^£
）・
9.（维尔斯特拉Wr（Weierstrass）聚点左理）：
实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.
10.（海涅-波雷^（Heine-Borel）有限覆盖左理）设H为闭区间[a.b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选岀有限个开区间来覆盖[a,b]・
（3）二维平面R?
的性质
1.全平而上的点所组成的点｛（x,y）I-co<
X<
+co,-oo<
4-oo）A/?
2；
坐标平而上的
满足条件P的点的集合E=｛（x.y）l（x,y）满足条件P｝，称为平而点集.
2.平而上的点A（xo,>
'
o），平而点集｛（x,y）l（x-x0）2+（y-y0）2<
J2）称为点A的5邻域，记为"
（A）：
平而点集｛（x,y）I0<
（x-x（））2+（y-y（））2<
J2｝称为点A的空心邻域。
记为：
U\A）.
3.对于平而点集E,若存在点A的某邻域U（A）U（A）uE,则称点A是E的内点：
若点A的任何空心邻域U\A）内都含有E中的点，则称A是E的聚点；
若E的每一个点都是内点,则称E为开集：
若E的所有聚点都属于E,则称E是闭集；
若E中的任意两点都可以用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E具有连通性；
连通的开集叫开域：
开域连同苴边界叫闭域.
4.（闭域套泄理）设｛Dn｝是R?
中的闭域列,它满足：
（1）Q二》”“=12…，
（2）d尸d（DJ°
limdn=0，则存在惟一的点<
e，f1=12….
5.（聚点沱理）设EuR］为有界无限点集，则E在M中至少有一个聚点.
6.（有限覆盖定理）设DuR，为一有界闭域，｛AJ为一开域族，它覆盖了D（即
Dc|jAa）,则在｛△/中必存在有限个开域纠仏2,…,△”，它们同样覆盖D（即
Du|J・）・
（4）集合间的关系：
映射、函数
数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科，它通过量化的数来表示事物，通过数的变化来反映事物的变化.在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射，当一个映射满足一泄的条件时，就是函数.因此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础.
1•给左两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数y
与之对应，则称f是左在数集D上的函数，记作：
厂DtM,通常记为y=f（x）.
注：
只要讲淸了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.
x>
X=O是一个函数，称为符号函数
x<
2•设有两个函数y=/（“）,“=令E¥
=｛x\g（x）eD｝^E9若
Q工0,则对每一个可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而ii又通过函数f对应唯一的一个值y.这就确立了一个肚义在上的函数，称为函数/与g的复合函数.记作：
y=f（gW）-
注:
两个函数能否复合的充分必要条件就是E•工0
3.以形式y=eD表示函数的，称为显函数：
而以方程的形式表示f（x,y）=0表
示一个函数的，称为隐函数.例如y3-2x2=0,xe［-l,l］就是一个隐函数.
4•设函数y=满足：
对于值域/（£
>
）中的每一个值y,D中有且只有一个
值x使得f（x）=y.则按此对应法则得到一个泄义在/（D）上的函数，称这个函数为/的反
函数，记作x=f~i（y\yef（D）.通常改记作y=/（£
）.
函数y=/（x）,xeD存在反函数的充分必要条件是：
/•是D与/（D）之间的一一映射.
5.常量函数y=c、幕函数y=指数函数y=Q、对数函数y=bg“x、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx、反三角函数y=arcsin.v,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如：
y=xJ就不是初等函数.
6.设/为定义在D上的函数.
（1）若存在正数M,使得对每一个xe£
有I/（x）ISM,
则称/■为D上的有界函数：
（2）若对任意xpx2e£
x,<
x2,若是都有
则称/为D上的增函数；
若是都有/（%,）>
/（x2）,则称/为D上的减函数；
（3）若D为对称于原点的数集，且对xeD.都有/（-x）==/（x））.则称/■为D上的
奇（偶）函数：
（4）若存在b>
0,使得对一切xe£
都有f（x±
a）=/（x）jij称/为周期函数.
7.设平而点集Du"
若按照某对应法则f,D中每一点P（x.y）都有唯一确定的实数z与
之对应，则称f为左义在D上的二元函数•记作：
z=wD.
■基本例题解题点击
【例1】设x.y为实数,xvy.•证明：
存在有理数r满足x<
r<
y：
存在无理数a满足x<
a<
y.
【提示及点评】
•这是实数的稠密性：
•利用不足近似与过剩近似就可以证明.
