高中数学典型例题解析平面解析几何文档格式.doc

1、（2）对于直线1，2 ，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：12= 1212+12 = 01与2相交 1与2重合=7点到直线的距离公式.（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1: ， 2: 之间的距离d=.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；（2）圆的一般方程：（0），圆心坐标为（-，-），半径为=.二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：；圆：.一元二次方程（2）方法二直线: ；，圆心（，b）到直线的距离为d=

2、2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|1+2两圆外离；|O1O2|=1+2两圆外切；| 1-2|O1O2|1+2两圆相交；| O1O2 |=|1-2|两圆内切；0| O1O2| 1-2|两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:,又过P（2,3）,求得a=5 直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式: 的条件是:0且b0,本题忽略了这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过（0,0）时,此时斜率为:,直线方程

3、为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A（1,3）的距离的平方,求动点P的轨迹方程.设动点P坐标为（x,y）.由已知3 化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当x0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . 当x0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . 上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得（x-）2+（y-3）2 = 和 （x+）2+（y-3）2 = - 两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.接前面的过程,方程化为（x-）2+（

4、y-3）2 = ,方程化为（x+）2+（y-3）2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: （x-）2+（y-3）2 = （x0）例3m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C0且0.（1） 当m=1时，方程为

5、2x2+2y2=-3不合题意，舍去.（2） 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.例4自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A（-3，-3），于是L过A（-3，-3）.设L的斜率为k，则L的方程为y-（-3）kx-（-3），即kx-y+3k-30，已知圆方程即（x-2）2+（y-2）21，圆心O的坐标为（2，2），半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12

6、k2-25k+120解得kL的方程为y+3（x+3）即4x-3y+30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30.漏解设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A（-3，3），点A关于x轴的对称点A（-3，-3），于是L过A（-3，-3）.已知圆方程即（x-2）2+（y-2）21，圆心O的坐标为（2，2），半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1解得k或kL的方程为y+3（x+3）;或y+3（x+3）。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点

7、；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是： 即：（1）因为圆过原点，所以，即故所求圆的方程为：（2） 将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6（06年辽宁理科）已知点A（），B（）（0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足.设圆C的方程为（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.（1）证明，（）2（）2，整理得：00设M

8、（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0即0整理得：故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（），则，又0，0，04所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得2.四、典型习题导练1直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A. B. C. D.2.已知直线x=a（a0）和圆（x-1）2+y2=4相切 ，那么a的值是（ ）A.5 B.4 C.3 D.23. 如果实数x、y满足等式（x-2）2+y2，则的最大值为： .4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（ab0）上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、

9、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程本题可用待定系数法求解b=c, =c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=（x-c），代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例6已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=也可

10、利用“焦半径”公式计算例7（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值. 依题意可设P（0,1），Q（），则PQ，又因为Q在椭圆上，所以，PQ2.因为1，1，若，则1，当时，PQ取最大值；若1，则当时，PQ取最大值2.例8已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-2则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：（20-82）x2+122x+54-322=0 设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则， 解得，故所求双曲线方程为

11、：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握1. 设双曲线两焦点为F1、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是（ ）A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.2已知点（-2，3）与抛物线y2=2px（p0）的焦点 的距离是5，则p= .3.平面内有两定点上，求一点P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.4.已知椭圆的离心率为.（1）若圆（x-2）2+（y-1）2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭

12、圆方程；（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为600，求的值.5.已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值6.线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线 （1）求抛物线方程；（2）若的取值范围7.3 点、直线和圆锥曲线1 点M（x0，y0）与圆锥曲线C：f（x，y）=0的位置关系已知（ab0）的焦点为F1、F2, （a0,b0）的焦点为F1、F2，（p0）的焦点为F，一定点为P（x0，y0），M点到抛物线的准线的距离为d，则有：上述结论可以利用定比分点公式，建

13、立两点间的关系进行证明2直线AxBC=0与圆锥曲线Cf（x，y）0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f（x,y）=0,由消去y（或消去x）得:ax2+bx+c=0,=b2-4ac,（若a0时），0相交 0相离 = 0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件1椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,

14、其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）.焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加.2双曲线的焦半径双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）3双曲线的焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。焦点弦公式：当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：。当双曲线焦点在y轴上时，4双曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 .5直线和抛物线（1）位置关系：

15、相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；当，则若，两个公共点（交点）；，一个公共点（切点）；，无公共点 （相离）.（2）相交弦长：弦长公式：（3）焦点弦公式：抛物线， .抛物线，.（4）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（5）常用结论：和和.例1求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点. 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：例2已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.曲线C：可化为，联立，得：，由0,得.方程与原方程并不等价，应加上.原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.例3已知双曲线，过P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.（2）设过P的直线方程为，代入