函数的连续性Word格式.doc

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（2）本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题．

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一函数在一点的连续

先回顾一下函数在点的极限

设函数在的某个空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对，当时，都有，则称在时，以为极限。

这里可以有三种情况

1）无定义，比如上章讲过的特殊极限

2），比如，

3）

对1，2两种情况，曲线在处都出现了间断;

第3种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断，我们称这种情况为，在处连续。

定义1设函数在的某邻域内有定义，若

则称函数在点连续。

例如函数在点连续，因为

又如，函数在处连续。

因为

若记则可等价的叙述为，于是函数在点连续的定义又可以叙述为

定义1

（2）设函数在的某邻域内有定义，若

则称在点连续。

另外，由于函数在点连续是用极限形式表述的，若将改用语言叙述，则在点连续又可以定义为：

定义1（3）设函数在的某邻域内有定义，若对，使得当时，都有

，

注意函数在点连续，不仅要求在点有定义，而且要求时，

的极限等于，因此这里在极限的“”语言叙述中把

“”换成了“”。

最后，式又可表示为

，

可见“在连续”意味着极限运算对应法则的可交换性。

例1证明函数在点连续,其中为狄利克雷函数。

证明由及，对于任意的，为使

只要取，即可按定义推得在连续。

相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：

定义2设函数在的某左（右）邻域内有定义，若

（）

则称在点左（右）连续。

由极限与单侧极限的关系不难得出：

定理4.1函数在点连续的充分必要条件为：

在点既左连续又右连续。

例2讨论函数在的连续性。

2

－2

解因为

所以在右连续，但不左连续，从

而在不连续。

二间断点及其分类

定义3设函数在某内有定义。

若

在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。

由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下情形:

1），而在点无定义，或有定义但

2）左、右极限都存在，但不相等,称为跳跃度

3）左、右极限至少一个不存在

据此，函数的间断点可作如下分类：

1．可去间断点情况1）称为

可去间断点（或可去不连续点）；

例,

是的可去间断点。

例，是的可去间断点。

2．跳跃间断点情况2）称为可跳跃间断点；

情况1），2）统称第一类间断点。

例因为，所以的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1.

-2

-4

-4-3-2-1

-1

-3

x

o

4

3

1

12345

例因为

所以在处为跳跃间断点，跳跃度等2.

3．情况3）称为可第二类间断点；

例不存在，所以是的第二类不连续点。

为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象（c41）

subplot（2,2,1）

ezplot（'

sin（x）/x'

[-0.5,0.5]）

holdon

plot（0,1,'

r*'

）

subplot（2,2,2）

sin（x）+sign（x）'

[-pi/3,pi/3]）

plot（0,0,'

）,

subplot（2,2,3）

sin（1./x）'

subplot（2,2,4）

abs（1./（x+eps））'

[-0.5,0.5]）,

holdon

plot（0,28,'

）

三区间上的连续函数

定义若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。

例如，是内的连续函数，在的每一点都连续，在左连续性，在右连续性，因而是上的连续函数（参见上章§

1的例题）。

定义如果在区间上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在间上按段连续。

例如是按段连续函数。

例3讨论黎曼函数

及内的无理数

，（p,q）为正整数，p/q为既约真分数

的连续性

证明设为无理数，任给，满足正数显然只有有限个（但至少有有一个,如）,从而使的有理数只有有限个（至少有有一个,如）,设为,取

（显然）

则对任何当x为有理数时有,当x为无理数时.于是，对任何，总有

这就证明了在无理点处连续。

现设为内任一有理数，取，对任何正数（无论多么小），在内总可取无理数，使得

所以在任何有理点处都不连续。

小结：

1）函数在一点连续的三个等价定义；

2）函数的左右连续性；

3）不连续的分类：

可去不连续点；

跳跃不连续；

第二类不连续点；

4）区间上连续函数的定义。