函数的连续性Word格式.doc

1、（2） 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题 一 函数在一点的连续先回顾一下函数在点的极限 设函数在的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对，当 时，都有 ，则称在 时，以为极限。这里可以有三种情况1）无定义，比如上章讲过的特殊极限 2），比如 ， 3）对1，2两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断，我们称这种情况为，在处连续。定义1 设函数在的某邻域内有定义，若 则称函数在点连续。例如 函数 在点连续，因为又如，函数 在 处连续。因为 若记 则 可等价的叙述为 ，于是函数在点连续的定义又可以叙述为定义1（2

2、） 设函数在的某邻域内有定义，若 则称在点连续。另外，由于函数在点连续是用极限形式表述的，若将 改用语言叙述，则在点连续又可以定义为：定义1（3） 设函数在的某邻域内有定义，若对，使得当时，都有 ， 注意 函数在点连续，不仅要求在点有定义，而且要求时，的极限等于，因此这里在极限的“” 语言叙述中把 “”换成了“ ”。最后，式又可表示为 ，可见“在连续”意味着极限运算对应法则的可交换性。例1证明函数在点连续,其中为狄利克雷函数。证明 由及，对于任意的，为使 只要取，即可按定义推得在连续。相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：定义2 设函数在的某左（右）邻域内有定义，若 （ ）则

3、称在点左（右）连续。由极限与单侧极限的关系不难得出：定理4.1 函数在点连续的充分必要条件为：在点既左连续又右连续。例2 讨论函数 在的连续性。22解 因为 所以 在右连续，但不左连续，从而在不连续。二 间断点及其分类 定义3 设函数在某内有定义。若在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下情形:1），而在点无定义，或有定义但2）左、右极限都存在，但不相等, 称 为跳跃度3）左、右极限至少一个不存在据此，函数的间断点可作如下分类：1可去间断点 情况1）称为可去间断点（或可去不连续点）；例 , 是 的可去间断点。例 ， 是的可去间断

4、点。2跳跃间断点 情况2）称为可跳跃间断点；情况1），2）统称第一类间断点。例 因为 ，所以 的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1.-2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xo431 1 2 3 4 5 例 因为 所以 在处为跳跃间断点，跳跃度等2. 3情况3）称为可第二类间断点；例 不存在，所以是的第二类不连续点。为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象（c41）subplot（2,2,1）ezplot（sin（x）/x,-0.5,0.5）hold onplot（0,1,r*）subplot（2,2,2）sin（x）+sign（x）,-pi/3,pi/3）plot（0,0,）,subplo

5、t（2,2,3）sin（1./x）subplot（2,2,4）abs（1./（x+eps）,-0.5,0.5）,hold on plot（0,28,） 三 区间上的连续函数定义 若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。例如 ， 是内的连续函数，在的每一点都连续，在左连续性，在右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章1的例题）。定义 如果在区间上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在间上按段连续。例如 是按段连续函数。例 3 讨论黎曼函数 及内的无理数，（p,q）为正整数，p/q为既约真分数 的连续性证明 设为无理数，任给，满足正数显然只有有限个（但至少有有一个,如）,从而使的有理数只有有限个（至少有有一个,如）,设为,取 ,（显然）则对任何当x为有理数时有,当x为无理数时.于是，对任何，总有 这就证明了在无理点处连续。现设为内任一有理数，取，对任何正数（无论多么小），在内总可取无理数，使得所以在任何有理点处都不连续。小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；4）区间上连续函数的定义。