【证明】由于xvy,故存在非负整数m使得儿（其中易，儿分别为x的n位过剩
x9l<
r<
yn<
y即x<
y
设〃是任意一无理数，由x<
y,则兀-〃<
，_〃，根据上面可知，存在有理数r,使得
x-q<
y-i].从而x<
r+i]<
y,令a=r+q,贝ij
yt且a是无理数■
【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方而的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的技巧.
【例2】设S是非空数集，定义S~={x\-xeS}0证明：
infS-=-supS.
•集合的上下确界的证明是一个难点，这类证明的关键点在于抓住上下确界的立义,上确界：
（1）是上界；
（2）是最小的上界，即没有比它更小的上界，也即减一点就不是上界。
下确界：
（1）是下界：
（2）是最大的下界，即没有比它更大的下界,也即加一点就不是下界.
【证明】
（1）证明—supS是S-的下界
任意取一元素x&
S~,从而一xeS,因此一xSsupS,x>
-sup5
（2）证明—supS是厂最大下界
任意取£
0,因为supS是S的上确界，因此，存在一个元素一；
vwS，使得
-x>
sup5—s从而x<
-supS+£
Wxe
因此，一supS是旷最大下界.
综合以上两点，得到infS-=-supS■
【知识扩展提示】准确地把握左义是非常重要，利用定义进行解题与证明是数学的一种最基本的方法.
【例3】设a>
l,x为有理数。
证明:
ax=sup{«
rIr为有理数,r<
x}・
（1）证明/是上界.
由于a>
l,因此对于任意的r<
x.都有«
，从而/是上界。
（2）证明/是最小的上界.
任意取一个数b<
a\不妨设b>
0,则由b<
ax得<
2,又Q1,于是得到
根据实数稠密性・存在有理数a,使得
\ogab<
x,因此b<
a\而显然aae{ar\r为有理数，且rvx}
因此，Q是最小的上界.
综合以上两点，得到Q=sup{Hjr为有理数,r<
x}・■
【例4】判断
（1）函数『=丄上工一1,与函数u=2+x\xeR是否可以复合；
1+//
函数y=arcsinw,-l<
w<
1,与函数u=2+x2,xeR是否可以复合.
•判断两个函数y==是否可以复合，关键就看
E*={x\g（x）e£
}cE是否为空集。
是空集则不能复合，不是空集则可以复合.
【解】
（1）由于{兀12+疋h—1}c/?
h0,因此它们可以复合•且复合得到
3+x
（2）由于{x\-\<
2+x2<
\}r>
R=^,因此它们不能复合。
■
【例5】在什么条件下，函数『=上凹的反函数就是它本身？
cx+d
•反函数存在的充分必要条件是：
一一对应。
对这种类型的题目，首先要保证反函
数存在、再在存在的条件下把反函数求岀来.
（1）函数要存在反函数，则对于定义内的任意两个值“工忑，必有/（xj丰/（X,）,从而得到：
”巴1岁工-佟J即
cxx+dcx2+cl
acx}x2+adxx+bcx2+bdacxxx2+bcx{+adx2+bcl
（ad一Z?
c）（m—兀）工0
从而eul-bc^O所以函数存在反函数的条件是：
ad-be^0
（2）在存在反函数的条件下求反函数
ax+b—b-dym-dx+b
由y=解得：
x=,因此反函数为y=
ex+（1cy-aex-a
根据两个函数相等的条件：
立义域相同，对应法则相同•
当CHO时，原函数的左义域为X丰一一、反函数的泄义域为—,因此两者要相同,CC
必须要a=-d，而在a=-d时，两个函数的表达式也相同，因此这时原函数与反函数相同.
当住=0时，由反函数存在条件ad-bc^Q.则皿工0,这时原函数为y=-x+-9反dd
函数为：
y=-x--：
泄义都是xe/?
：
只要表达式相同，两个函数就相同•因此，必须有aa
—=-—»
解得：
a=—d或者a=d,h=0
dada
综上述得到：
函数y=巴凹的反函数就是它本身的条件是：
（1）ad—beH0,cHO,a=-d或
（2）cut—be0,c=0,a=—d或
（3）ad—be工0,a=d.b=c=0■
【例6]判断函数y=x\-\<
2的奇偶性.
•函数要是奇函数或偶函数，必须具备两个条件：
定义域必须关于原点对称，是奇函数还必须满足/（-X）=-/（x）,是偶函数还必须满足/（-A-）=f（x）•左义域要
求关于原点对称的，很容易被忽略.
【解】由于该函数的泄义域不关于原点对称，因此它没有奇偶性。
【例7】设｛（“”,»
）｝是一个严格开区间套，即满足
®
<
a2<
-<
all<
--<
hii<
■<
b2<
b\
且lim（0—d”）=O。
证明：
存在唯一的一点使得5<
§
<
"
小=1,2,…
•这个题目表明对于严格的开区间套也有类似于闭区间套泄理的结论，但是要求一定要是严格开区间套，不是严格的就不一定成立：
•首先把它看作闭区间套，利用闭区间套立理证明，再证明所存在的点满足题目要求.
【证明滞虑闭区间序列｛%"
]｝,由条件<
«
2<
an<
-<
b„<
bx
且lim（仇一y）=0,可知它是闭区间套，因此存在唯一的点满足
an<
bn9n=ly29-・
因为%"
化利曲=12…而an<
an^<
bn^<
bn9因此
【知识扩展提示】确界存在左理、闭区间套泄理、聚点左理、有限覆盖立理是是数学分析
的理论基础，必须牢牢掌握。
只要碰到与定理的结论或结论类似的情况，都要想起这些泄理.
【例8】试举例说明：
在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点泄理和柯西收敛准则一般不能成立.
•实数的这些完备性圧理，只在实数域内才能成立，在有理数域一般是不成立的.
•对这个题，只要做一个有理数列，而它的极限却是无理数就可以说明问题.
【解】作一有理数列：
5=（1+丄）"
n
（1）由基本极限公式lim（l+丄）它是递增、且有界，所以它的上确界就是w,
fl
因此在有理数集内无确界.
（2）该数列单调有界，但由
（1）可知，数列在有理数集上没有极限.
（3）由lim（l+丄）"
=e可知，数列有唯一一个聚点，就是c,因此在有理数集上没有
28n
聚点.
（4）由于数列lim（l+丄）〃=£
，因此它必左满足柯西收敛准则，但若从有理数集合看，它2*n
却没有极限，因为极限是无理数.■
【例9】设/7={（丄丄）5=12・・・}・问
（1）14能否覆盖（0,1）?
（2）能否从H中选n+2n
出有限个开区间覆盖（a）（0,丄），（b）（丄,1）?
2100
•这是关于覆盖的问题，有限覆盖立理是指一个开覆盖H,它覆盖一个闭区间，则可以从这选出有限个出来覆盖这个闭区间，但现在不是一个闭区间，因此，结论
未必成立.
（1）H可以覆盖（0,1）,因为对于任意的re（0J）>
则->
1,取«
=[-]：
则：
当n=l,必有一!
—<
—!
r<
—=1,这时re（—!
—，丄）：
当n>
2时，n+2/?
+1nn+2n
—<
—<
/•<
!
—,这时re（——!
——•丄）。
因此H能否该（0J）.
+2n+\nn-\（n-1）+2/z-1
（2）不能选出有限个覆盖（0,1）.反证法•
2
设可以/7人={（一1^,丄）|也=12・・・灯这k个能覆盖（0丄），令
心+2%2
p=max{厲+2ji2+2,・・・y+2）
显然（0,召）上的点不属于•中的任何一个区间，矛盾•因此不能选出有限个覆盖（0,|）.
可以选出有限个覆盖（丄,1）,首先选一个覆盖端点1附近的，选取的区间为：
（丄」）•
1001+2考虑闭区间［丄丄］.则H中可以选出有限个覆盖［丄丄］,这有限个再加上（丄
100210021+2则它们能覆盖由于（丄」）•■
100
【例10】设I为有限区间.证明：
若/在I上一致连续，则/在I上有界•举例说明此结论当I为无限区间时未必成立.
•这是实数的完备性证明函数的性质：
【证明】设区间I的左、右端点为a、b,不妨设区间是开区间。
由f（x）在I上一致连续,
h~（I
所以对于£
=\,存在0vSv——,使得当且l#—£
lvd时，就有
考虑闭区间S+—“-一］,则/（X）在该闭区间上亦连续，从而有界，设这时有22
55
I/（x）\<
M^xe［a+-.b一一］•
22
对于任意xe（a.a+-］,由于I%-（«
+-）1<
J,从而
222
I/（x）-f（a+1）1<
1,I1<
1f（a+£
）丨+1W+1
同理可以证明xe［b--,h）,有l/3lvl/（d+?
）l+lSM|+l
因此，任意的xe（a,b）都有\f（x）\<
Mi+\t即函数有界.
若区域不是有界时，则结论未必成立，例如函数y=2x.xeR是一致连续，但不是有界函数.
【例11］试用有限覆盖左理证明根的存在左理.
•利用有限覆盖圮理证明问题的最关键是：
构造一个开覆盖.
【证明】设f（x）在［a,b］±
连续，且/⑷与/'
（b）异号，证明方程f（x）=0在（a,b）内至少有一个根.
反证法：
假设方程f（x）=0在（a,b）内没有根,则任意的xw（a,b）,都有/（a）H0,根据连续的局部保号性，因此存在一个邻域〃（兀,①），使得函数在该邻域内的函数值同号.构造开覆盖H={U（x^x）\x&
［a,b}}，则H覆盖H,由有限覆盖泄理得到，存在有限个邻域U（x,,）,t/（x2,）,•■•,t/（xn,）覆盖［a.b］；
且不妨设x,<
x2<
■•<
心•则
（»
&
.）cU（x州,g）*（p、j=1,2,…”一1。
而/（x）在每个邻域内都不变号，因此推出/（X）在（兀,盒）不变号，故/（X）在［a.b］上不变号，因此，同号，矛盾;
r-1
从而/（x）=0在［a.b］上至少有一个根.■
【知识扩展提示】实数的完备性左理不仅可以用来证明连续函数的一些性质，在英他的证明
方面也经常用到，所以对这些立理必须做到能灵活应用.
五.扩展例题解题点击
【例1】下列各对函数是同一个函数的是（）.
g（x）=sin（arcsinx）
（A）/（x）=-,g（x）=ln（V7）（B）/（x）=x,
i工+］
（C）f（x）=—,g（x）=-（D）f（x）=1,g（x）=x°
x-1jc-1
•这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题:
•两个函数相同的的条件：
对应法则相同，左义域相同.
【解】由答案是（A）,其他三个答案的两个函数的左义域都不相同.
【例2】若数M是非空数集S的上界，但不是S的上确界，则下列结论中错误的是（）.（A）任何大于M的数都是S的上界（B）任何小于M的数都不是S的上界
（C）数集S必有上确界（D）M>
sup{5}
设x,y为实数，x<
y..证明:
y.【提示及点评】
•这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题：
•集合的上下确界是一个重要的概念，需要很好地理解.
【解】根据上确界是：
（1）是上界：
（2）是最小的上界。
可知答案（B）是错的.■
【例3】若林,厲为闭集，则（）•
（A）F.DF,为闭集，F.UF,不一定是闭集（B）都为闭集
（C）仟11竹为闭集，许门巴不一定是闭集（D）片门朽,斥11朽都不一定为闭集
•这是关于闭集的定义.
【解】如果一个点集的所有聚点都属于它，则这个点集称为闭。
根据这个立义可知，答案
B是正确，其他都不对.■
【例4】设几g为D上的有界函数.证明
（1）inf{f（x）+g（x）}>
inff（x）+infg（x）
xeDxeDa€D
（2）sup{/（x）+g（x）}<
sup/（x）+Si】pg（x）・
.v€DxsD.teD
•这是关于上下确界和的运算法则：
直接利用左义就可以证明.
【证明】对任意xeD有:
inff（x）<
/（x）,infg（x）<
g（x），因此
xeDxeD
inff（x）+infg（x）<
f（x）+g（x）,从而inff（x）+infg（x）是f（x）+g（x）在DxeDxeDxeDxeD
上的一个下界，因此，inf{/（x）+^（x）}>
inf/（x）+inf
v€DvcDxeD
同理可以证明
（2）■
【知识扩展提示】上下确界的证明是本章的难点。
掌握上下确界的一些运算性质，对证明英
他的问题将带来很大的帮助•
（2）sup{f（x）+g（x）}>
sup/（x）+infg（x）.
V€OxgDV€/;
•直接利用上面的例4就可以很简洁地证明.
【证明]由于inf{/（x）+g（x）}+inf-g（x）<
inf{/（x）+g（x）一g（x）}xeD.xeD.xeD
inf{/W+g（x）}<
inf/（x）-inf-g（x）即
.veD.veDxeD
inf{/（x）+g（x）}<
inff（x）+supg（x）
Y€DXeD
【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方而的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的
【例6】设八g为D上的非负有界函数，证明：
（1）inf{/（x）^Cv）}>
inf/（x）-infg（x）
.veD.vcD.veD
（2）sup{/（x）g（x））<
sup/（x）-supg（x）•
xeDxel）xeD
【提示及点
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